电磁场数值计算之1-西安交通大学电气工程学院

1第一章 电磁场根本概念§1－1 Maxwell方程组〔一〕maxwell方程微分形式 积分形式全电流定律 ΗJD

Hdl

Dds 〔1-1〕t L

tS t电磁感应定律 EB

Edl

Bds 〔1-2〕t tL S 高斯定律 D

dv 〔1-3〕S V磁通连续性原理 B0电流连续性方程

Bds0 (1-4)SJdsdv 〔1-5〕说明：

t S V t1〔环量与旋度，通量与散度之间的关系、复数形式〔可作为稳态场计算散度、旋度的概念〔描述“点”上电磁场的性质。2、方程〔1-1〔1-2〔1-〕是一组独立方程，其它两个方程可以由此推6〔B、H、E、D、J、是非定解方式，必需加本构方程才为定解形式，对于简洁媒质，本构方程为DE BH JE (1-6)3、材料性质材料是均匀的const，const ，const材料是非均匀： x,y,z，x,y,z，x,y,z材料是各向异性：材料参数用张量形式表示材料为非线性：材料参数是未知函数的函数dD

dB

dJ 〔1-7〕dE dH dE4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求〔位函数简洁确定边界条件，通过位函数与场量的关系E BA Hm得到场量。§1－2

A 〔1-8〕t偏微分方程的根本概念〔又分为描述不同物理现象的椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程及其线性和非线性方程，电磁场问题多为偏微分方程问题。1未知函数是一元函数〔即一个变量的函数〕的微分方程〔组R、L、C串联电路是两阶常系数非齐次微分方程，cCLd2ucd2t

RC cu ududt c sdu

〔1-9〕对于一个nn初始条件解出常数。2未知函数是多元函数的微分方程，如uux,yt。又分为线性和非线性偏达式表示。线性偏微分方程 u

设uu

x,y

ppu,x,y〔u

x,y,

E,x x

E ，y y,x

B,y

ABy

，则2uax2

b2uxy

c2uy2

f0 〔1-10〕fx,y,pdu

eu

rusx ypx,y的函数，则称式(1-10)为线性微分方程。非线性微分方程性的微分方程，则都称为非线性微分方程。如恒定磁场中的定解问题 xxyyzzJ A

如：在电磁场中，假设c，或媒质不均匀时xyz，均为线性方程。假设B，或A，则为非线性方程。偏微分方程的分类分方程的不同类型所反映的物理现象。以二元函数为例，uux,y，y可以是时间变量t，那么偏微分方程的普遍形式为

a2ub

2u

c2u

f0 fx,y,pdu

rusx2

y2

x y最高阶项称为主部，主部打算着公式所代表的物理特性：2 2 acb2

0

x2

y2

，ac1，b0acb2

0 双曲型方程，如22x2 y22

0，ac1，b0acb2

0

0，a1，bc0x2 t1、椭圆型方程如泊松方程、拉普拉斯方程

2

2

2

〔

a2

b2

z21 形象比照〕c2特点：全部二阶偏导数的系数同符号，描述的物理现象：件，没有初始条件。2、双曲型方程如波动方程

x2

y2

z2

2ut2

0 无损耗，无鼓励源〔

a2

y2z2b2

1 形象比照〕播过程，它具有对时间可逆的性质〔用〔-t〕代入方程后，方程不变〕3、抛物型方程u 2u 2u 2u 如，热传导方程a—集中率或导温系数

a t

y2

2

f

x,y,z,tH E J涡流方程 2H

t，2E t，2J t〔与双曲型方程z

x2y2a2 b2

形象比照〕不行逆的性质。定解问题1、初值问题空间电磁波传播问题等。2、边值问题只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。3瞬态电磁场问题等。4、解的稳定性问题解是稳定的。反之称为不稳定解。〔1次课〕§1－3定解问题=泛定方程+定解条件〔初始条件+边界条件〕静态、稳态电磁场中的泛定方程1、静电场方程静电场的根本方程 D, E0泊松方程 三维方程

x

x

y

z

z假设ε是均匀、各向同性介质，上式为静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。2稳态〔直流〕电流场满足的根本方程：

