《几何画板》在中学计算机辅助数学教学中的应用

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2、引言：以计算机为核心的信息技术迅猛进展对包括教育在内的人类生活的方方面面产生了冲击性的影响，教育信息技术的日新月异，使得众多数学家、数学教育家和广阔数学老师共同关怀数学教学如何适应信息时代的进展。正是基于新形势下的教育观念、教学内容、教学手段、教学方式都将发生前所未有的变更。计算机及其网络成为数学课堂教学的帮助工具，《新课程标准》指出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向同学提供更为丰富的学习资源，把现代技术作为同学学习数学和解决问题的有力工具，致力于转变同学的学习方式，使同学愿意并有更多的精力投入到现实的、探究性的数学活动中去。”因此，作为教育的内容及方式也需要随着转变，同时对老师也提出了更高的要求。信息技术与数学课堂整合、运用信息技术改进数学教学已经引起广泛的重视。现代信息技术强大的认知工具作用，无疑将极大地影响数学课程的进展。

目前，应用于教学中的教学软件主要有MicrosoftWordMicrosoftPowerPointFlash和《几何画板》。《几何画板》作为最超卓的数学软件之一，成为了同学学习数学和解决问题的强有力工具，转变了同学的学习方式，使同学愿意并有更多的精力投入到现实的、探究性的数学活动中去。

3、《几何画板》的功能简介

〔1〕画图精确

以尺规作图为基准，可径直做出点、线、圆、角等基本图形。

〔2〕能动态实现图形的改变〔旋转、平移、缩放等〕

〔3〕强大的测量和计算功能，可径直测量长度、角度、弧度、封闭

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图形的周长和面积等。除了可进行常见的四那么运算、指数和对数运算及三角运算外，还提供强大的函数运算功能和丰富的科学计算功能。

(4)强大的函数功能

它能简单且直观地实现点的绘制和函数图像的绘制，引入参数可实现点的追踪，动态呈现函数图像的生成过程，利用动画按钮功能可方便掌握函数图像的改变过程。

〔5〕强大的自定义工具

自定义工具就像图章，可方便地把常用到的几何图形关系利用《几何画板》的自定义工具径直实现。我们以一个三角形内心为例来说明自定义的作用，作图方法为：①作出三角形的任意两边的中点；②连接两条中线，交点即为该三角形的重心。这时我们分别选取该三角形的三个顶点及重心，点自定义工具→创建新工具→输入名称三角形的重心〔也可以自己命名〕即可定义名称为三角形的重心的自定义工具。下次假如要做三角形的重心时，只需先选取这个自定义工具再次选取该三角形的三个顶点，重心就可以自动生成。

4.《几何画板》的计算机帮助数学教学功能

4.1善用《几何画板》增大教学信息量拓宽认知途径

工欲善其事，必先利其器

一般认为传统的数学课堂教学的主要缺点是教学内容比较陈旧、教学方式比较单一、教学进展缓慢、同学缺少实现观测和动手实践的参加。因此，这种教学从内容到形式都较难适应瞬息万变的信息社会需要和创新人才培育，而以《几何画板》为代表的计算机帮助教学的

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到来，对这种状况将有所转变。老师可以利用它【显示/隐蔽】或【系列】功能把备课的文本、图片、图像、动画、乃至声音等形式内容做成多页课件。正式上课时只需轻松点点鼠标，这样就可以省去板书之累、粉尘之苦，腾出精力来放在课堂上的宏观调控、启迪思索、组织沟通上。《几何画板》不仅能够让师生摆脱个别蛮力意义上的计算，减削因手工操作带来的误差，减削师生教与学的负担，多快好省地解决数学及教学问题，也可为师生提出了一个可随时印证创意自主探究的认知平台。

4.2巧用《几何画板》，激发同学学习爱好。

由于用传统手段教数学缺乏同学的操作活动，缺乏了解数学背景，缺乏获得数学阅历，所以数学留给同学的印象是枯燥和抽象的。绝大部分的同学对数学敬而远之，甚至是惧怕和厌恶。这种心情极大地压抑了同学的学习潜力。

