垂径定理教案

北辰教育学科教师辅导学案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型C圆的垂径定理T圆的垂径定理T圆的垂径定理授课日期及时段年月日00:00--00:00教学内容—————圆的垂径定理教学目标1、研究圆的对称性，掌握垂径定理及其推论2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题二、教学过程1、复习：圆的周长：C=2πr或C=πd圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）2、知识讲解考点1圆的垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。典型例题分析题型1：1、下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？（D）解析：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。满足两个条件，缺一不可。2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）

A．DE=BEB．C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【答案】B．【解析】∵AB⊥CD，AB过O，

∴DE=CE，，

根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．

故选B．【考点】垂径定理3、如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB的长为（）A．9cmB．3cmC．cmD．cm【答案】A【解析】如图，连接AC，∵∠CBA＝30°，∴∠COA＝60°。∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形。∵⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∴AD=BD（垂径定理），OD=CD（等边三角形三线合一）。∵OC＝3cm，∴CD=cm。在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，CD=cm，∴BD=cm。∴AB=2BD=9cm。故选A。考点：垂径定理的推论题型2：4、如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=________cm．

【答案】2【解析】∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，

∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm，

∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，

∴OD=cm，

∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．

故答案为：2．

考点：1、垂径定理；2、勾股定理5、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，则PE的长度为_____．答案：

解析：由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB与OC平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂径定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，设PE=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x，由AE的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PE的长．

解：∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∵AB∥OC，∴∠CAB=∠C，∴∠OAC=∠BAC，

∵OE⊥AB，∠AOE=30°，∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，∴∠OAC=∠BAC=30°，

在Rt△APE中，设PE=x，则有AP=2x，根据勾股定理得：AP2=PE2+AE2，即（2x）2=x2+1，

解得：x=或x=-（舍去），则PE=．故答案为：题型3：6．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4c解答：（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4c（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4c∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4c点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．7．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．解答：证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD．点评：此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．8．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．考点：垂径定理；勾股定理．分析：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．解答：解：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2c（2）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2c即CD=2c点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．—————圆的垂径定理一、拓展。1、对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦（直径）；

（4）平分弦所对的劣弧；

（5）平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。

2、在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d（圆心到弦的距离）、半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者的关系，它们的关系为。二、典型例题讲解题型1：1、如图，AB为的直径，弦CD⊥AB垂足为E，则下面结论中错误的是（）。A．CE＝DEB．＝C．∠BAC＝∠BADD．OE=BE答案：D【解析】AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，则AB是垂直于弦CD的直径，就满足垂径定理．

因而CE=DE，＝，∠BAC=∠BAD都是正确的．

根据条件可以得到E点位置不确定．所以D是错误的．

故选D．

考点：垂径定理．2、下列命题中，正确的是（）A．经过两点只能作一个圆B．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧C．圆是轴对称图形，任意一条直径是它的对称轴D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧【答案】B【解析】A、经过两点只能作无数个圆，故本选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故本选项正确；

C、圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线是它的对称轴，故本选项错误；

D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项错误．

故选B．

考点：1．垂径定理2．命题与定理．3、如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（

）

A．3B．4C．D．【答案】【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，

由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=3，

∵弦AB、CD互相垂直，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=3．故选C．考点：1.垂径定理2.勾股定理．题型2：4、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合设）∴DE=4∴不需采取紧急措施．【解析】要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．5、如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。求证：【答案】【解析】证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC则在中，在中，即即考点：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。6、如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF＝4HE，求HE的长。【答案】cm【解析】解：连结AD、OGOA＝OD∴△AOD为等边三角形∵OD⊥AN∴NO＝ND＝4cm∵OD＝OG＝8cm设，则在中，由得：解得：（舍去）∴HE的长为cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。7．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．考点：垂径定理；解直角三角形．4513433专题：证明题．分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C，∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．8．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D=∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理求出AH即可．解答：解：连接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2c点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．9．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：①连接AD、OB，根据三线合一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．解答：解：①如图，连接AD，连接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三点共线，∴AO过D，∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如图：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的长是4cm或4点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．10．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可解答：解：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，∵OE过圆心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂径定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．点评：本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．课程小结垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。垂径定理的推论推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧—————圆的对称性一、典型例题1、（20XX年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（）.A.B.C.D.答案：D．考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(20XX年黄石)如右图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为CADBA.B.C.D.CADB答案：C解析：由勾股定理得AB＝5，则sinA＝，作CE⊥AD于E，则AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝，即，所以，CE＝，AE＝，所以，AD＝3、(2013河南省)如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（）（A）（B）∥（C）AD∥BC（D）【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以∥，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。【答案】C4、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．cmB．cmC．cm或cmD．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）A．cmB．5cmC．4cmD．cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．解答：解：连接AO，∵半径OD与弦AB互相垂直，∴AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半径为cm．故选A．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4mB．5mC．6mD．8m考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．解答：解：连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴AD===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m）；故选；D．点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理分析：根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB==．故选B．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8C．2D．2考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：探究型．分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A．10B．8C．5D．3考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．解答：解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A.4B.5C.6D.812、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5B．10C．8D．6考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．解答：解：连接OB，∵OC⊥AB，AB=8，∴BC=AB=×8=4，在Rt△OBC中，OB===．故选A．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．13、（20XX年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.D.分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键14、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．考点：一次函数综合题．分析：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．16、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。17、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：综合题．分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2，过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD==10π．故答案为：10π．点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．18、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．解答：解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．19、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=28度．考点：圆周角定理；垂径定理．分析：根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案．解答：解：∵OB⊥AC，∴=，∴∠ADB=∠BOC=28°．故答案为：28．点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．20、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是48度．考点：垂径定理．分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案为：48．点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．21、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．新课标第一网考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．解答：解：连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心点O，设半径为x，∵CD=4，EM=8，∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，在Rt△OE