—椭圆型方程J0, E0 →E〔从电源正极动身到电源负极终止电位满足拉普拉斯方程 0 程假设是均匀、线性、各向同性介质，上式为20产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。3稳态〔直流〕电流产生的磁场满足的根本方程HJ, B0, BH标量磁位的泊松方程当求解区域内J0，那么H0，必定存在一个标量函数，使得Hm依据B0,BH，上式为拉普拉斯方程 0 —椭圆型方程m上述方程只能用于J0〔见雷银照教材小。当磁场区域内存在铁磁质时，开放后为非线性方程为：

mmx mm

zm0 x

y z 假设为线性，则为拉普拉斯方程：2 0m假设磁化强度M，那么代入B0，得到

BHM M0 0 m此时，媒质的磁导率为 。0

2m

M矢量磁位的泊松方程依据HJ, B0, BA，有双旋度方程1AJ取库伦标准A0，及矢量恒等式AA，得1AJ —矢量泊松方程 1A 1A 1Axxyy

J 假设为线性、均匀媒质 2AJMJm磁矢位A的方程可以写为真空中的泊松方程2A JJ 0 m交变电磁场中的泛定方程t

0〔下面分段没有确定的分界限〕缓慢变化缓慢变化(f<10KHz)快速变化准静态场准静态场电磁波MQS：HJ,B0,EB,D0tHJD,B0EQS：HJD,B0,E0,D0ttEB,D0t场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。1〔抛物型方程〕无视位移电流，MQS场的方程为HJ,B0,EB, D0t由此得到的集中方程为〔对第一式再取旋度〕 非线性介质 1A

AJt

tA 线性介质 J ， t0假设为正弦交变场，集中方程为2j ，2j0涡流损耗是引起导体发热的主要缘由。2〔双曲型方程〕一般不考虑非线性问题，由于假设在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流动方程2H

H2H0t t22E

E2E0t t2取洛伦兹标准At

，则位函数满足的波动方程2A

At

t2

J 2 定解条件

2tt 2 1、初始条件〔柯西问题〕集中方程初始条件：波动方程初始条件：

y,z,t

0tt0

fx,y,z,t1 0y,z,t

0tt0

fx,y,z,t 1 0

ux,y,z,t f2tt0

x,y,z,t0如：初始的速度、电流、电压等。2、边界条件第一类边界条件〔Dirichlet狄利赫里条件〕ux,y,z,t1

gxy,z,t —强加边界条件1例1 铁磁体的磁场和电容器的电场〔二维〕图1-1第一类边界条件〔〕〔〕静电问题A0。在距离电容器足够远的地方，设等位线平行于边界，可以假设0。关键问题是第一类边界条件取得多远，才能保证计算精度。例2 电机的磁场1-〔〔b20%A=0。1-〔〔d界条件取在定子外径，削减计算量。1-〔〔倍之处，如图〔e〕所示。或者用开于边界条件，如Kelvin-transformation边界〔后面介绍，边界可以小一些，如图〔〕所示。(b)9(c) (d)(e) (f)1-2电机的磁场计算〔第一类边界条件〕〔其次次课〕其次、三类边界条件〔Neumann聂以曼条件〕ux,y,z,t gn 22

