湖南省衡阳市耒阳第四中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市耒阳第四中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则等于（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。2.设是虚数单位，复数，则等于（

）A.

B.

C.-1

D.1

参考答案：A3.函数的图象大致是A. B.C.

D.参考答案：A本题主要考查函数的图像与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由函数的奇偶性的定义可知，函数是奇函数，故排除C；令x=2，y>0,排除D；令,y<0,排除B，故答案为A.4.已知i是虚数单位，则=（）A．1B．iC．﹣iD．﹣1参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==﹣1，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．5.在的展开式中，含项的系数为A.－60

B.160

C.60

D.64参考答案：C6.设实数x、y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，作出直线2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直线x+ay﹣4=0经过点A，B，进行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直线2x+y=8，则目标函数与直线x+y﹣4=0交于A，作出直线2x+y=﹣5，则目标函数与直线3x﹣2y+4=0交于B，则直线x+ay﹣4=0经过点A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直线x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由图象进行检验可得，满足条件，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7.将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A. B. C.0 D.参考答案：B将函数的图像沿轴向左平移个单位后得到的图像，此时函数为偶函数，必有,当时，.故选B.8.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A． B． C．D．参考答案：A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n==10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p==．故选：A．9.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（A）（B）（C）（D）参考答案：B略10.若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有

（

）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义在上的奇函数,则的值域为

.参考答案：12.已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则

．参考答案：解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为，下方图像翻到轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知解得检验时，不符，而时满足题意。13.按右面的程序框图运行后,输出的应为__________.参考答案：40略14.（5分）（2015?枣庄校级模拟）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25内弦AB的中点，则直线AB的方程为．参考答案：x﹣y﹣3=0【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式．解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为弦AB的中点，PC的斜率为=﹣1，∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程y+1=1×（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．【点评】：本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法．15.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

项。参考答案：1316.已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：4≤a＜8【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜8【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．17.设，其中实数满足，则的取值范围是_______.参考答案：【知识点】线性规划E5约束条件对应的平面区域如图示：约束条件由图易得目标函数z=x+2y在处取得最小值，此时,

在B处取最大值，由可得，此时,

故的取值范围为：故答案为：.【思路点拨】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值及最小值，进一步线出目标函数z的范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设等差数列的前项和为，且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;

(2)求证参考答案：【知识点】等差数列的通项公式;数列的和D1D4⑴an＝2n－1;⑵见解析

解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得：解得a1＝1，d＝2.

因此an＝2n－1，n∈N*.…………6分(2)，因为,所以【思路点拨】⑴设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，然后利用已知条件列方程组解之即可;⑵,再结合裂项相消法求和即可得到证明.19.已知函数p（x）=lnx﹣x+4，q（x）=．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线斜率，得到关于a的方程，解出即可；（2）分离参数a，令，求出函数的导数，求出函数的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题知p'（x）=q'（x），即，当x=1￡?p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的极值点，所以公切线的斜率为0，所以p（1）=q（1），lnl﹣1+4=ae，可得．（2）p（x）﹣4＞q（x）等价于，令，则，令φ（x）=x﹣lnx﹣1，则，即φ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．φ（x）min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，所以h（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．，因为解集中有且只有两个整数．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若，求△ABC面积的最大值．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.分析：（Ⅰ）由正弦定理进行边角互化得。（Ⅱ）由余弦定理结合基本不等式进行求解。详解：（Ⅰ）由正弦定理可得：从而可得：，即又为三角形内角，所以，于是又为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：得：，所以，所以点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。21.（本小题满分12分）已知命题p：x∈[1,2]，x2－a≥0；命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围。参考答案：p真，则

---------2分q真，则即

----------4分“”为真，为假

中必有一个为真，另一个为假----5分

当时，有

-------8分当时，有

--------11分实数a的取值范围为.--------12分22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点.（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由.参考答案：（19）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.

----------------------（4分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系