《几何画板》具有强大的动态改变功能，一流的交互功能，能以浓缩的形态给同学提供数学背景，通过同学的参加和亲自操作，枯燥抽象的内容变成生动形象的图形，原本不明白或不甚明白的概念等变得一目了然。

当我们运用《几何画板》动态地、探究式地表现立方体的表面开展图，让我们的同学在操作的过程中，反复观测沿不同的棱开展的图形特点，实现空间想象技能的培育，原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、精美感人的舞台，同学心情高涨，专注、渴求和欣喜的神情挂在脸上，作为老师的我感到无限欣慰，《几何画板》一时成了师生的热门话题。使同学深刻体会到：“自己的眼睛可以看到自己在现实生活中看不到的一面”、“数学原来也能这样来学”、“想不到数学还真有趣”

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爱好是同学学习的最好的老师，是原动力。实践证明运用《几何画板》探究学习数学不仅不会成为同学的负担，相反使抽象变形象，微观变宏观，给同学的学习生活带来极大的乐趣，同学完全可以在轻松开心的氛围中获得知识。

4.3多用《几何画板》的动态效果，培育同学自主合作精神。例如同学学习“角平分线”的概念和性质时，可以让同学跟着老师操作《几何画板》，构造出∠ABC的平分线BE。然后让同学度量出∠ABC和∠CBD的值。同学拖动点A转变角的大小，观测度量值的改变，领悟角平分线的概念。接着做出角的两边的垂线FE和FG，度量出点F到垂足的距离。同学用鼠标在角平分线上任意拖动点F，观测度量值，不难发觉角平分线的性质。

ABC=31.57

CBD=31.57

EF=3.66厘米

FG=3.66厘米

B

同学动手在操作中学数学，同学动手“做数学”，这是一种新的学习方式，课堂上不再是老师滔滔不绝地讲，老师组织学习内容，指导同学讨论问题，指导同学学习，成为同学学习的援助者，同学成为学习的主人。对自己的任何发觉，都可以得到实时地验证。这时教DC

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师的角色不再是同学的保姆，同学不再是被灌输知识的容器，也不再是目睹老师口干舌燥的“观众”，而是积极参加探究的“主角”，经过自己亲身的实践活动，感受、理解知识产生和进展的过程，形成自己的阅历，发挥了同学的能动性和制造技能，达到让同学“做”数学的目的。

4.4利用《几何画板》的功能，揭示“数形结合”的改变规律。数形结合思想是一个特别重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”《几何画板》为“数形结合”制造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决同学难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给同学一种耳目一新的视觉感受，使同学从画面中去寻求到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。在引入《几何画板》之后，可以测量各种数值以及进行各种函数运算，在图形的改变过程中，数量改变特征也可以直观地呈现在同学眼前，“以形助数”，“用数解形”，这在传统教学中无法办到。

如在“二次函数y＝a*2＋b*＋c的图像”一节中，如何向同学说明y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a(*－h)2、y＝a(*－h)2＋k等函数图像的相互关系一贯是传统教学中的重点和难点，同学难以理解，老师也难以用文字语言说明。通过《几何画板》只需用鼠标上下移动点a、h、k，y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a〔*－h〕2、y＝a〔*－h〕2＋k等函数图像便可一目了然，难题也就迎刃而解，同学也在a、h、k的改变过程中加深对二次函数的理解。利用《几何画板》反复动态演示y＝a*2、y＝a*2＋k、y＝a〔*－h〕2、y＝a〔*－h〕2＋k等函数图像的相互变换，同学便可比较顺当地掌控二次函数的图像上下左右平移的知识难点。

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4、5用《几何画板》改进概念教学、培育同学创新意识

过去由于硬件条件的限制，很多数学知识被抽象了，于是“抽象”

成了数学的代名词，或许由于如此，造成了大批数学困难生。而现代教学媒体采纳了先进的技术，向同学提供了当时无法看到的事物、现象和过程，所以有人说光学媒体是人眼的延伸，声像结合的媒体，相当于人眼和耳的延伸，电子计算机是人脑的延伸，用《几何画板》制作课件，可以把传统教学下很多抽象的数学概念。数学问题及其产生

