湖南省郴州市上田中学高三数学理期末试题含解析

湖南省郴州市上田中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“存在R，0”的否定是

（

）

A．不存在R，>0

B．存在R，0

C．对任意的R，0

D．对任意的R，>0参考答案：D略2.已知集合,集合,则A．

B．

C．

D．参考答案：D3.焦点在上的抛物线的标准方程是（

）

、

、

、

、参考答案：B略4.已知m，n是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是(A)(B)

(C)(D)若m与相交，n与相交，则m,n一定不相交参考答案：C5.（5分）（2013?兰州一模）已知向量，，为非零向量，若，则k=_________．参考答案：0略6.如图，若时，则输出的数等于()A.

B.

C.

D.参考答案：D7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A．

B． C． D．参考答案：B【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再计算出各个面的面积即可得出表面积．【解答】解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S=3++8=8+8．故选：B．8.已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0） B．（﹣3，0） C．（0，4） D．（﹣5，4）参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．9.已知，，则的值为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A10.下列四个命题中真命题的个数是（

）①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“是“”的必要充分条件；③若为假命题，则均为假命题；④若命题，则.A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.85x﹣0.25．由以上信息，得到下表中c的值为

．天数t（天）34567繁殖个数y（千个）2.5344.5c参考答案：6【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（3+4+5+6+7）=5，=（2.5+3+4+4.5+c）=∴这组数据的样本中心点是（5，）把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25∴=0.85×5﹣0.25，∴c=6故答案为：6【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．12.已知函数，则不等式的解集为

参考答案：若，由得，解得。若，由得，解得，综上不等式的解为，即不等式的解集为。13.给出下列说法，其中说法正确的序号是②③．①小于90°的角是第Ⅰ象限角；

②若α是第Ⅰ象限角，则tanα＞sinα；③若f（x）=cos2x，|x2﹣x1|=π，则f（x1）=f（x2）；④若f（x）=sin2x，g（x）=cos2x，x1、x2是方程f（x）=g（x）的两个根，则|x2﹣x1|的最小值是

．参考答案：π【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合三角函数的性质分别对①②③④各个选项进行判断即可．【解答】解：对于①：如﹣30°＜90°，在第四象限，故①错误；对于②：tanα﹣sinα=﹣sinα=，∵α是第Ⅰ象限角，∴1﹣cosα＞0，cosα＞0，∴tanα﹣sinα＞0，即tanα＞sinα，故②正确；对于③：由|x2﹣x1|=π，得：x2=x1±π，∴f（x1）﹣f（x2）=cos2x1﹣cos2（x1±π）=cos2x1﹣cos（2x1±2π）=cos2x1﹣cos2x1=0，故③正确；对于④：令x1=，x2=，代入方程，满足方程，而|x2﹣x1|=．故④错误；故答案为：②③．【点评】本题考查了三角函数的性质及运算，熟练掌握关于三角函数的基础知识是解答本题的关键，本题是一道基础题．14.已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是

参考答案：515.（2016?沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得xA=．由于PA⊥l，可得xP=，yP=，再利用|PF|=|PA|=yP+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴xA=．∵PA⊥l，∴xP=，yP=，∴|PF|=|PA|=yP+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．16.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于，且△AOB的面积为，则抛物线C的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线AB的方程，利用△AOB的面积为，建立方程求出p，即可求出抛物线C的方程．【解答】解：令A（x1，y1）B（x2，y2），由已知以AB为直径的圆相切于，∴y1+y2=6，A，B代入抛物线方程，作差可得kAB=，设直线AB的方程为y=（x﹣），与抛物线方程联立可得y2﹣6y﹣p2=0，∴y1y2=﹣p2，∵△AOB的面积为，∴|y1﹣y2|=，∴p=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，故答案为：y2=4x．17.在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，其中满足两个实数的和大于，即x+y＞的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=1，阴影部分面积S阴影=1﹣??=∴两个实数的和大于的概率P==故答案为：．【点评】本题考查几何概型，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.参考答案：解：(1)当时，，当时，由得，显然当时上式也适合，∴(2)∵，∴.19.点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：为定值.参考答案：解答：（Ⅰ）（*）所以，.（Ⅱ）设，直线：，联立方程组，所以，，同理.由（*）可知：，所以，即所以，即20.已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.

(1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;

(2)若.求①求数列与的通项公式;②试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．参考答案：解:(1)因为,所以当时,,两式相减,得,而当时,,适合上式,从而又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以,从而数列的前项和(2)①设,则,所以,设的公比为,则对任意的恒成立

即对任意的恒成立,又,故,且从而②假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项的和,即,从而,易知

(*),所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在略21.（本小題满分12分）已知函数。（1）若a＜0时，试求函数y＝f（x）的单调递减区间（2）如果对于一切、、总可以作为三角形的三边长，试求正实数a的取值范围．

参考答案：（1）函数的导函数.因为a<0，由，解得.所以函数的单调递减区间为.（2）由题设知，，即，解得.又因为a>0，所以0<a<2.（先缩小范围，减少讨论）因为，所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，有最小值.从而条件转化为由①得；由②得再根据得.不等式③化为.令，则，所以为增函数.又，所以当时，恒成立，即③成立.所以a的取值范围为.

22.已知函数f（x）=2cos（﹣x）cos（x+）+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；