人教版九年级数学上册全册导学案(一)

第22章二次根式导学案22.1二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：Va>0(a>0)fll(/a)2=a{a>0)

二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质后20(。20)和(后>=a(a20)。

三、学习过程(一)复习引入：

(1)已知x?=a,那么a是乂的_x是a的记为_a一定是—数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示为"=；

正数a的算术平方根为—，0的算术平方根为_；式子&20(。20)的意义是o

(-)提出问题1、式子五表示什么意义?2、什么叫做二次根式?

3、式子&N0(420)的意义是什么？4、(后尸=a(a>0)的意义是什么?

5、如何确定一个二次根式有无意义？

(三)自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

6-灰,vz,7=5,圣心①，mr

2、计算：⑴(">(2)(J5)2(3)(后尸(4)(母

根据计算结果，你能得出结论：(&)2=，其中

(后)2=a(a>0)的意义是o

3、当a为正数时而指a的,而。的算术平方根是—，负数,只有非负数a

才有算术平方根。所以，在二次根式石中，字母a必须满足,4才有意义。

(四)合作探究

1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：

x取何值时，下列各二次根式有意义？①j3x-4②③J1

2、(1)若疝互-收二'有意义，则a的值为.

(2)若Q在实数范围内有意义，则x为()。A.正数B.负数C.非负数D.非正数

(五)展示反馈(学生归纳总结)1.非负数a的算术平方根布(a20)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号;

二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

2.式子20）的取值是非负数。

（六）精讲点拨

1、二次根式的基本性质（&'）2=a成立的条件是a20,利用这个性质可以求二次根式的平方,

如（石尸=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=（方月

2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。

J1-2x

（七）拓展延伸1、（1）在式子〕-----中，X的取值范围是.

(2)已知&-4+J2x+),=0,贝Ux-y=

（3）已知y=-x+Vx-3-2,贝U。

2、由公式（&）2=。（“20）,我们可以得到公式ay”?,利用此公式可以把任意一个非负数写

成一个数的平方的形式。

（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：5

（2）在实数范围内因式分解1-74a-11

（八）达标测试

A组（一）填空题：1、

2、在实数范围内因式分解：（1）X2-9=x2-（）2=（x+—）（x-—）

。选择题：

1、计算、4一13）2的值为（）A.169B.-13C±13D.13

2、已知忘M=0,则工为（）A.x>-3B.x<-3C.x=-3D.x的值不能确定

3、下列计算中，不正确的是（）A.3=（V3）2B.0.5=（屈-C.（V03）2=0.3D.（5后了=35

B组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（）□

A.79+4=V9+V4BV4x9=V9xV4C74-2=74-72D但二里

V36V6

2、如果等式（C7）2=x成立，那么*为（）0AxWO;B.x=O;C.x<0;D.x20

（二）填空题：1、若卜一2|+>/^=0,则/一/,=。

2、分解因式：X1-4X2+4=.

3、当乂=时，代数式j4x+5有最小值,其最小值是。

二次根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：=\a\

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质行=何.

难点：综合运用性质行=时进行化简和计算。

三、学习过程

(一)复习引入：

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？

(2)二次根式)二-有意义，则x。

(3)在实数范围内因式分解：

X2-6=x2-()2=(x+____)(x-)

(二)提出问题

1、式子厢=时表示什么意义？2、如何用行二时来化简二次根式?

3、在化简过程中运用了哪些数学思想？

(三)自主学习自学课本第3页的内容，完成下面的题目：

1、计算：4^-Vo.22=飞20。-

观察其结果与根号内基底数的关系，归纳得到：

当a>0时，y[a=

V(-0.2)J(-20)2=

2、计算:

观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当。<0时，&=

3、计算：麻=当a=0时,V7=

(四)合作交流1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质:

a>0

=|«|=<a=0

a<0

2、化简下列各式:

7

(1)A/03=⑶7^7=(4)7(W=

3、请大家思考、讨论二次根式的性质(及y=am20)与“7=时有什么区别与联系。

(五)展示反馈

1、化简下列各式

(1)>0)(2)E

2、化简下列各式

(1)7(«-3)2(«>3)(2)J(2X+3)2(X<-2)

(六)精讲点拨

利用行=|4可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的,

进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

(七)拓展延伸

(l)a、b、c为三角形的三条边，则+为+卜-"]=.

(2)把(2-x)、口匚的根号外的(2-x)适当变形后移入根号内，得()

\x-2

A、个2-xB、Jx-2C、—V2-xD、—Jx-2-

(3)若二次根式J-2x+6有意义,化简|x-4|-|7-x|o

(A)达标测试：

A组

1、填空：(1)、J(2x-1)2-(72X-3)2(x>2)=.

