电工技术基础第二章正弦交流电路2

第2章正弦交流电路2.2正弦量的相量表示法2.1正弦交流电的基本概念2.3单一参数的交流电路2.4RLC串、并联电路及功率因素的提高5/1/20241第2章正弦交流电路重点一、记住基本概念：a正弦量的三要素b用复数表示正弦量—相量表示法。二、分析简单的电路：

计算电压、电流、功率、功率因数。5/1/20242正弦量:大小和方向随时间按正弦规律变化的物理量（电压、电流、电动势等）ψi

2.1正弦交流电的基本概念5/1/20243 ：

最大值：

角频率（弧度/秒）：

初相位正弦量的三要素一、正弦量的三要素ψi

i=Imsin(ωt+ψ)瞬时值最大值角频率初相位5/1/20244

描述变化周期的几种方法1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..3.角频率

ω：正弦量每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒内变化的次数

单位：赫兹，千赫兹...iT正弦量三要素之一--频率或周期5/1/20245则有（均方根值）可得当

时，交流直流热效应相当电量必须大写如：U、I有效值有效值概念5/1/20248同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若交流电压有效值为U=220V，U=380V

其最大值为Um

311VUm

537V下页上页注意工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。返回5/1/20249测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。下页上页返回5/1/202410问题与讨论

电器~220V最高耐压=300V

若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压5/1/202411正弦量三要素之三：相位、初相位：

t=0

时的相位，称为初相角或初相。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦量的相位角或相位5/1/202412同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：|

|。

=/2

=

=0下页上页iot注意返回

5/1/202413二、同频正弦量间的相位差(初相差)

t规定：|

|(180°)5/1/202414ωti

Oωti

O

ωti

Oωti

O

0＜

＜180°－180°＜

＜0°

=0°=±180°uuuuu与i同相位u超前于iu滞后于iu与i反相5/1/202415例最大值：已知：频率：初相位：5/1/2024162.2正弦量的相量表示法

瞬时值表达式

相量法必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i正弦量的表示方法：重点5/1/202417ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流电(a)旋转矢量一、正弦量的相量表示法+j+1

Oψ正弦交流电可以用一个固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I（用来表示正弦量的复数称为相量）5/1/202418

落后于领先

落后？正弦量的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量表示

相位：幅度：相量大小设：5/1/202419同频率正弦量的相量画在一起，构成相量图。同频率正弦量相加--平行四边形法则5/1/202420注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率不行。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算5/1/202421二、正弦量的相量计算法ab+1将有效值相量放到复平面上，可如下表示：模幅角5/1/202422欧拉公式

代数式

指数式

极坐标形式ab三角函数式5/1/202423相量的复数运算1.加、减运算设：则：5/1/2024242.乘法运算3.除法运算5/1/202425设：任一相量则：90°旋转因子：+j表逆时针转90°，-j表顺时针转90°说明：e±j90

=

1±90

=±j由于：－jI=Ie

j90=Iejψ·

e

j90=Iej(ψ

90)则jI=Iej90=Iejψ

·

ej90=Iej(ψ+

90)+1O+jψjI1I

jI15/1/202426相量法（用复数运算）应用举例解：例1:已知瞬时值，求相量。已知:

求：i、u

的相量5/1/202427220100AV5/1/202428求：例2：已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为50Hz的正弦电流其相量形式为：解：5/1/202429(2)相量图

例3

已知i1

=20sin(ωt+60º)A，i2

=10sin(ωt－45º)A。两者相加的总电流为i，即i=i1

+i2。

(1)求i的数学表达式；(2)

画出相量图；(3)

说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么？解：(1)采用相量运算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.930.9

i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+30.9)A+j+1O60°30.9°45°I1mI2mIm(3)因为i1

