2024年中考数学考点方法07二次函数中定值、定点问题（8类题型）原卷版

方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）题型一面积（面积比）定值题型二线段（线段比）定值题型三线段和差倍定值题型四线段乘积为定值题型五横（纵）坐标定值题型六其它定值问题题型七结合韦达定理求定点题型八直线过定点题型一面积（面积比）定值1．（2023•花都区二模）已知，抛物线与轴交于，两点在的左侧）．（1）当时，求点，坐标；（2）若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当时，若抛物线在该范围内的最高点为，最低点为，直线与轴交于点，且，求此时抛物线的解析式．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线经过第二象限的点，过点作轴交抛物线于点，第一象限的点为直线上方抛物线上的一个动点．过点作于，连接、．（1）如图1，若点，．①求的值；②求证：．（2）如图2，点在线段下方的抛物线上运动（不与、重合），过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．若，求的值（用含有的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接、，试判断的值是否随点的变化而变化？如果不变，求出的值，如果变化，请说明理由．题型二线段（线段比）定值3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过的三个顶点，其中为原点，，，点在线段上运动，点在直线上方的抛物线上，，于点，交于点，平分，，于点，连接．（1）求抛物线的解析式及的面积；（2）当点运动至抛物线的对称轴上时，求的面积；（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线于另一点，以，为边构造，延长交抛物线于点．（1）若，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点的坐标．（2）如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线经过、、三点，点是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点位于第四象限时，连接，，，若，求直线的解析式；（3）如图2，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．题型三线段和差倍定值6．（2023•红桥区三模）已知抛物线，为常数，经过点，，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接，在该抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，，点在运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．7．（2023•呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：0120020其中，根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；（3）在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；（2）点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线，交轴于点．若点是二次函数图象上一动点，且点始终位于轴上方，作直线，，分别交于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上．（1）如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上．①；②如图1，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．（1）用含的式子表示；（2）当时，如图1，点是直线下方抛物线上的一个动点，求点到直线距离的最大值．（3）当时，如图2，过点，的直线交抛物线于，．①若轴，计算．②若与轴不平行，请你探索是否定值？请说明理由．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线的抛物线也经过点、点，并与轴正半轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点，点在抛物线对称轴上，并使得的周长最小，过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于，，，两点，试探究的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线适当平移后，得到抛物线，若当时，恒成立，求的最大值．13．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若且．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点，当时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，交轴于点，过点的直线与线段，分别交于，，当直线绕点旋转时，为定值3，请求出和的值．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的坐标为，点为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线．①求二次函数的表达式；②若点与点关于对称轴对称，则点的坐标是；③在②的条件下，连接，在上任意取一点，过点作轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点，求线段的最大值．（2）过点作的平行线，交抛物线于点，设点、的横坐标为、，在点运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．题型四线段乘积为定值15．（2023•南充）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点在抛物线上，点在轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．题型五横（纵）坐标（坐标和）定值16．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，连接．（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；（3）如图2，若动直线与抛物线交于，两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．17．（2023•清江浦区校级三模）如图，已知抛物线与轴交于点，交轴于点，，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交轴于点，交轴于点，将沿直线翻折，得到，点的对应点为点若点的对应点恰好落在抛物线上，求的值；（3）如图2，点是抛物线上一动点，连接，并将直线沿轴翻折交抛物线于点．设点的横坐标为，点的横坐标为，试问：是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．题型六其它定值问题18．（2023•宿豫区二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图象的开口方向，决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A）（异于顶点到对称轴的垂线段的长度的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（B）到抛物线的顶点的距离叫这个点的“股高”，记作；点（A）到顶点的距离的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（A）和顶点的直线与对称轴相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．由图1可得，对于函数．（1）当勾距为定值时，①、；股高和弦长均随增大而增大；②；偏角随增大而减小；（如：函数中，当时，、、（2）当偏角为定值时，③、、，勾距、股高和弦长均随增大而减小；（如：函数中，当时，、、利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．（1）函数中，①当时，，②当时，；（2）如图2：以为顶点作抛物线：和，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点；①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；②若点在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值．19．（2023•宜都市二模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）写出抛物线的对称轴，并求的值；（2）如图1，，点，是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为；①若，关于点对称，求点坐标；②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值．20．（2023•长沙）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值；（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函数的图象的对称轴；②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“美美与共”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．题型七结合韦达定理求定点21．（2023•汉阳区校级模拟）抛物线，交轴于，两点在的左边），是抛物线的顶点．（1）当时，直接写出，，三点的坐标；（2）如图1，点是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度；（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为，点为直线上的一点，过点的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．题型八直线过定点22．（2023•锦江区校级模拟）已知抛物线与轴交于、两点，顶点为，与轴交于点，且的面积为6．（1）求抛物线的对称轴和解析式；（2）平移这条抛物线，平