⑵、J(L4)2=

2、已知2VxV3,化简：J(X—2)2+1-3|

B组

1、已知0VxVl,化简：J(x+4-J(x4—厂—4

2、边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长%的正方形方孔.若沿图中虚线锯开，可以

拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点：,易握和混用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

(―)复习回顾1、计算：(1)V4XV9=V4^9=

(2)V16XV25=—;716x25=(3)V100X病=_______7100x36=_

2、根据上题计算结果，用或“="填空:

(1)V4X79_____V4x9(2)V16XV25____716x25(3)V100XV36_7100x36

(二)提出问题

1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？

2、如何二次根式的乘法法则进行计算？

3、积的算术平方根有什么性质？

4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

(三)自主学习

自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：

1、用计算器填空：(1)V2XV3V6(2)V5XV6___V30

(3)^2xV5___V10(4)V4X75___V20

2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律?

能用数学表达式表示发现的规律吗？

3,二次根式的乘法法则是:

(四)合作交流1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算:

(1)V9XV27(2)275X3V2

(3)氐•"⑷石•技.挣

2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题：

(1)用式子表示积的算术平方根的性质：

(2)化简：①A②412a2b2③J25x49@7100x64

(五)展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对于血X防的运算中不必把它变成历

后再进行计算，你有什么好办法？

（六）精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系

数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：被开方数进行因数或因式分解；分解后把能开尽方的开出来。

（七）拓展延伸

1、判断下列各式是否正确并说明理由。

（1）7（-4）x（-9）=7^4XV^9（2）d3a2b3=ab回

(3)678X(-276)=6x(-2)78x6=-12748(4)^4^xV16=4x—xVl6=4x3=12

16

2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

2⑵-2制

(1)-3

（A）达标测试:

A组1、选择题（1）等式vrn.Fi：47二［成立的条件是（）

A.x»lB.x»TC.TWxWlD.x»l或xWT

（2）下列各等式成立的是（）.A.4旧X2亚=8亚B.56X4收=20行

C.4后义3挺=7行D.5^/3X4V2=20V6

(3)二次根式J(-2jx6的计算结果是()A.2后B.-276C.6D.12

2、化简：(1)V360;(2)，32/；

3、计算：(1)屈乂而;(2)百X］区；

V75

B组1、选择题(1)若|。一2|+后+4b+4+jc、2-c+；=0,则讨•布•正=()

A.4B.2C.-2D.1

(2)下列各式的计算中，不正确的是()

A.J(-4)x(-6)=V—4xJ-6=(-2)X(-4)=8B.--J~4x-y/2^xJ(a2)?=2a2

C.6+下=的+16=后=5

D.7132-122=7(13+12)(13-12)=713+12xV13-12=725x1

2、计算：(1)6V8X(-276)；（2）V8a&xV6^；

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点：,易握和混用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

三、学习过程

（-）复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算：(1)378X(-476)(2)y/l2abxJ6a-3

⑴卑

3、填空:

V16

（二）提出问题：

1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？

2、如何二次根式的除法法则进行计算？

3、商的算术平方根有什么性质？

4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？

（三）自主学习

自学课本第7页一第8页内容，完成下面的题目：

1、由“知识回顾3题”可得规律：

V9叵巫叵巫IT

716序--收京--V16

2、利用计算器计算填空：

（1）（2）/（3）牛二

A/4V3V5

规律:条72

3,根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则:

把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质:

（四）合作交流

1、自学课本例3,仿照例题完成下面的题目：

计算：⑴半（2）葭口

GV2\8

2、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:

64b2

化简：（1）(2)

9a2

（五）精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数,

被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（六）拓展延伸阅读下列运算过程：=7正尸=走，与=_追二正

V3V3xV33V5V5xV55

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

?

利用上述方法化简：（1）君(2)-L=

3V2

(3)3=⑷芈

V122V5

（七）达标测试：

A组1、选择题

220也

（1）计算出+1+旧的结果是（）.氏

A--

77C.D.7

（2）化简孝的结果是（

)A.--B.D.-V2

V273

(2)整

2、计算：（1）金(4)

V48

(1)华(2)埠

B组用两种方法计算:

册4V3

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、学习过程(一)复习回顾

1,化简(1)(2)半

V27

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的

要求是什么？

(-)提出问题：1、什么是最简二次根式？

2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？3、如何进行二次根式的乘除混合运算?

(三)自主学习

自学课本第9页内容，完成下面的题目：

1、满足于,

_______________________________的二次根式称为最简二次根式，

2、化简：⑴3仁(2)Jx2y4+x4y2(3)倔号⑷吾

(四)合作交流1、计算:

(1)反与不2：

2、比较下列数的大小(2)7屈与—6小

3、如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,

AC=3cm,BC=6cm,求AB的长.

(五)精讲点拨

1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中所有因数或因式的塞的指数都小于2.

(六)拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1=lx(&-1)=行-1=/],

V2+1-(V2+1)(72-1)-2-\

1_lx(V3-V2)_V3_V2_同B

万k肉扬回扬=下二

同理可得：击=2—yfi，

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

---1---1-----1---1-...+-------1------)(V2009+1)的值.

V2+1V3+V2J2009+J2008

(七)达标测试：A组1、选择题

(I)如果(y>0)是二次根式，化为最简二次根式是().

