八年级数学下册16.3二次根式的加减（解析版）

16.3二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.注意：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.题型1：同类二次根式1.（2022八下·哈尔滨开学考）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与2的被开方数不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【答案】D【解析】【解答】解：A：12=22与B：18=32，与2C：50=52，与2D：12=23，与2故答案为：D

【分析】利用实数的运算法则逐个化为最简二次根式，找出被开方数与2的被开方数不同的二次根式。【变式1-1】（2022八上·杏花岭期中）下列二次根式中，不能与3合并的是（）A．12 B．18 C．27 D．48【答案】B【解析】【解答】解：A、12=23，能与3合并，故此选项不符合题意；B、18=32，不能与C、27=33，能与3合并，故此选项不符合题意；D、48=43，能与3合并，故此选项不符合题意；故答案为：B．【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。【变式1-2】（2022八上·奉贤期中）下列二次根式中，同类二次根式是（）A．81ab3和3a316bC．a3bc和和bc D．【答案】A【解析】【解答】解：A.81ab3=9bab，3a316b=3×aab4b=3aab4b是同类二次根式；

B.4a2b=2二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.注意：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

3)合并同类二次根式.题型2：二次根式的加减2一个三角形的三边长分别为，，，则它的周长为．【分析】运用二次根式加减运算法则，化简为最简二次根式即可求解．【解答】解：三角形的周长为：＝2+4+5＝2+9，故答案为：2+9．【变式2-1】计算4﹣+．解：原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）．解：原式=2+3﹣2=．（3）27x-3【答案】解：原式=3【变式2-2】计算：2【答案】解：21=2×=43=63.计算：320【答案】解：3=6=计算18【答案】解：原式=3故答案为2【解析】【分析】利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可。计算：23【答案】解：2=2=-计算：12-【答案】解：原式＝2=(＝5-二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.注意：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.二次根式的混合运算3.（2022八下·安宁期末）计算：（1）6（2）(【答案】（1）解：原式==3=（2）解：原式=3-2-(5-2=1-5+2=2【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可。【变式3-1】（2022八下·盘龙期末）（1）(248（2）(5【答案】（1）解：(2=(8=6=6（2）解：(==5-3+3+4=9+4（3）计算：（2022八下·沂南期末）计算：23【答案】解：原式==33【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。【变式3-2】（2022八下·五常期末）计算：（1）12（2）(2【答案】（1）解：原式=23（2）解：原式=248【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；

（2）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。（2022八下·建昌期末）（3）计算：(6【答案】解：原式=6-3-4=3-3=0【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。【变式3-3】（2022八下·鞍山期末）计算（1）(45（2）(248【答案】（1）解：(45+18)-2(8（2）解：(248-327)÷6=（83-93）÷6=【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算即可；

（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。（2022八下·单县期末）（3）计算：(27【答案】解：(==2=4=-9．题型4：确定同类二次根式中字母的值4若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝2 D．a＝﹣2【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a+1＝2a解得：a＝1故选：A．【变式4-1】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【解答】解：∵最简二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故选：D【变式4-2】当x＝时，最简二次根式﹣4与3能够合并．【分析】根据同类二次根式能够合并得出x2﹣1＝x+1，求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式﹣4与3能够合并，∴x2﹣1＝x+1，解得：x1＝2，x2＝﹣1，当x＝2或﹣1时，最简二次根式﹣4与3能够合并．故答案为：2或﹣1．题型5：二次根式的化简与求值5.已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aab【答案】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=a=-26【解析】【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提取公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可.【变式5-1】已知求的值。【答案与解析】所以原式=【变式5-2】已知a=12-3，b=12+【答案】解：a=2+3，b=2﹣3ab-ba=（2+3）（2+3）﹣（2﹣3）（2﹣3）=[（2+3）+（2﹣3）][（2+3）﹣（2﹣3）]=4×23=83【解析】【分析】首先对a，b的值进行分母有理化，然后根据ab-ba=a•题型6：代数式的大小比较6.（2021八下·龙湾期中）比较大小：15+613【答案】＜【解析】【解答】解：由题意得15+62=21+180≈34.4，

13+72=20+364≈39.1，

∴15+62<13【变式6-1】已知x=2011-2012，y=2012-【答案】x＜y【解析】【解答】解：∵x=2011-2012，y=∴x=﹣（2012-2011）=﹣12012+2011∴﹣x=12012+2011∵12012+2011＞122012∴﹣y<1∴﹣y＜﹣x，∴x＜y．故答案为：x＜y．题型7：二次根式的规律探究题7.（2022八下·上林期末）观察下列各式：11+2=2-1，……，A．2022-1 B．2022+1 C．2021-1【答案】A【解析】【解答】解：∵11+12……1n∴原式=2-1+3-故答案为：A.【分析】将各个加数分母有理化，则待求式可变形为2-1+【变式7-1】（2021八下·西城期末）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（2＋1）（2﹣1）＝1，可得2＋1与2﹣1互为倒数，即12+1＝2﹣1，12-1＝2＋1，类似地，13+2＝3﹣2，13-2＝3＋根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）16+5＝，1（2）若122+m＝22（3）计算：12+1+【答案】（1）6-5（2）±（3）9【解析】【解答】解：（1）因为(6+5)(6因为(n+1+n（2）∵122+m∴(2∴(2∴(2∴m2∴m=±7（3）1==-1+==9．故答案为：（1）6-5；n+1-

