福建省泉州市文明中学高三数学理联考试题含解析

福建省泉州市文明中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设若直线与圆相切，则的取值范围是()参考答案：C2.将甲、乙、丙、丁四人分配到高中三个年级，每个年级至少1人，则不同的安排种数为A．72

B．36

C．24

D．18参考答案：B略3.若ab＜0，则过点P（0，﹣）与Q（，0）的直线PQ的倾斜角的取值范围是（）A．（0，） B．（，π） C．（﹣π，﹣） D．（﹣，0）参考答案：B【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】求出直线的斜率，结合已知条件求出斜率的范围，然后求解倾斜角的范围．【解答】解：由题意KPQ==，∵ab＜0，∴KPQ＜0，直线的倾斜角为：α，tanα=k＜0．∴α∈（，π）．故选：B．【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．4.若，其中，则导数的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（

）（A）4

（B）5

（C）

6

（D）7参考答案：B试题分析：设数列的公比为q，∴，∵，∴，∴，解得或（舍），∴，∵，∴，∴，解得，故选B.考点：等比数列的前n项和.6.已知椭圆，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.下列函数在上为增函数的是()A.

B.

C.

D．参考答案：【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C解析：解：由函数的单调性可知，在上为增函数.所以只有C正确.【思路点拨】利用分离常数法化简函数，再根据反比例的形式判定.

8.执行如图所示的程序框图，输出的值为A．

B.

C.

D.参考答案：D9.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（

）A．的图象过点

B．的一个对称中心是C．在上是减函数D．将的图象向右平移个单位得到函数的图象参考答案：B10.函数的图象是

（

）

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.i是虚数单位，复数z满足，则

．参考答案：5由题意可得：∴∴故答案为：5

12.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

．参考答案：4略13.定积分=

参考答案：=，其中等于的面积S=，=2=4【考点】定积分的几何意义14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是_________.参考答案：略15.(几何证明选讲）如右图，直角三角形中，，，以为直径的圆交边于点，，则的大小为

参考答案：略16.如果向量与共线且方向相反，则

参考答案：-217.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值为_____________.参考答案：或或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（Ⅰ）求函数的最大值为M；（Ⅱ）在第（1）问的条件下，设，且满足,求证：.参考答案：（1）2；（2）见解析【分析】（Ⅰ）将代入，对x分类讨论，并根据x的范围确定的最大值。（Ⅱ）因为，由进行化简，利用三角不等式结合均值不等式进行证明。【详解】（Ⅰ），即知.（Ⅱ）由，知.当且仅当，即.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，均值不等式的简单应用，注意分类讨论思想的重要应用，属于中档题。19.已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.参考答案：（1）设椭圆的半焦距为.依题意，

所求椭圆方程为.（2），，①当轴时，；②当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得

当且仅当，即时等号成立又当时，，综上所述，当最大时，面积取最大值.20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a6=14，S8=64，数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=（n﹣1）?2n+1，n∈N*．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=．记数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＜λ2﹣5λ对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，利用递推关系可得bn．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为的，∵a2+a6=14，S8=64，∴，解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=（n﹣1）?2n+1，n∈N*．∴当n≥2时，b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）bn﹣1=（n﹣2）?2n﹣1+1，∴nbn=（n﹣1）?2n+1﹣（n﹣2）?2n﹣1﹣1，解得bn=2n﹣1．（2）cn==．数列{cn}的前n项和Tn=+…+．=+…++，∴=1+﹣=﹣1﹣=3﹣，∴Tn=6﹣．不等式Tn=6﹣＜λ2﹣5λ对任意的n∈N*恒成立，∴λ2﹣5λ≥6，解得λ≥6，或λ≤﹣1．∴实数λ的取值范围为λ≥6，或λ≤﹣1．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知数列满足，都有.（1）求证：；（2）求证：当时，.参考答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.当时，，且，又，∴，.（2）∵，又，∴.当时，，又，∴.∴∴考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式的成立.第二问题中,先运用不等式及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.22.已知函数f（x）=xlnx﹣﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1x2λ恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（2）e1+λ＜可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得a＞．而a=．则原式等价于＞．即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），构造函数h（t）=lnt﹣，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k==，又k=，故，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）∵e1+λ＜等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于a＞．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．∴原式等价于＞．∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）═=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，∴h（t