+i2的初相位不同，故最大值和有效值之间不能代数相加。5/1/202430

例4

已知u1和u2的有效值分别为U1=100V，U2=60V，u1超前于u260º，求：(1)总电压u=u1

+u2的有效值并画出相量图；(2)总电压u与u1及u2的相位差。解：(1)选u1为参考相量U1=1000AA–60U2=60U1+U=U2（100–60=0+60）VV–21.79=140相量图

1=ψ–ψ1

2=ψ–ψ2ψUU1U2ψ2ψ2=60

1=ψ–ψ1=–

21.79

–

0

=–

21.79

2=ψ–ψ2=–

21.79–(–

60)=38.21(2)5/1/202431波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦量的四种表示法Ti5/1/202432提示计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：5/1/202433符号说明瞬时值---小写u、i有效值---大写U、I相量（复数）---大写+“.”最大值---大写+下标5/1/202434正误判断？瞬时值复数5/1/202435正误判断？瞬时值复数5/1/202436已知：正误判断？？有效值j45

5/1/202437

则：已知：正误判断？？

5/1/202438

则：已知：？正误判断最大值5/1/202439三、相量形式的基尔霍夫定律同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。基尔霍夫定律在正弦交流电路中任然适用，具体形式为：5/1/202440一.

电阻电路uiR根据欧姆定律

设则2.3单一参数的正弦交流电路

把只有电阻元件、电感元件或电容元件等理想模型的正弦交流电路称为单一参数电路。5/1/2024411).频率相同2).相位相同3).

有效值关系：1.电阻电路中电流、电压的关系4).

相量关系：设

则

或5/1/2024422.电阻电路中的功率i(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写

uR5/1/2024431.（耗能元件）结论：2.随时间变化3.与

成比例ωtuipωtP平均功率5/1/202444(2)平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uRi5/1/202445电感L：ui（单位：H,mH,H）单位电流产生的磁链线圈匝数磁通其上电压电流取关联参考方向1.电感元件二.电感电路5/1/202446电感中电流、电压的关系当(直流)时,所以,在直流电路中电感相当于短路.uei++––5/1/202447

基本关系式：iuL设则2.电感电路中电流、电压的关系5/1/202448

1）.频率相同2）.相位上u

超前

i

90

°iu设：5/1/2024493）.有效值感抗（Ω）定义：则：★（感抗有类似于电阻的作用，当电压一定时，感抗越大则电流越小，可见感抗有阻碍交流电流通过的性质。）5/1/2024504）.相量关系设：则：5/1/202451电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息？u、i相位不一致！领先！5/1/202452感抗（XL=ωL

）是频率的函数，

表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，只对正弦波有效。也具有对交流电流起阻碍作用的物理性质。ω=0时XL=0关于感抗的讨论e+_LR直流E+_R5/1/2024533.

电感电路中的功率（1）瞬时功率

p：iuL5/1/202454储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程uiuiuiuiiuL+PP>0ui5/1/202455（2）.平均功率P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。5/1/202456（3）无功功率QQ的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。5/1/2024571.电容元件单位电压下存储的电荷大小（单位：F,F,pF）++++----+q-qui其上电压电流取关联参考方向三.电容电路5/1/202458电容上电流、电压的关系当(直流)时,所以,在直流电路中电容相当于断路（开路）uiC5/1/202459基本关系式:设：uiC则：2.电容电路中电流、电压的关系5/1/202460

1）.频率相同2）.相位u落后

i

90°iu5/1/2024613）有效值或容抗（Ω）定义：则：I5/1/2024624）相量关系设：则：5/1/202463电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息领先！5/1/202464E+-e+-关于容抗的讨论直流是频率的函数，

表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。容抗ω＝0时5/1/2024653.电容电路中的功率ui（1）

瞬时功率

p5/1/202466充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωtuiC5/1/202467（2）平均功率P结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。平均功率:5/1/202468瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）（3）无功功率Q无功功率:瞬时功率:Q的单位：乏、千乏(var、kvar)

