八年级数学下册专项训练：待定系数法求解析式与几何简单综合（20题）（解析版）

待定系数法求解析式与几何简单综合专项训练（20题）1．已知与正比例，且时，(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正比例的定义设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．【详解】（1）解：设函数解析式为，∵当，∴，∴∴解析式为，即（2）解：∵在函数图象上，∴，

∴．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，正确求出一次函数解析式是解题的关键．2．平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点.(1)求的值；(2)求该一次函数图象与轴交点坐标；(3)将这个一次函数图象向上平移两个单位后得到的函数解析式是__________.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入得到方程，解方程即可；（2）当时计算的值，即可得到结果；（3）根据平移中“上加下减”进行解题即可．【详解】（1）解：把代入得：，解得，（2）解：由（1）得，当时，，∴一次函数图象与轴交点坐标为；（3）解：将这个一次函数图象向上平移两个单位后得到的函数解析式是．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的解析式，交点坐标和平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．一次函数的图像经过点和．(1)求这个一次函数表达；(2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数求解析式即可求解；（2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和．∴解得：∴这个一次函数表达为；（2）解：∵，，∴随的增大而减小，∵点在该一次函数的图像上，且，∴，解得：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．4．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，求出对应y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）把代入求出一次函数解析式，求出y的值即可．【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把，；，代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）解：把代入得：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，准确计算．5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，且经过点．(1)求的值；(2)若这个一次函数的图象与轴交于点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，一次函数的图象由函数向左平移个单位长度得到，设一次函数的表达式为．代入，，即可求解；（2）由（1）得一次函数的表达式为，令，则，得出，，根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：一次函数的图象由函数向左平移个单位长度得到，设一次函数的表达式为．一次函数的图象经过点，，，解得；（2）由（1）得一次函数的表达式为，一次函数的图象与轴交于点，令，则，，，∴，的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．6．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．(1)求点A′的坐标；(2)确定直线A′B对应的函数表达式．【答案】(1)A′（2，0）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【详解】（1）解：令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．7．已知与成正比例，当时，．(1)求y与x的函数表达式；(2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．【答案】(1)(2)不在，理由见解析【分析】（1）根据与成正比例，设出函数关系式，再把，代入求出k的值即可；（2）将点代入函数解析式，即可判断该点是否在这条直线的图象上．【详解】（1）解：设，∵时，，∴，解得，∴y与x的函数关系式；（2）∵，∴当时，，∴点不在函数的图象上．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图像上的点是解题的关键．8．已知一次函数．当时，；当时，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)求这个一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出一次函数与x轴，y轴的交点A，B的坐标，进而得到，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴这个一次函数的解析式为；（2）设一次函数与x轴，y轴分别交于A，B，当时，，当时，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，正确求出一次函数解析式是解题的关键．9．如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解．【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，得。，解得：。∴直线对应的函数表达式为（2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，∴直线对应的函数表达式为：，∵直线分别与轴、轴交于点C、D．令，得，令，得，∴。∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，已知点C（m+2，3m﹣1），直线l经过点A（2，2），B（1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)若A，B，C三点共线，求m的值；(3)若将直线l先沿y轴向上平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位后经过点C，求点C的坐标．【答案】(1)直线的解析式为(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）将点坐标代入解析式可求的值；（3）根据题意得出平移后的解析式，将点坐标代入可求解．【详解】（1）解：设直线解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的解析式为；（2）解：，，三点共线，，解得；（3）解：由直线l先沿y轴向上平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位后可得函数解析式为：，∴把点C（m+2，3m﹣1）代入得：，解得：，∴点C的坐标为．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平移的性质，利用参数解决问题是本题的关键．11．已知y关于x的一次函数，当时，；当时，．(1)求k、b的值；(2)若，是该一次函数图象上的两点，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）把，代入解析式，得到，，计算即可证明结论．【详解】（1）解：把，；，代入,得，解得；（2）解：由（1）可知：函数解析式为，把，代入解析式得：，，∴．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．