2020-2021学年吉林省长春市德惠市九年级(上)期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年吉林省长春市德惠市九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共8小题）.

1.化简二次根式正的正确结果为（）

A.3B.—C.D.2

33

2.下列方程中，是一元二次方程的是（)

,,11

A.x+y—1B.--5C.4?-5%-3=5D.

x2X2+1

3.下列说法正确的是（）

A.做抛掷硬币的实脸，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实险结果是一样的

B.天气预报说明天下雨的^率是50%,也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该彩票一定会中奖

4.若上==，则包的值为（）

a-b4b

A.5B.—C.3D.—

53

5.如图，两根竹竿A2和AQ斜靠在墙CE上，量得NA8C=a,ZA£>C=p,则竹竿AO与

48的长度之比为（）

BtanBrsin/cosB

tanasinBcosa

6.一元二次方程冗2一以-5=0经过配方后可变形为（）

A.(x-2)2=1B.(x+2)2=-1C.(x-2)2=9D.(x+2)2=9

7.如图，小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是

()

BC

8.如图，若一次函数y=or+Z?的图象经过二、三、四象限，则二次函数＞=。？+法的图象

9.计算.

10.使J(x-1/=1-x成立的x的取值范围是

II.如图，在菱形ABC。中，E、尸分别是AC、BC的中点，如果EF=5,那么菱形ABC。

的周长_______

12.如图，当太阳在A处时，小明测得某树的影长为2米，当太阳在B处时又测得该树的

影长为8米.若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为米.

13.在平面直角坐标系中，已知A(-3,3),B(-6,0),以原点O为位似中心，将线

段AB放大为原来的2倍，得到线段A'B',则A'B'的中点坐标是.

14.如图，抛物线y=与x轴相交于A、B两点，点A在点8左侧，顶点在折线

M-P-N上移动,它们的坐标分别为M(-1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物

线移动过程中，点A横坐标的最小值为-3,则-1-b+c的最小值是.

16.(6分)若抛物线y=f-2(.k-1)x+必与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标.

17.(8分)按要求作图(必须用直尺连线)：

(1)在图①中以点C为位似中心，在网格中画出使ADEC与AABC位似,且

△DEC与XABC的位似比为2:1,

(2)在图②中找到一个格点C,使NAC3是锐角，且tanNACB=l,并画出△ACB.

18.(8分)某班月考后，为了奖励成绩进步的学生，班主任老师准备了三种奖品：A笔记

本、B中性笔、C棒棒糖，小文和小明从中随机选取一种奖品，且他们选取每种奖品的

可能性相同.

(1)小文选棒棒糖的概率是.

(2)请用列表或画树状图的方法求出小文和小明选择不同奖品的概率.(可用字母4、

B、C代替奖品)

19.(8分)某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”

节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：

小阳：据调查，该商品的进价为12元/件.

小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件.

小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售

出40件.

根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？

20.(9分)某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时.一辆汽车在该路段上由

东向西行驶，如图所示，在距离路边10米。处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东

60°的A点行驶到北偏东30°的B点，所用时间为1秒.

(1)试求该车从A点到8点的平均速度.

(2)试说明该车是否超速.7、A/2^1.4)

21.(10分)如图，NAOB=90°,OA=OB,C为08的中点，。为A。上点，连结4C、

BD交于点P,过点C作CE//OA交BD于点E.

(1)问题发现

当。为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现祭=(填数值)；

1W

(2)拓展探究

当包时求―

^A0-4f，,

①署的值，

rE

②直接写出tanNBPC的值.

B

22.(11分)如图，在RtZ\4BC中，N4C8=90°,AC=8,BC=6,CO_LA8于点。，点

P从点。出发，沿线段QC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两

点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设

运动时间为t秒.

⑴求线段CD的长;

(2)设△CP。的面积为S,求S与/之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

△CPQ与△CA。相似？请直接写出t的值.

Ca

23.(12分)如图，已知二次函数>=0%2+反+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),

交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)将直线8c向下移动"个单位(n>0),若直线与抛物线有交点，求〃的取值范围;

(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△8MN是等腰三角形时，直接

参考答案

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.化简二次根式雪的正确结果为（）

A.3B.—•UMD.李

3

解：值=}=7退==血

V3V3V3XV33

故选：D.

2.下列方程中，是一元二次方程的是（）

00110

A.¥+），-=1B.—=5-C.4/一5元一3=5D-VX2-3X+4=0

x2X2+1

【解答】A、是二元二次方程，故A错误；

B、是分式方程，故B错误；

C、是一元二次方程，故C正确:

D、是无理方程，故。错误;

故选：C.

3.下列说法正确的是（）

A.做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是一样的

B.天气预报说明天下雨的概率是50%,也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次一定掷出背面

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该彩票一定会中奖

解：A.做抛掷硬币的实验，如果没有硬币用图钉代替硬币，做出的实验结果是不一样的，

故A选项错误，不符合题意；

B.天气预报说明天下雨的概率是50%,也就是说明天下雨和不下雨的机会是均等的，故

B选项正确，符合题意：

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，已连续掷出5次正面，则第6次不一定掷出背面，故C

选项错误，不符合题意；

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该彩票不一定会中奖，故。选项错误，不

符合题意.