5/1/202469已知：C＝1μF求：I、i例uiC解：电流有效值求电容电路中的电流5/1/202470瞬时值i领先于u90°电流有效值5/1/2024711.单一参数电路中的基本关系电路参数基本关系复阻抗L复阻抗电路参数基本关系C电路参数R基本关系复阻抗小结5/1/202472在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。2.单一参数电路中复数形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律5/1/202473*电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍夫定律。3.简单正弦交流电路的关系(以R-L电路为例）uLiuRuRL5/1/202474*

电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、基尔霍夫定律RL5/1/202475在电阻电路中：正误判断？？？瞬时值有效值

5/1/202476在电感电路中：正误判断？？？？？

5/1/202477单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系5/1/2024782.4串并联电路及功率因素的提高若则电流、电压的关系：由KVL得：uRLCi（一）一、RLC串联电路5/1/202479总电压与总电流的关系式相量方程式：则相量模型RjXL-jXC设（参考相量）5/1/202480R-L-C串联交流电路--相量图先画出参考相量相量表达式：电压三角形RjXL-jXC5/1/202481Z：复数阻抗实部为电阻R虚部为电抗X容抗感抗令则R-L-C串联交流电路中的

复数形式欧姆定律复数形式的欧姆定律RjXL-jXC电抗：X=XL–XC5/1/202482在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：

RjXL-jXC5/1/202483关于复数阻抗Z的讨论由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。（二）１.Z和总电流、总电压的关系5/1/2024842.Z和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定

当

时，表示u领先i－－电路呈感性当时，

表示u、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u落后i

－－电路呈容性阻抗角5/1/202485假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！当ω不同时，可能出现：XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC。

RjXL-jXC5/1/2024863.阻抗（Z）三角形阻抗三角形5/1/2024874.阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似5/1/202488（三）R、L、C串联电路中的功率计算1.瞬时功率2.平均功率P（有功功率）uRLCi5/1/202489总电压总电流u与i的夹角平均功率P与总电压U、总电流I间的关系：-----功率因数

其中：

5/1/202490在R、L、C串联的电路中，储能元件L、C虽然不消耗能量，但和电源存在能量交换（吞吐），交换的规模用无功功率来表示。其大小为：3.无功功率Q：5/1/2024914.视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQ（有助记忆）S注：S＝UI可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）视在功率5.功率三角形：无功功率有功功率5/1/202492电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RjXL-jXC5/1/202493正误判断因为正弦量除有效值外还有相位。？RLC在R-L-C串联电路中5/1/202494？正误判断而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，5/1/202495正误判断在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中？？？？？

5/1/202496正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？

？

5/1/202497正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？？

5/1/202498二.RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-5/1/202499（一）串联电路阻抗的串联与并联Z1Z2iZ1Z25/1/2024100Z1Z2iZ1Z2（二）并联电路5/1/20241011、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图（三）一般正弦交流电路的解题步骤3、用复数符号法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式5/1/2024102例1下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数解题方法有两种：1.利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果AAB

C25

UOC15/1/2024103解法1:利用复数进行相量运算已知：I1=10A、

UAB=100V，则：A读数为10安

求：A、UO的读数即：设：为参考相量，AAB

C25

UOC15/1/2024104UO读数为141伏

求：A、UO的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25

UOC15/1/2024105解法2:利用相量图求解设：45°由已知条件得：、领先90°45°落后于I=10A、UO=141V由图得：求：A、UO的读数已知：I1=10A、UAB=100VUC1=IXC1=100VuC1落后于i90°AAB

C25

UOC12I&5/1/2024106例2已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小LC5/1/2024107相量模型原始电路LC5/1/2024108解法一：支路电流法ba12对独立结点a列写KCL方程，网孔1、2列写KVL方程，联立方程组即可解出各支路电流。已知参数：5/1/2024109解法二结点电压法A已知参数：结点方程5/1/2024110由结点电位便求出各支路电流：5/1/2024111解法三：叠加原理R1R2R1R2+5/1/2024112解法四：戴维南定理求、BAZ5/1/2024113（一）、什么是功率因数功率因数功率