12．已知函数．(1)若函数的图像经过原点，求的值；(2)若函数的图像与y轴交点的纵坐标为，求方程的解．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）将代入函数解析式求解即可；（2）将代入函数解析式，求得，再将代入方程求解即可．【详解】（1）解：∵该函数的图像经过原点，∴可将代入，得：，解得：；（2）∵该函数的图像与y轴交点的纵坐标为，∴可将代入，得：，解得：．将代入，得：，解得：．【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质，根据题意确定函数经过的点．13．已知直线：经过点，两点，且与直线交于点，(1)求直线的解析式并求出点的坐标；(2)求出直线、直线及轴所围成的三角形面积；(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若线段的长为4，求点的坐标．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）把分别代入，即可得出直线AB的解析式；联立两个函数解析式，再解方程组即可求出点C的坐标（2）求出直线与轴的交点，直线与轴的交点，利用三角形面积公式即可求出答案；（3）设，分当时及当时，列出方程求解即可．【详解】（1）解：把分别代入得：；解得：，所以直线解析式为；联立得：，解得：，所以点坐标为；（2）解：对于，当时，，∴直线交轴于，∵直线交轴于，∴，所以直线、直线及轴所围成的三角形面积为；（3）解：设，则，当时，如图，，解得：，∴点坐标为；当时，如图，，解得：，∴点坐标为；综上所述，点坐标为或．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出直线的解析式．14．如图，直线y=x+4与坐标轴交于点A，B，点C（-3，m）在直线AB上，在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，(1)找出点P的位置，在图中标出来（保留作图痕迹）；(2)求这个最小值；(3)求点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)这个最小值为5；(3)点P的坐标为（0，）．【分析】（1）作点C关于y轴的对称点D，连接AD交y轴于P，则此时PA+PC的值最小，据此得到点P的位置；（2）求出点A和点C的坐标，根据一次函数图象上点的特征求出AD的长，即可求得这个最小值；（3）用待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：作点C关于y轴的对称点D，连接AD交y轴于P，则此时PA+PC的值最小，如图，点P即为所求作，；（2）解：∵点A在直线y=x+4上，∴点A（-4，0），∵点C（-3，m）在直线y=x+4上，∴m=1，则点C（-3，1），∵点D与点C关于y轴的对称，∴点D的坐标为（3，1），PA+PC的值最小，最小值即为AD的长，∴AD=；∴这个最小值为5；（3）解：设直线AD的解析式为y=kx+b，，解得：．∴直线AD的解析式为，∴点P的坐标为（0，）．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的特征和轴对称－最短路线问题，正确确定PA+PC的值最小时，点P的位置是解题的关键．15．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接．(1)求点C的坐标和直线的表达式；(2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标．【答案】(1)，(2)点P的坐标为【分析】（1）先求出点A，B的坐标，可得，，然后设，则，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，即可求解；（2）作点C关于x轴的对称点，则，求出直线的表达式，即可求解．【详解】（1）解：把代入得：，∴把代入得：，∴，∴，，设，则，在中，，即，解得，∴，设直线的表达式为，把代入得，∴，∴直线的表达式为；（2）解：作点C关于x轴的对称点，则；把代入得：，∴，设直线的表达式为，把代入得，∴，∴直线的表达式为，将代入得，∴点P的坐标为．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．16．如图，已知的顶点分别为，，．(1)作出关于轴对称的图形．(2)点在轴上运动，当的值最小时，直接写出点的坐标．(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据题意，先画出点A、B、C关于x轴的对称点，再一次连接即可；（2）连接，与x轴相交于点P，点P即为所求，再用待定系数法求解直线的函数表达式，最后即可求出点P的坐标；（3）用割补法即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知连接，与x轴相交于点P，点P即为所求；设直线的函数解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为：，把代入得：，解得：，∴．（3）．【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．17．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，，，平行于y轴的直线l经过点，与关于直线l对称．(1)画出，并写出三个顶点的坐标；(2)观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线l的对称点的坐标______．(3)在直线l上找一点P，使最小，写出此时点P的坐标．【答案】(1)画图见解析，，，(2)(3)【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．（2）由题意可知，点的纵坐标与点的纵坐标相等，横坐标为，即可得出答案．（3）连接，交直线于点，连接，此时最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，即为所求点，，．（2）由题意可知，点的纵坐标与点的纵坐标相等，横坐标为，的坐标为．故答案为：．（3）如图，点即为所求．设直线的解析式为，将，代入，得，解得，直线的解析式为，令，得，点的坐标为．【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，求一次函数解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是、、、．(1)求的面积；(2)点是轴上一点，当的值最小时，求的坐标．【答案】(1)10(2)【分析】（1）用所在的长方形的面积减去其周围的三个直角三角形的面积，即可求解；（2）作点C关于x轴的对称点F，连接交x轴于点E，则此时的值最小，再求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：的面积为；（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点F，连接交x轴于点E，则此时的值最小，∵，∴点，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴点E的坐标为．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意得到点E的位置是解题的关键．19．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．(1)根据题意，写出点A的坐标，点C的坐标；(2)将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式．【答案】(1)（4，0），（0，2）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）由OA＝4，OA＝2OC，得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；（2）由折叠的性质得AE＝CE，设CE＝AE