的过程变成详细的画面呈现出来，使课堂教学不受时间、空间、宏观、微观的限制。所以开阔视野、方便观测、启迪思维、加强理解、强化记忆功能。

我想这也是“再发觉，再制造”的详细表现，更是培育同学创新意识和创新技能的有效途径。培育同学的创新意识和创新实践技能，是当今教育改革的大趋势，现行数学教育大纲把“逐步形成数学创新

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意识”作为数学教学的目的之一。《几何画板》为同学提供了讨论问题的强有力的工具，给同学提供了创新的机会。

4、6勤用《几何画板》自主探究，培育同学的综合技能。“动态”是《几何画板》的最大特点，也是其魅力之所在。这在数学上的意义非同寻常，它满意了数学教学之需，弥补了传统教学手段之不足。黑板上的图形是永久静止不动的，它掩盖了几何实质。在传统数学教学中，用圆规、三角板绘制的几何图形是静态的，要认识它的关系需要老师的语言描述和同学的理解和想象技能。《几何画板》画出的图形与在黑板上画出的图形不同，它具有动态特征。老师可以在“动”中教，同学可以在“动”中学。有些教学内容在传统教学中显得枯燥和乏味，引入《几何画板》后，很多内容变静为动，同学在“动”中求知，从而激发了同学的学习爱好与学习积极性。利用《几何画板》的动态性和形象性，可以给同学制造一个实际“操作”几何图形的环境。同学可以任意拖动图形、观测图形、猜想并验证，在观测、探究、发觉的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何阅历背景，从而更有助于同学理解和证明。

5、《几何画板》在数学教学中的实例应用

5.1代数、三角函数方面

只要给出函数表达式，就可以做出任意一个给定区间上的初等函数图像，如函数y=ASin*的图像当拖动点C、J、F运动时，屏幕上不仅y的值变动,图像的振幅、周期也跟着动。

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5.2平面几何、平面解析几何

《几何画板》提供了画点、线、线段、射线、直线和圆的工具，

即提供了计算机的尺规作图，因此能画出任意一种欧几里德几何图形，而且能够精确的表现几何对象。《几何画板》还提供了测量和计算功能，能够对所做出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等还能对测量值进行计算。包括四那么运算、函数运算，并把结果动态的显示在屏幕上，当用鼠标拖动任意一个对象时显示出这些几何对象大小的量也随之转变。假如存在着不变的关系或几何定理，几何画板能使这些几何关系保持不变，这正是几何画板的精髓所在。在变动的状态下，线段的中点永久是中点，平行的直线永久平行；无论你拖动三角形的一个顶点怎么移动，虽然这个三角形的大小在动态的转变着，但是显示三角形内角和的数值总保持不变；当任意转变园内的相交弦AB、CD的交点P的位置时，显示APPB,CPPD的数值总保持相等，精确

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AP=3.49厘米

PB=2.70厘米

CP=1.80厘米

PD=5.23厘米

APPB=9.43厘米2

CPPD=9.43厘米2

A

《几何画板》还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹，线的轨迹，形成曲线包络，这显着又为平面解析几何的轨迹教学提供了特别好的工具。利用这一功能，可以使同学预先猜想轨迹的外形，然后利用《几何画板》进行验证，使同学看到轨迹的形成过程，为同学观测现象、发觉结论、探讨问题创设了较好的“情境”，为新的教学模式的建构提供了可能。《几何画板》不仅有直角坐标系功能，能画出解析几何中的全部的二次曲线，而且还有极坐标功能，可以做出由极坐标确定的全部曲线，从而使极坐标下列图形、方程的讨论成为可能。此外，《几何画板》还提供了旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以按指定的值对图形进行平移、缩放、反射等变换，便于讨论运动和变换这样的非欧几里德问题。