【分析】（1）利用题中等式变形的规律求解即可；

（2）先变形为(22+m【变式7-2】（2021八下·滨城期中）观察下列各式：12+1=2-1，13【答案】2020【解析】【解答】解：第1个等式为：12第2个等式为：13第3个等式为：14归纳类推得：第n个等式为：1n+1∴(1=(2=(2021=2021-1，=2020，故答案为：2020．题型8：二次根式与实际应用8.．站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们符合公式为d=8h5【答案】解：登山者看到的原水平线的距离为d1=8hd【解析】【分析】由题中的d、h之间的关系，由h变为2h，代入式子，可求出水平线的距离倍数.【变式8-1】二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神州八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，那么圆的半径应是多少？【答案】解：S长方形=140π•35π=70π，S圆=πR2=70π，∴R=70，即圆的半径为70cm．【解析】【分析】先求出长方形的面积，然后根据圆形和长方形的面积相等，利用圆的面积公式求出圆的半径．【变式8-2】如图，在长方形ABCD中无重叠放人面积分别为16cm2和A．(-12+83)cmC．(8-43)cm【答案】A【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，

∴它们的边长分别为16=4cm，12=23cm，

∴AB=4cm，BC=23+4cm，

解法一：∴空白部分的面积

=23+4×4-12-16=83【变式8-3】如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm，3≈【答案】解：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，则：x2=48，y2=3∴x=43，y=3∴这个长方体的底面边长为：x-2y=43【解析】【分析】已知大正方形的面积和小正方形的面积，可用二次根式表示两个正方形的边长，从而可求这个长方体的底边长和高．一、单选题1．（2022八下·东川期末）下列运算正确的是（）A．5-2=3 B．35+2【答案】D【解析】【解答】解：A、5-B、35C、5⋅D、62故答案为：D．【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法逐项判断即可。2．（2020八上·福田期末）设n为正整数，且n<65<n+1，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【解答】解：根据题意可知，64＜65＜81

∴8＜65＜9

∵n为正整数

∴n=8故答案为：B.

【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。3．（2022八上·闵行期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．33与6 B．8与2 C．-13与23 【答案】B【解析】【解答】解：A.33和6B.8=22和C.-13=-D.4a=2a和故答案为：B．【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.4．（2023九上·万州期末）估算(25A．6至7 B．5至6 C．4至5 D．3至4【答案】B【解析】【解答】解：∵(25+52∴5＜2+10＜6，即故答案为：B.【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=2+10，根据估算无理数大小的方法可得3＜10＜4，据此解答.5．（2022八下·龙游月考）定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=a2+b2．若x+2+A．0 B．22 C．25【答案】B【解析】【解答】解：∵x+2+y2-4y+4=0，

∴x+2+（y-2）2=0，

∴x=-2，y=2，

∴x★y=（-2）2+22=226．（2022八下·香河月考）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．82-8 B．83-12 C．【答案】A【解析】【解答】解：由已知可得：长方形ABCD的长为16+∴长方形ABCD的面积为4(4+2∴空白部分的面积为：16+8故答案为：A．

【分析】先求出长方形的长和宽，再利用割补法求出空白部分的面积即可。二、填空题7．（2021·南京一模）计算3×（12－3）的结果是.【答案】3【解析】【解答】3===6-3=3.故答案为：3.

【分析】根据二次根式的乘法法则化简即可求解.8．（2020·香坊模拟）计算18-8的结果为【答案】2【解析】【解答】解：原式=32-22=2．

故答案为2．【分析】先把18和8化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．9．（2020八上·金山期中）若最简二次根式a-13与2b+1是同类二次根式，则b【答案】8【解析】【解答】解：∵最简二次根式a-13与2∴a-1=2，b+1=3，∴a=3，b=2，∴ba=2故答案为：8．

【分析】根据同类二次根式的定义可得：a-1=2，b+1=3，求出a和b再代入计算即可。10．（2020九上·嵩县期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简(a+c)2-|b+c|=【答案】﹣a+b【解析】【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，而且|a|>|b|>|c|，∴a+c＜0，b+c<0，∴(a+c)2故答案为：-a+b.【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解.11．（2020七下·防城港期中）计算：3（3+13）=【答案】4【解析】【解答】解：原式=3×3+×1=3+1=4.故答案为：4.【分析】根据单项式乘以多项式的法则去括号，进而根据二次根式的乘法法则及除法法则计算，最后根据有理数的加减法算出结果.三、计算题12．（2022八下·余杭期中）计算：（1）24-（2）51【答案】（1）解：原式＝26﹣2×3＝26﹣6＝6（2）解：原式＝5﹣25+35＝25【解析】【分析】（1）第一项利用二次根式的性质化简，第二项利用二次根式的乘法法则计算，进而再合并同类二次根式即可；

（2）先根据二次根式的性质，将各个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.13．（2021八上·北镇期中）计算：（1）38﹣（π﹣3.14）0+|2（2）18﹣418﹣2（2（3）（25-7）（25+7【答案】（1）解：原式=2-1+2-2（2）解：原式=32（3）解：原式=20-7-5+65【解析】【分析】（1）先利用立方根、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；

（2）