高数函数极限

高数函数极限使用数学语言进行描述,定义1.6可以写为：如果在定义1.6,

如果令

则有

设在点

的某个空心邻域内有定义,A为常数.存在点

的空心邻域第2页,共28页，2024年2月25日，星期天的右极限与左极限.分别称为f(x)在点由定义1.6,

特别地,我们有下面两个简单的极限：第3页,共28页，2024年2月25日，星期天例1证明不存在.左右极限存在但不相等,证所以,不存在.第4页,共28页，2024年2月25日，星期天例2用定义验证:证因所以故而第5页,共28页，2024年2月25日，星期天例3证明:当证因不妨设

由

所以

故

第6页,共28页，2024年2月25日，星期天例4用定义验证:证因不妨设

于是故所以第7页,共28页，2024年2月25日，星期天例5证明其中为常数.证即

当时,结论显然成立.令则

于是

所以

先证的情形.当时,令而同样有

第8页,共28页，2024年2月25日，星期天1.2.2

函数极限的性质与运算但所有的结果都可以平行推广到一般情况.

定理1.9(唯一性)本节主要针对的情形讨论极限的性质与运算,证反证法.若存在,则极限值是唯一的.于是为无穷小,与矛盾.则

都是无穷小.

第9页,共28页，2024年2月25日，星期天定理1.10(局部有界性)

若存在,则在x0的某个空心邻域证设所以,在该空心邻域内有界.内有界.因为在点x0某空心邻域内有界,

第10页,共28页，2024年2月25日，星期天定理1.11(局部保号性)

证只需证第一部分.

与A同号.不妨设1.设且因所以为无穷小.即于是第11页,共28页，2024年2月25日，星期天1.2.3极限的运算法则定理1.12(极限四则运算法则)

则有

证(1)则

设

第12页,共28页，2024年2月25日，星期天推论1如果即:常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果所以(1)成立.于是第13页,共28页，2024年2月25日，星期天推论1.2(局部保序性)由定理1.11和定理1.12,立即有下面的推论

则在x0的某个空心邻域内有2.若在x0的某个空心邻域内有则则第14页,共28页，2024年2月25日，星期天有利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题：

对于的多项式函数第15页,共28页，2024年2月25日，星期天例6

求

解由函数商的极限法则,有第16页,共28页，2024年2月25日，星期天一般地,设

则商的法则不能使用.则当第17页,共28页，2024年2月25日，星期天解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例7

求

第18页,共28页，2024年2月25日，星期天解消去零因子法时,分子、分母的极限都是零.例8

求

第19页,共28页，2024年2月25日，星期天解时,分子、分母的极限都是无穷大,例9

求

分子、分母同时除以

x的最高次幂.第20页,共28页，2024年2月25日，星期天一般地,当第21页,共28页，2024年2月25日，星期天解先作恒等变形,使和式的项数固定,再求极限.和式的项数随着n在变化,原式不能用运算法则.方法:例10

求

第22页,共28页，2024年2月25日，星期天定理1.13(复合函数的极限运算法则)设且存在推论若则则复合函数时的极限也存在,且第23页,共28页，2024年2月25日，星期天证例11

证明:如果则由及复合函数的极限法则,有

有特别地,如果为多项式函数,且

第24页,共28页，2024年2月25日，星期天解原式例12

求

第25页,共28页，2024年2月25日，星期天

由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序,

在数列中任意得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列).

设在数列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子数列

第三次在后抽取注意:

严格单调递增，显然有

无休止地第26页,共28页，2024年2月25日，星期天如果数列收敛于A,

则它的任意子数列推论1.3(收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于A.证设是的任一子列.令显然有由定理1.13有第27页,共28页，2024年2月25日，星期天如果推论1.4(函数极限与