第十章-1曲线积分

曲线积分与曲面积分前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍Green公式、Gauss公式和Stokes公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。2023/5/241重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法Green公式、Gauss公式曲线积分与路径无关的条件难点第二型曲面积分的计算基本要求①正确理解曲线积分和曲面积分概念②熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法2023/5/242③掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同④掌握第二型曲线积分与路径无关的条件⑤牢固掌握Green公式及其成立条件⑥牢固掌握Gauss公式及其成立条件2023/5/243第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分2023/5/244第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分

第十一章2023/5/245对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和近似值取极限精确值2023/5/246二、对弧长的曲线积分的概念1.定义2023/5/247积分弧段被积函数积分和式曲线形构件的质量2023/5/2482.存在条件：3.推广2023/5/249注意：4.性质2023/5/2410三、对弧长曲线积分的计算定理2023/5/2411注意:特殊情形2023/5/24123.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧2023/5/2413推广:一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数2023/5/2414例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)2023/5/2415例2计算其中L为在第二象限的部分解一将L表示为2023/5/2416解二将L表示为解三将L表示为参数方程2023/5/2417例2解2023/5/2418例3解2023/5/2419例4解例52023/5/2420解由对称性,知注关于对弧长的曲线积分的对称性①若L关于

y

轴对称2023/5/2421其中L1是L的关于

y

轴对称的部分弧段②若L关于x

轴对称其中L2是L的关于x

轴对称的部分弧段2023/5/2422③若L关于原点对称其中L3是L的对称的部分弧段④若L关于直线

y=x

对称与重积分的对称性十分类似2023/5/2423四、几何与物理意义2023/5/24242023/5/2425例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则2023/5/2426五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？2023/5/