xy,z,t —自然边界条件

q(xyz,t) —自然边界条件 n 33〔A〕边界上的法向导数，代表着几种物理意义：边界上的鼓励源：面电荷分布或面电流分布面电荷分布

E2n n22

Dn2

g 22Ht

K, Bt

Ht

以平行平面场为例：AAz

, KKz10XOZHt

xy0y0区域场为零如电流方向相反的一对平行平板电流〔∵Bx

Azyz

A, B z〕y x那么 Bt

B Kx z

则B x

AzKy

—其次类非齐次边界条件YOZHt

yx0区域那么 Bt

B Ky z

则B y

AzKx

—其次类非齐次边界条件边界为场分布的对称线〔面〕 Am 0，nm

0 —其次类齐次边界条件，自然边界条件n一类边界条件？〔AA可以设为参考位。对m

而言，是其次类边界条件，B n

m0Ansoftn所以An

0，3。对m

条件， c。在Ansoft中称为奇对称。m②轴对称场中磁场沿ρ轴对称？〔如螺线管，磁力线垂直于对称线，所以AA 0。如磁力线平行于对称线，则rAc，是第一类边界条件An z〔齐次其次类边界条件〕？垂直呢〔第一类，可以设为参考位〕？4例31-3BAAAez z

，则有11BBex x

Bey

Azz

Ae zex x yBx

0，所以，在对称边界上A Az z0 1-3齐次其次类边界条件zy n例4 线上电力线与之平行，即只有切向重量，等位线与之垂直，依据E Eex x

ey

Ee

EeyE

0，所以，在对称边界上

0。还可进一步简化，再利用x x n1-4(ｂ)所示，电力线与之垂直。在±100V0V(b)1-4对称线边界条件例5 计算E型、U型电磁铁的磁场分布〔近似为二维场，AAz

,JJ 〕zA=0。E型电磁铁，对称轴为y轴，磁力线与y轴重合，是等磁位线。且电磁铁左右两局部中的电流方向相反，两边A值相等，符号相反，故yA=0，是第一类边界条件。12yBΓyBΓ1OxΓΓ Γ 2Γ1 1BO x1-5E型、U型电磁铁Uy轴，但磁力线与yyA线垂直〔BA线y轴上A0，在有限元法中，n这类边界节点不需要处理，按内部节点对待〔Ansys中是默认值。假设这两种电磁铁的构造还具有上下对称的特点，那么，Bx轴垂直，B 0x轴上满足其次类齐次边界条件AA0。x n y6：U1-7〔三维x0,y0，z区间〔第一象限，三维边界条件分为〔三个重量都应有表达式〕1、无限远边界条件无限远处B0，所以取三个截断边界面上：A A A 0x y z2、He 0边界条件〔也可以是,0的边界〕nUx0yoz上，只有磁场垂直于分界面，即只有B ，故A=0，且B B 0，依据BA，开放x y zA Ay z z y z z x x zyx

B AxAz B y z

A Ay x

〔1〕所以 A 0, Ay0, A 0zx x x第一式按强加边界处理，后两式是自然边界条件，且为齐次，不需要特地处理。13图1-7 U型电磁铁边界条件2、Be 0边界条件〔也可以是的边界〕n磁场强度H平行于边界面xo〔B 0，依据A与B的正交关系，所以在y该平面上A 0,A 0, 而A 0。但由于B 0,B 0，无法从A的旋度中x z y x zA Ay写出A重量的边界条件〔∵只有B yy

x

0是的，而A A 0。x zz x反之，假设A 0,或A , 则B 0，所以，考虑A的散度，稳态场取库x z y伦标准，即A A Ax y z0x y z类边界条件，最终边界条件为AA 0,x

y0, A 0y z14第一、三式是第一类边界条件，其次式是齐次其次类边界条件，不需特地处理。例7 沟通接触器E形磁系统进展计算，如图1-8(a)所示。由于几何构造前后、左右对称，因此只需取四分之一空间计算，如图1-8(b)所示。同上分析，无限远处B0，所以A A A 0x y z〔a〕 〔b〕图1-8 CJ20-25沟通接触器E形磁系统B平行于对称面yoz平面，因此该平面上A A 0，即B y z xA度中无法得到齐次其次类边界条件，从A的散度中得到 的表述如图示。AxB又平行于对称面xoz平面，因此该平面上A Ax z

0By

0AA的旋度中无法得到齐次其次类边界条件，从A的散度中得到 的表述如图示。Ay15例8 圆盘形电磁铁的磁场计算。承受圆柱坐标系，设矢量磁位A和电流密度J垂直于zorθ方向的重量，即A

A，Ar