故选：B.

4.若上=工，则包的值为()

a-b4b

A.5B.—C.3D.1

53

解：由上==，得

a-b4

4b=a-b.,解得a=5b,

a5b

-----——=5,

bb

故选：A.

5.如图，两根竹竿A2和AD斜靠在墙CE上，量得NA8C=a,NA£>C=0,则竹竿A£>与

48的长度之比为（)

BtanBrsinacosB

tanasinbcosa

ArAC

VsinZABC=—,即sina=

ABAB

何=盗

Ar

在RtZkAOC中，・.・sinNADC=言，即$皿0=箭,

：.AD=AC

sinB

AC

,AD_sinB_sina

**ABACsinB

sinCL

故选：C.

6.一元二次方程f-4x-5=0经过配方后，可变形为（）

A.(x-2)2=1B.(x+2)2=-1C.(x-2)2=9D.(x+2)2=9

解：方程¥-4%—5=o,

移项得：x-4x=5,

配方得：x-4x+4=9,即（x-2）2=9.

故选：C.

7.如图，小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是

解：设各个小正方形的边长为1,则已知的三角形的各边分别为泥，2,710，

4、因为三边分别为：衣，后,3,三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角

形不相似：

B、因为三边分别为：1,加,娓,三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形

相似；

C、因为三边分别为：1,2&,述三边不能与已知三衡形各边对应成比例，故两三角形

不相似；

D、因为三边分另为：2,辰,^13,三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角

形不相似，

故选：B.

8.如图，若一次函数y="x+〃的图象经过二、三、四象限，则二次函数丫=41?+乐的图象

解：•.•一次函数y=or+匕的图象经过二、

：.a<09b<09

二次函数y=ax2+hx的图象可能是：开口方向向下，对称轴在y轴左侧,

故选:B.

二、填空题（每小题3分，共18分）

9.计算X_-*/42_•

解：V6XV7=V42-

故答案为：^42-

10.使｛（x-1产=1~x成立的x的取值范围是xWl.

解：；｛(x-l)2=Q”,

|x-1|=1-X,

Ax-1^0,即启1.

故答案为xWI.

11.如图，在菱形ABCC中，E、尸分别是AC、BC的中点，如果EF=5,那么菱形ABC。

的周长40.

解：•:E、尸分别是AC、8c的中点,

...EF是△ABC的中位线,

：.AB=2EF=2X5=W,

菱形ABCD的周长=4义10=40.

故答案为：40.

12.如图，当太阳在A处时，小明测得某树的影长为2米，当太阳在8处时又测得该树的

影长为8米.若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为上一米.

解：如图，♦.•两次日照的光线互相垂直,

NE+N尸=90°,ZE+Z£CD=90°,

：.ZECD=ZF,

又：NCQE="DC=90°,

：./\CDE^/\FDC,

.CD=DE

"DF-CD，

由题意得，DE=2,力尸=8,

.CD__2_

,■8_亩

解得8=4,

即这颗树的高度为4米.

故答案为：4.

B时04时

EDF

13.在平面直角坐标系中，已知4（-3,3）,B（-6,0）,以原点O为位似中心，将线

段4?放大为原来的2倍，得到线段A'B',则4'B'的中点坐标是（-9,3）或（9,

-3）

解：•.•点A的坐标为（-3,3）,点B的坐标为（-6,0）,

.MB的中点坐标为（-*,|-）,

；以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段4'B',

：.AfB'的中点坐标是（-"2,1-X2）或（会2,-1-X2）,即（-9,3）或（9,

-3）,

故答案为：（-9,3）或（9,-3）.

14.如图，抛物线y=-f+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点8左侧，顶点在折线

M-P-N上移动,它们的坐标分别为M(-1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物

线移动过程中，点A横坐标的最小值为-3,则-1-He的最小值是-15

解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3,

则抛物线的表达式为：y=a(x+l)2+4,

将点A坐标(-3,0)代入上式得：0=。(-3+1)2+4,

解得：a--1,

当X——1时，y=-1-b+c,

顶点在N处时，y=-1-0+c取得最小值，

顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-(x-3)2+1,

当x=-1时，)；=一1一b+c=一(一1-3)"+1=—15,

故答案为：一15.

三、解答题(共78分)

15.(6分)计算：4wsin60°。(3本日)

解：原式=4X亨-X6x¥9+6方"2

=2詹-2行9+6扬2

=11+6^2-

16.(6分)若抛物线y=f-2(k-1)1+必与x轴只有一个交点，求上的值及顶点坐标.

解：：抛物线y=x2-2(2-1)x+F与x轴只有一个交点，

・•・当y=0时，方程，-2Ck-1)叶产=0有两个相等的实数根，

.•・△=/-4〃c=[-2(攵-1)『-4必=0,

解得：k=—.

2

当左=工时，该二次函数为：y—x*,+x+-—=(x+—>)〜

242

顶点坐标是0).

