北京草寺中学高三数学理联考试卷含解析

北京草寺中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若a1＞0，且a1+9a6=0，则Sn取最大值时n为（） A．11 B． 10 C． 6 D． 5参考答案：D2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（

）A.A1O∥DC B.A1O⊥BCC.A1O∥平面BCD D.A1O⊥平面ABD参考答案：C【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O?平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．3.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（）A．30种 B．20种 C．15种 D．10种参考答案：B略4.已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中，最大的面积是A.3 B.6C.8 D.10参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2C

解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，

可以求得四个侧面的面积分别为，于是最大面积为8.故选C.【思路点拨】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．5.若数列的通项公式分别是且对任意恒成立，则实数的取值范围是（

） A．

B． C．

D．

参考答案：C略6.设函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6参考答案：D【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的k值．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f（x）在区间（﹣3，﹣2），（6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，故选：D7.一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为(

) A．6+π B． C．6+4π D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．解答： 解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3，圆的半径为1，侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．故选：A．点评：本题考查了由正视图与俯视图求侧视图的面积，判断数据所对应的几何量及求得相关几何量的数据是解题的关键．8.已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣2bx+1，设点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】首先画出可行域，求出面积，计算满足函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的a，b满足区域的面积，利用几何概型公式得到所求．【解答】解：点（a，b）对应的平面区域，表示一个直角三角形ACF，面积为×4×4=8，f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，且a＞0，则对称轴≤1，此时满足条件的点在如图所示的阴影部分：阴影部分的面积为四边形BCEG的面积是，故满足条件的概率p==，故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划问题与几何概型的综合考查；正确画出区域，利用面积比求概率是关键．9.设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的

（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出．【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0?夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．10.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为

(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：【答案解析】D解析：因为=，由图象与轴的两个相邻交点的距离等于，所以其最小正周期为π，则，所以，对于A,B,C,D四个选项对应的2x的范围分别是，所以应选D.【思路点拨】研究与三角相关的函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若向量与满足，则向量与的夹角等于

．参考答案：12.已知实数满足，则的最小值为

参考答案：略13.若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．参考答案：

【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（，），sin（α﹣）=，∴cos（）=，那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==故答案为：．14.已知，则的值等于___________.参考答案：.15.在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为

参考答案：16.如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则k=_________.参考答案：0或17.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，且四棱锥S-ABCD的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S-ABCD体积的最大值为__________.参考答案：6.【分析】四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD的中心M时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积.【详解】因为球心O在平面ABCD的射影为正方形ABCD的中心M，正方形边长为，，则在中，所以四棱锥的高的最大值为=3，此时四棱锥体积的为【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．19.若，，且，求n的值.参考答案：解析：系数，系数

，依题意

，即

，。20.（本小题满分12分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。参考答案：解（I）∵为锐角，∴……2分

4分∵∴

…………6分（II）由（I）知，∴

7分由得，即

9分又∵

∴

∴

∴

…………12分

略21.（12分）已知函数．（1）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（2）当时，证明：＞．参考答案：【知识点】函数的导数；导数研究函数的单调性；导数证明不等式.B11,B12【答案解析】(i)当时，；当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增．(ii)略解析：解：（Ⅰ），由是的极值点得，即，所以．

………………２分于是，，由知在上单调递增，且，所以是的唯一零点．

……………４分因此，当时，；当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增．

……………６分（Ⅱ）解法一：当，时，，故只需证明当时，＞．………………８分当时，函数在上单调递增，又，故在上有唯一实根，且．…10分当时，；当时，，从而当时，取得最小值且．由得,．…………………12分故==．综上，当时，．…………14分解法二：当，时，，又,所以．

………８分取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为．……12分所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞．…………………14分22.若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数（）恒成立，则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，