5.3立体几何

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通过《几何画板》的作图功能，我们能做出需要的各种立体几何图形。由于做出的图形是动态的，我们可以拖动某些点转变它的位置使图形有最正确的视角，最好的直观性，不仅如此我们还可以依据空间几何体的不同定义制作旋转体的形成过程。

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由此可见，《几何画板》有强大的教学功能，能很好的和数学教学相结合。《几何画板》既能创设情境，又能让同学主动参加，所以能有效的激发同学的学习爱好，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象使同学从可怕

厌恶数学变成对数学喜欢并愿意学数学，让同学通过做“数学试验”去主动发觉、主动探究，不仅使同学的规律思维技能、空间想象技能和数学运算技能得到较好的训练，而且还有效的培育了同学的发散思维和直觉思维。

6．应用《几何画板》的案例及分析反思

6.1案例设计——双曲线及其标准方程

教学课题：双曲线及其标准方程

教学对象：高二同学

教学目的：1.使同学掌控双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，

并会初步运用。

2.通过双曲线标准方程的推导，提高同学求动点轨迹

的技能。

3.使同学初步会按特定条件求双曲线的标准方程。

4.使同学理解双曲线与椭圆的联系与区分。

5.培育同学发散思维技能。

教学重点：双曲线的定义，标准方程及简约应用。

教学难点：双曲线方程的推导及待定系数法解二元二次方程组。授课类型：新授课

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课时安排：1课时

教具：黑板，电脑，粉笔，尺子

教学过程：

一．复习引入

1.椭圆的定义:平面内与两定点F1F2的距离之和等于常数(大于F1F2的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的轨迹的《几何画板》演示

3.椭圆的标准方程

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*2y2焦点在*轴上221ab

y2*2焦点在y轴上221ab

其中a2b2c2〔ab0〕

二.讲解新课

1.我们已经知道,与两定点的距离的和为常数的轨迹是椭圆,那么与两定点的距离的差为非零常数的点轨迹是怎样的曲线

呢?(请同学猜想一下)

2.用《几何画板》动态的做出与两定点的距离的差为非零常数的轨迹。

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此轨迹是一条曲线，而且这条曲线是满意下面条件的点的集合即:P={M||MF1|-|MF2|=2a}

假如使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的距离所得的差

等于2a，就得到另一条曲线〔左边的曲线〕，这条曲线满意下面条件的点的集合，

即：P={M||MF2|-|MF1|=2a}

这两条曲线和起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。

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3.双曲线的定义：把平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于

常数〔小于|F1F2|〕的点的轨迹叫做双曲线。

即：P={M|||MF1|-|MF2||=2a}

其中：F1F2叫做焦点|F1F2|叫做焦距

4.双曲线的标准方程

依据双曲线的定义推导双曲线的标准方程，推导过程就是求双曲线的过程，可依据求动点轨迹的方程步骤求双曲线的方程。

步骤：〔1〕建立坐标系并设点

〔2〕列式

〔3〕变换

(4)化简

〔5〕证明

〔1〕建立直角坐标系*oy使*轴经过F1F2，并且点o与线段F1F2的中点重合。设M(*,y)是双曲线的任意一点，双曲线的焦距为2c(c0),那么焦点F1F2的坐标分别是〔c,0〕,(-c,0),又设M与F1F2的距离的差的

绝对值等于常数2a.

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〔2〕由定义可知，双曲线就是集合

P={M|||MF1|-|MF2||=2a}由于|MF1|=(*c)2y2

|MF2

2|=(*c)2y

所以得(*c)2y2-(*c)2y2=2a

化简是得(c2a2)*2a2y2a2(c2a2)⑴

由双曲线的定义：2c2ac2a20

令：b2c2a2〔b0〕代入⑴得

b2*2a2y2a2b2

2

*2y

a2b21〔a0,b0〕

此即为双曲线的标准方程，它表示焦点F1F2在*轴上的双曲线，其

c2a2b2，假设坐标系选取不同可得到双曲线的不同方程。中

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5.同学自己证明焦点在y轴上的双曲线的标准方程

6.课堂练习

7.例题讲解〔略〕

6.2案例分析与设计反思

从教材内容处理来看，双曲线被安