17.(8分)按要求作图(必须用直尺连线)：

(1)在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△£)£(?,使△OEC与△A8C住似，且

△OEC与△ABC的位似比为2：1,

(2)在图②中找到一个格点C,使NACB是锐角，且tanNACB=l,并画出4人。.

解：(1)如图①所示，△DEC即为所求;

班主任老师准备了三种奖品：A笔记

本、B中性笔、C棒棒糖，小文和小明从中随机选取一种奖品，且他们选取每种奖品的

可能性相同.

(1)小文选棒棒糖的概率是—•

~3-

(2)请用列表或画树状图的方法求出小文和小明选择不同奖品的概;率.(可用字母4、

B、C代替奖品)

解：(1):•共有三种奖品：A笔记本、8中性笔、C棒棒糖,

小文选棒棒糖的概率是当；

故答案为：—：

3

(2)根据题意列表如下:

ABc

A(4,A)(A,B)(4,C)

B(B,4)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小文和小明选择不同奖品的有6种,

则小文和小明选择不同奖品的桃率为旦=2.

93

19.(8分)某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”

节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：

小阳：据调查，该商品的进价为12元/件.

小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件.

小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售

出40件.

根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？

解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为(%-12)元，

根据题意，得

[240-20a-20)]X(x-12)=1920

整理，得，-4©+480=0

解得，%)=20,X2=24

当降价时，设每件商品定价为)，元，则每件商品的销售利润为(y-12)元，

根据题意，得[240+40(20-y)]X(y-12)=1920

整理，得丁-38y+360=0

解得，.=20,j2=18,

综上所述，比较两种方案后，定价为18元更合理.

20.(9分)某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过36千米/时.一辆汽车在该路段上由

东向西行驶，如图所示，在距离路边10米O处有一“车速检测仪”，测得该车从北偏东

60°的A点行驶到北偏东30°的B点，所用时间为1秒.

(1)试求该车从A点到B点的平均速度.

(2)试说明该车是否超速.(百比1.7、4)

o

解：（1）据题意，得NAOC=60°,N8OC=30°

在RtzMOC中，NAOC=60°

・・・NO4C=30°

VZAOB=ZAOC-ZBOC=60°-30°=30°

・・・ZAOB=ZOAC

：.AB=OB

在RtABOC中

OB=OC-rcosNBOC

=10+返

2

=型返（米）

3

.”8=圆返（米）

3_

...v=1=20\/&（米/秒）.

33

(2)-36千米/时=10米/秒

又驾无比11.3，

二当巨〉10,

...小汽车超速了.

21.(10分)如图，NAO8=90°,OA=OB,C为OB的中点，。为AO上点，连结AC、

BD交于点P,过点C作CE//OA交BD于点E.

(1)问题发现

当。为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现泰=2(填数值);

1kz

(2)拓展探究

j,AD1...

当而7时’来：

①票的值，

②直接写出tanNBPC的值.

解：⑴\'CE//AO,

LABECS^BOD,

.CEBC

"ODW

：C为08的中点，。为AO的中点,

：.BC=—BO,AD=DO,

2

：.EC=—DO=—AD,

22

,.,CE//AO,

:AECPs^DAP,

.AD,AP

*,EC"PC-，

故答案为：2；

(2)(T)'：CE//AO,

：./\BECS/\B0D,

.CEBC

^OD'CO'

,：C为08的中点，

：.BC=^BO,

：.EC=^DO,

..AD

*AO-4，

：.AD=—DO,

3

U：CE//AO,

:.AECPsADAP,

.DP=AD一2

••西廿冢?

5A0-4，

设AO=f,则B0=A0=4f,0D=3t,

•：AO±BO,即NAOB=90°,

•**BD=VB02+D02=V16t2+9t2=5z，

5

:.BE=DE=f,

..DP2

*PE3'

：.PD=t,PB=4t,

：.PD=AD,

:.NA=NAPD=NBPC,

DC1

则tanZBPC=tanZA=—=—.

OA2

22.(11分)如图，在RtZkABC中，NACB=90°,AC=8,BC=6,CD_LAB于点。，点

P从点。出发，沿线段QC向点C运动，点。从点C出发，沿线段C4向点A运动，两

点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设

运动时间为t秒.

(1)求线段CQ的长；

(2)设acp。的面积为s,求s与r之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)当r为何值时，△CP。与△C4O相似？请直接写出f的值.

解：⑴VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=10.

•：CD±AB,

AC=—AB'CD.

22

.*.C£)=BC・AC=48

AB

，线段CD的长为4.8；

(2)过点尸作P”JL4C,垂足为H,如图1所示.

由题可知CQ=t,

则CP=4.8

VZACB=ZCDB=90°,

AZHCP=90°-NDCB=NB,

u：PH.LAC,

：.ZCHP=90°,

:.NCHP=NACB.

:.△CHPSABCA.

.PH_PC

••而而

.PH_4.8-t

"T二10’

**'S=S^CPQ—~CQ9PH=^t一看')=-+-25^(0W，W4.8);

(3)由运动知，DP=t,CQ=t.则。尸=4.8-九

VZACD=ZPCQ,且NA£)C=90°,

①当NCPQ=NA£>C=90°时，如图2,

：.ACPQ^/\CDA9