高考数学总复习8.5直线平面垂直的判定与性质市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§8.5直线、平面垂直判定与性质[考纲要求]

1.能以立体几何中定义、公理和定理为出发点，认识和了解空间中线面垂直相关性质和判定定理.2.能利用公理、定理和已取得结论证实一些相关空间图形位置关系简单命题．1/641．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直定义假如一条直线l与平面α内_______直线都垂直，就说直线l与平面α相互垂直．任意2/64(2)判定定理与性质定理3/644/642.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直定义两个平面相交，假如它们所成二面角是__________，就说这两个平面相互垂直．直二面角5/64(2)判定定理与性质定理6/647/64【思索辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(

)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(

)8/64(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(

)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内任意一条直线垂直于另一个平面．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×9/641．(教材改编)以下条件中，能判定直线l⊥平面α是(

)A．l与平面α内两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直【解析】

由直线与平面垂直定义，可知D正确．【答案】

D10/642．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”(

)A．充分无须要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也无须要条件11/64【解析】

若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以依据两个平面垂直性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能确保b⊥α，所以不能推出α⊥β.【答案】

A12/643．(·上海六校联考)已知m和n是两条不一样直线，α和β是两个不重合平面，下面给出条件中一定能推出m⊥β是(

)A．α⊥β且m⊂α

B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n，n⊂α且α∥β【解析】

由线线平行性质传递性和线面垂直判定定理，可知C正确．【答案】

C13/644．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定相互垂直平面有________对．【解析】

因为PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．14/64【答案】

715/645．(教材改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC________心．16/64【解析】

(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC外心．17/64(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB高．同理可证BD，AH为△ABC底边上高，即O为△ABC垂心．【答案】

(1)外(2)垂18/64题型一直线与平面垂直判定与性质【例1】

(1)(·武汉调研)如图所表示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.证实：BD⊥平面PAC.19/64【证实】

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.20/6421/6422/64所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.【方法规律】

(1)证实直线和平面垂直惯用方法：①判定定理；②垂直于平面传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直性质．23/64(2)证实线面垂直关键是证线线垂直，而证实线线垂直则需借助线面垂直性质．所以，判定定理与性质定理合理转化是证实线面垂直基本思想．(3)线面垂直性质，惯用来证实线线垂直．跟踪训练1

(·淄博模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中点，作EF⊥PB交PB于点F.24/64(1)证实：PA∥平面EDB；(2)证实：PB⊥平面EFD.【证实】

(1)连接AC交BD于O，连接EO.25/64∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC中点．又∵E是PC中点，∴在△PAC中，EO为中位线．∴PA∥EO，而EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.26/64(2)由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，且PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.①∵PD＝DC，E是PC中点，27/64∴△PDC是等腰三角形，故DE⊥PC.②由①和②及BC∩PC＝C，得DE⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.28/64题型二平面与平面垂直判定与性质【例2】

(1)(·济宁模拟)如图1，在四棱锥P­ABCD中

，PA⊥底面ABCD，平面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点，该四棱锥正(主)视图和侧(左)视图如图2所表示．29/64①求四面体PBFC体积；②证实：AE∥平面PFC；③证实：平面PFC⊥平面PCD.30/6431/64③证实

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD.32/64∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.∵PA＝AD，E为PD中点，∴AE⊥PD.33/64CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD.∵PQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD.34/64(2)(·云南名校联考)如图，AB为圆O直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面相互垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.①求证：平面AFC⊥平面CBF；②在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面DAF？并说明理由．35/64【解析】

①证实

∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O直径，∴AF⊥BF，∵CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.36/6437/64∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.即存在一点M为CF中点，使得OM∥平面DAF.【方法规律】

面面垂直性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直依据，利用时要注意“平面内直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂题目中，要对此进行证实．38/64跟踪训练2

(·北京)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.39/64(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解析】

(1)证实

因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.40/64(2)证实

因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.41/64(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证实以下：取PB中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.42/64题型三线面角、二面角求法【例3】

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中点．(1)求PB和平面PAD所成角大小；(2)证实：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A­PD­C正弦值．43/64【解析】

(1)在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成角大小为45°.44/64(2)证实

在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.45/64(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所表示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内射影是EM，则可证得AM⊥PD.所以∠AME是二面角A­PD­C平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得46/6447/64【方法规律】

求线面角、二面角惯用方法：(1)线面角求法：找出斜线在平面上射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角大小求法：二面角大小用它平面角来度量．平面角作法常见有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形性质．48/6449/6450/64又因为FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED.51/6452/64(3)因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成角即为直线AB与平面BED所成角．过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.又因为平面BED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成角即为∠ABH