江苏省宿迁市南刘集中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省宿迁市南刘集中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.设函数,则(

)A.当k=2013时，在x=1处取得极小值B.当k=2013时，在x=1处取得极大值C.当k=2014时，在x=1处取得极小值D.当k=2014时，在x=1处取得极大值参考答案：C3.若sinα+cosα=tanα，（0＜α＜），则α∈(

)A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和正弦公式求出tanα，再根据α的范围和正弦函数的性质，求出tanα的范围，由正切函数的性质结合选项可得．【解答】解：∵0＜α＜，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，由题意知tanα=sinα+cosα=sin（α+）∈（1，]，又tan=＞，∴α∈（，）故选：C．【点评】本题考查正弦函数和正切函数的性质应用，涉及和差角的三角函数公式，属基础题．4.已知，满足，若目标函数的最大值为10，则z的最小值为（

）． A．－4 B．－5 C．4 D．5参考答案：D解：不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，则由图像可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，为，由，解得，即，此时在上，则，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即，此时．5.不等式的解集是______.参考答案：略6.某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：B7.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为

A．

B．C．

D．参考答案：A8.已知集合，集合，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略9.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则（

）A．9

B．6

C．4

D．3参考答案：答案：B10.设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且,有两个命题：：若，则；：若，则；那么（）A．“或”是假命题

B．“且”是真命题C．“非或”是假命题

D．“非且”是真命题参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意的都有,且满足:,则（1）

;（2）

．参考答案：（1）2

（2）1912.一组数据9.8，

9.9，

10，a，

10.2的平均数为10，则该组数据的方差为

．参考答案：0.0213.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,已知这组数据的平均数为,则其方差为___________.参考答案：214.若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=．参考答案：﹣2

考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．解答：解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．15.坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(t参数)

(I)写出直线和曲线C的普通方程；

(Ⅱ)设直线和曲线C交于A，B两点，定点P(-2，-3)，求的值．参考答案：Ⅰ），所以，

所以，即；直线的普通方程为：；………………5分（Ⅱ）把直线的参数方程带入到圆：，得，

因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知=所以.………………10分略16.（5分）（2015?泰州一模）复数z满足iz=3+4i（i是虚数单位），则z=．参考答案：4﹣3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．解：∵iz=3+4i，∴﹣i?iz=﹣i（3+4i），∴z=4﹣3i，故答案为：4﹣3i．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．17.已知曲线的极坐标方程为（，），曲线在点处的切线为，若以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则的直角坐标方程为

．参考答案：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线点,因为点在圆上,故圆在点处的切线方程为,故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；(Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？

如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.参考答案：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

，?

又.?

把?代入?得，

∴

∵

∴

即函数的定义域为.(Ⅱ）如果DE是水管，则，

当且仅当，即时“=”成立，故DEBC,且DE=.

如果DE是参观线路，记，则

∴函数在上递减，在上递增

故.

∴.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.19..如图，在三棱拄中，侧面，

已知（1）求证：；（4分）

（2）、当为的中点时，求二面角的平面角的正切值.（8分）参考答案：证（1）因为侧面，故

在中，由余弦定理有

故有

而

且平面

（4分）（2）取的中点，的中点，的中点，的中点，连则，连则，连则

连则，且为矩形，又

故为所求二面角的平面角在中，

（12分）（法二：

建系：由已知，所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为

故

）20.手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)年龄段[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频率0.10.320.280.220.050.03使用人数828241221(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?

年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付

不使用手机支付

(2)若从年龄在[55，65)，[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828

参考公式：.参考答案：（1）见解析.（2）见解析【分析】（1）根据频数分布表完成列联表，计算卡方，得出结论；（2）先确定的所有可能取值，再分别求解其概率，然后可求分布列和期望.【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：

年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付6015不使用手机支付1015于是有的观测值.

故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.（2）由题意可知，的所有可能取值为，相应的概率为：，，，，于是的分布列为:0123P

所以.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量分布列及期望，侧重考查数学建模，数据分析和数学运算的核心素养.21.（10分）已知矩阵A=，求点M（﹣1，1）在矩阵A﹣1对应的变换作用下得到的点M′坐标．参考答案：【考点】：逆变换与逆矩阵．【专题】：矩阵和变换．【分析】：利用公式求出A的逆矩阵A﹣1，进而即可求出点M（﹣1，1）在矩阵A﹣1对应的变换作用下得到的点M′坐标．解：设，则，所以，解得a=2，b=1，c=3，d=0，即．由，知点M′（﹣1，﹣3），所以新坐标为M′（﹣1，﹣3）．【点评】：本题以点的变换为载体，考查待定系