上海音乐学院安师附属实验中学 高三数学理下学期期末试卷含解析

上海音乐学院安师附属实验中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（） A． B． C． D． 参考答案：A考点： 数量积表示两个向量的夹角．专题： 计算题．分析： 利用向量的模的坐标公式求出向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量的数量积求出向量的夹角余弦．解答： =5，=13，=3×5+4×12=63，设夹角为θ，所以cosθ=故选A．点评： 本题考查向量的模的坐标公式、向量的坐标形式的数量积公式、利用向量的数量积求向量的夹角余弦．2.已知变量满足约束条件，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A约束条件对应的三个“角点”坐标分别为：

，则3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则S0值为下列各值中的

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

参考答案：A略4.已知函数，若＝－1，则实数a的值为

A、2B、±1C.1D、一1参考答案：C，故选C．5.已知双曲线C2：的一个顶点是抛物线C1：y2=2x的焦点F，两条曲线的一个交点为M，|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过题意可知F（，0）、不妨记M（1，），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．【解答】解：由题意可知F（，0），由抛物线的定义可知：xM=﹣=1，∴yM=±，不妨记M（1，），∵F（，0）是双曲线的一个顶点，∴=1，即a2=，又点M在双曲线上，∴=1，即b2=，∴e==，故选：C．【点评】本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

（

）

A．③④

B．①④

C．①②

D．②③参考答案：D略7.在△ABC中,,,E,F为BC的三等分点,则?=(

) A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知，则

（

）A． B．

C．

D．参考答案：A9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆内有（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．5个参考答案：B10.设集合，，则M∩N=（）A.{－2,－1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{1,2}参考答案：C【分析】先求解集合N中的不等式，再求交集即可。【详解】；故选：C【点睛】本题考查集合的基本运算，求两个集合的交集，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若对恒成立，则实数m的取值范围是

。参考答案：12.在Rt中，，，P是AB边上的一个三等分点，则的值为____参考答案：4运用坐标法如图A

设=2x+2y=2（x+y）如图所示，P坐标为或可得原式=

注意：要必须画图，切忌凭空想象13.在的二项展开式中，的系数为

参考答案：-4014.（1）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为

．参考答案：15.若a>0，则的最小值是____________．参考答案：516.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为

参考答案：317.已知函数则______．参考答案：考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分14分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（Ⅰ）求证：平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．参考答案：是直角斜边AC上的中线，∴

……………9分

方法二：(2)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则，……

9分19.（12分）（2015?钦州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．（2）由，利用等积法能求出三棱锥C1﹣ABA1的体积．（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B?平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20.（本小题满分13分）已知函数．（1）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据，，）（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），

∵

，，∴

．

………………2分令，则，

……3分∴

在区间上单调递增，∴

在区间上存在唯一零点，∴

在区间上存在唯一的极小值点．

…………………4分取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下：①

，而，∴

极值点所在区间是；②

又，∴

极值点所在区间是；③

∵

，∴

区间内任意一点即为所求．

……7分（Ⅱ）由，得，即，∵

，

∴，……8分令，则．

………………10分令，则．∵，∴，∴在上单调递增，∴，因此故在上单调递增，

……12分则，∴

的取值范围是………13分略21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，讨论函数的零点个数.参考答案：(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）讨论a的范围，得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，得出f（x）的单调性；（2）求出f（x）的极大值，判断极大值小于0，根据f（x）的单调性得出f（x）的零点个数．【详解】（1），令，其对称轴为，令，则.当时，，所以在上单调递增；当时，对称轴为，若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；若时，设的两根，，当时，，所以，所以在上单调递增，当时，，所以，所以在上单调递减，当时，，所以，所以在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；若时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，下面研究的极大值，又，所以，令，则（），可得在上单调递增，在上单调递减，且的极大值，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，在上单调递减，所以当时，单调递增，且，，所以存在，使得，又当时，单调递增，所以只有一个零点，综上所述，当时，在上只有一个零点.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值、单调性与函数零点的个数判断，属于难题．22.（本小题满分14分）如图，已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B，M（1，0）为线段OB的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）满足条件的点N存在，坐标为.试题分析：（Ⅰ）由题意知,,由，得（Ⅱ）假设存在满足条件的点N，坐标为（t，0），其中t为常数.由题意直线PQ的斜率不为0，可得直线PQ的方程可设为：,；设,联立，消去x得：,应用韦达定理

根据知：即，整理得即求得.试题解析：（Ⅰ）由题意知,

…1分由，

…3分椭圆方程为．

…4分（Ⅱ）若存在满足条件的点N，坐标为（t，0），其中t为常数.由题意直线PQ的斜率不为0，直线PQ的方程可设为：,

…5分设,