江苏省泰州市沈高中学高三数学文联考试卷含解析

江苏省泰州市沈高中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.如图所示是用模拟方法估计椭圆的面积的程序框图，则图中空白框内应填入参考答案：D略3.已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】子集与真子集．【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．4.已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4} D．{﹣4，2，4}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C5.m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是

（

）

A.可能垂直，但不可能平行

B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行参考答案：D6.已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是

()参考答案：C7.设

（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C8.已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx，∴=，解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），∴cos4a=0，∴4a=kπ+，k∈Z，当k=0时，a的最小值为．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．9.若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是(

) A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+） C．f（x）=sin（4x+） D．f（x）=cos6x参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答： 解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．10.函数y=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是

参考答案：（0,1）12.设，则

。参考答案：由，得，即，平方得，所以。13.不等式的解集为

．参考答案：略14.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：第1组：，2个；第2组：，3个；第3组：，4个；第4组：，5个；第5组：，4个；第6个：，2个。则样本在区间上的频率为_________.参考答案：0.3略15.当钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为__▲___．参考答案：16.已知集合，B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则实数m的取值范围是

。参考答案：2<m≤4略17.在直角坐标系中，直线2x﹣y﹣1=0的斜率是．参考答案：2考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：化直线方程为斜截式，由斜截式的特点可得．解答：解：直线2x﹣y﹣1=0可化为y=2x﹣1，由直线的斜截式可知直线斜率为：2故答案为：2点评：本题考查直线的斜率，化直线方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3Sn=an﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}前n项的和为Tn，证明：Tn＜．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过3Sn=an﹣1，可得首项a1=﹣，3Sn﹣3Sn﹣1=an﹣an﹣1，即an=，计算即可；（Ⅱ）通过，利用放缩法、等比数列的求和公式计算即可．解答： 解：（Ⅰ）由3Sn=an﹣1，得a1=S1=﹣，当n≥2时，3Sn﹣1=an﹣1﹣1，两式相减得3Sn﹣3Sn﹣1=an﹣an﹣1，即an=，∴数列{an}是首项a1=﹣，公式q=﹣的等比数列，∴；（Ⅱ）∵，，∴Tn=b1+b2+…bn．点评：本题考查求数列的通项、判定和的范围，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知A、B、C是抛物线y2=2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC．（Ⅰ）若A（1，2），B（4，﹣4），求点C的坐标；（Ⅱ）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；K7：抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）由A（1，2）在抛物线上，求出p=2，设C（，t），则由kABkAC=﹣1，解得t=6，由此能求出C点坐标．（Ⅱ）设A（x0，y0），B（），C（），则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），从而直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），直线AE的方程为y=﹣（x﹣x0）+y0，代入抛物线方程，得D（，﹣），利用线段AD总被直线BC平分，能求出点A的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴p=2，设C（，t），则由AB⊥AC，得kABkAC=﹣1，∵A（1，2），B（4，﹣4），kABkAC=﹣1，∴kABkAC=×=﹣1，解得t=6，即C（9，6）．（Ⅱ）设A（x0，y0），B（），C（），则直线BC的方程为（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），故直线BC恒过点E（x0+2p，﹣y0），∴直线AE的方程为y=﹣（x﹣x0）+y0，代入抛物线方程y2=2px（p＞0），得点D的坐标为（，﹣），∵线段AD总被直线BC平分，∴，解得，∴点A的坐标A（）．20.（本小题满分12分)如图1，已知四边形为菱形，且,,为的中点。现将四边形沿折起至，如图2。（I）求证：（II）若二面角的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值。参考答案：(1)证明:四边形为菱形，且…………1分

又

………………3分

又……………4分……………5分(注：三个条件中，每少一个扣1分)(2)解法一:以点为坐标原点,分别以线段所在直线为轴,再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴,建立空间直角坐标系如图所示.平面,为二面角的一个平面角,……………6分则,,………7分则.设,则由得解得………8分那么.设平面的法向量为,则,即.即.

………………9分而平面的一个法向量为.……10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.

………………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为………12分解法二:分别取中点,连结.由平面,可知为二面角的平面角,即有.……………6分

为中点,.,平面.则以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系,如右图.则由条件,易得,,,.……………7分再设,而,,则由,有,得.由,可得.将带入,可得,即,……8分则.而,设平面法向量为,则,即.令,得,即.…………9分而平面的一个法向量为.………………10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为………………12分解法三:过点作且至点,延长至点,使.连结,则为三棱柱.延长交于点,连结由三棱柱性质,易知,则平面.过点作于点,过作于点.平面,,,平面,即,.,平面,故为平面与平面所成锐二面角的一个平面角,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………8分易得,即为正三角形.,.,,则,故.,.故,……11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分

解法四:延长交于点,连结,取的中点,过点作于点,连结,如右图.

由平面,可知为二面角的一个平面角,即有.………………7分

为中点,.,平面,即且.又,平面,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………9分

而.易得,而,,则.由勾股定理,得,则,…………………11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分解法五:延长交于点,连结,过点作且与延长线交于点,连结.取中点,过点作于点,连结,如右图.且为平面内两条相交直线,平面内两条相交直线,平面平面.平面,平面,即为二面角的一个平面角,

即有.…………7分为中点,.,平面,即且.又,平面,即为平面与平面所成锐二面角的一个平面角.…………9分而,则.易得,而,.,,则.由勾股定理,得,则,………11分即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………12分解法六:延长交于点,连结,过点作且与延长线交于点,连结.分别取中点,连结.再取中点,连结.且为平面内两条相交直线,平面内两条相交直线,平面平面.平面,平面,即为二面角的一个平面角,即有.………………7分由,得,则.为中点,.,平面.则以点为坐标原点,分别以直线为轴,建立空间直角坐标系,如右图.易得,…………8分则有.设平面法向量为,则,即.令,得,即.…………………9分而平面的一个法向量为.……10分设平面与平面所成锐二面角的大小为

则.………………11分所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为…………12分21.已知圆的极坐标方程为：．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．参考答案：⑴；

⑵圆的参数方程为

所以，那么x＋y最大值为6，最小值为2．略22.为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