2020-2021学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-2

PAGE第二章推理与证明[A组学业达标]1．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．答案：D2．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数解析：假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.答案：C3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．答案：B4．设a，b，c大于0，则3个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，则a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2，∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6.①又a，b，c大于0，所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立，所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：反证法的步骤为：反设→归谬→存真，∴正确顺序为③①②.答案：③①②6．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．①已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；②关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；③同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定”型命题；②是“唯一”型命题，且题中条件较少；③中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”解析：显然①②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．答案：③8．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2⊂α，B1B2⊂α，即a⊂α，b⊂α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A1B1与A2B2也是异面直线．9．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).因为0<a<1,0<b<1，所以1－a>0.由基本不等式eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)>eq\f(1,2)，同理eq\f(1－b＋c,2)>eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(1,2)，以上三个不等式相加，eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)>eq\f(3,2).这是不可能的．故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).[B组能力提升]1．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数解析：反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．答案：D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”即“全部中最少有一个”．答案：B3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．答案：丙4．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)5．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．证明：假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(