A.£(y>0)B.而(y>0)C.叵(y>0)D.以上都不对

Jyy

(2)化简二次根式aj-史已的结果是A、J-a-2B、-J—a—2C、曲工

D、-Ja-2

1

2、填空：(1)化简也4+02=.(x»0)(2)已知x=则x-4的值等于

V5-2X

3、计算:(1)&+gx.

B组1、计算：(a>0,b>0)

h2\a

2、若x、y为实数，且y='——4+4-A+1，求Jx+y.Jx-y的值。

x+2

22.3二次根式的加减法

二次根式的加减法

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

二、学习重点、难点

重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。

三、学习过程

（一）复习回顾

1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？

3、计算：（1）2x-3x+5x（2）a2b+2ba2-3ab

（二）提出问题

1、什么是同类二次根式？

2、判断是否同类二次根式时应注意什么？

3、如何进行二次根式的加减运算？

（三）自主学习

自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：

1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

（1）26与3叵（2）叵与6（3）石与而（4）晒与瓦

从中你得到：o

2、自学课本例1,例2后，仿例计算：

(1)V8+VI8(2)V7+2>/7+3>/9x7(3)3屈-9《+3而

通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应o

（四）合作交流，展示反馈（小组交流结果后，再合作计算，限时6分钟）

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

(4)|XV9^-(X2^-6X^1)

（五）精讲点拨

1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤：

①化成最简二次根式；

②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

（六）拓展延伸

1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是p感

面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制

作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底00

面边长分别是多少？

2、已知4x4y2-4x-6y+10=0,求(—x49x+y'J~y~(x'J—_5xJ—)的值.

3yVxjx

（七）达标测试：

A组1、选择题

（1）二次根式：①尤；②亚；③岛④场中，与百是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）.

A.与B.与•优/C.Jmn与GD.《m+n与J/z+口

2、计算：（1）7正+3>/§-5闻（2）|阮+6A—2了?

B组1、选择：已知最简根式.后工与。斫是同类二次根式，则满足条件的a,b的值（）

A.不存在B.有一组C.有二组D.多于二组

2、计算：（1）3同+J|-4/京（2）岳盯2（x>o,y>o）

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

—学习重占难占

重点：裴东进点二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、学习过程

（―）复习回顾：1、填空

（1）整式混合运算的顺序是：o

（2）二次根式的乘除法法则是：-

（3）二次根式的加减法法则是：-

（4）写出已经学过的乘法公式：①②

2、计算：（1）布•后•秒（2）出+祖

(3)2V3-VsH—J124—V50

25

（二）合作交流1、探究计算：（1）（V8+V3）XV6(2)(472-376)-272

2,自学课本11页例3后，依照例题探究计算：

（1）（V2+3）（V2+5）（2）（273-V2）2

（三）展示反馈

计算：（限时8分钟）（1）（|V27-V24-3j1）-V12

(2)(2V3-V5)(V2+V3)

(3)(3V2+2V3)2(4)(V10-V7)(-Vio-V?)

（四）精讲点拨

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代

表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

（五）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式3±刀2=/±2帅+/，你一定熟练掌握

了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，

如3=（百）2,5=（石）2,下面我们观察：（痣-1）2=（0）2-2X1X后+F=2-2近+1=3-2血

反之，3-272=2-272+1=（V2-1）2

?.3-20=（0-1）2

Z.73-272=V2-1

仿上例，求：（1）；J4+2上

（2）你会算-疝吗?

（3）若Ja土2〃'=4m+4n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.

（六）达标测试：A组1、计算：（1）（痴+90）+百（2）V24-V3-V6X2V3

(3)(Ja^b-3ab+4ab^)-(VaK)(a>0,b>0)(4)(276-5扬(-2瓜5加)

2、已知a=—TJ——,b=———，求Vo2+b2+\Q的值。

V2-1V2+1

B组1、计算：(1)(6+正-1)(6-&+1)(2)(3-Vio)2OO9(3+Vio)2009

2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一

个面积为8cm*另一个为18cm2,他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长

为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。

二、学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程(一)自主复习自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习:

1.若a>0,a的平方根可表示为,a的算术平方根可表示

2.当a时，Jl-2a有意义,当a时，J3a+5没有意义。

3.J(»-3)2=J(G_2)2=4.V14xV48=;历+加=

5.V12+V27=;V125-V20=

(二)合作交流，展示反馈1、式子、灯成立的条件是什么?

V-54x^5

2、计算：⑴2瓦△昌5叵(2)J空-(3)V2-5V3-3V75(4)(-3V2-2V3)2

4\9y2

(三)精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：

aa>0

(1)(y/a)2=a(a>=(\[a)2(a>0)(2)==<0a=0

-aa<0

(3)y[a•y/b=4ab(a>Q,h>0)与=4a•4h(a>0,/?>0)

(4)(a>0,/?>0)

替除2。2)就用

(5)(a±Z?)2=a2±2ab+/与(a+b)(a—b)=a2—b~

6

（四）拓展延伸1、用三种方法化简

解：第一种方法：直接约分第二种方法：分母有理化第三种方法：二次根式的除法

2、已知*m为实'数'满足「K：尸求6m』的值。

（五）达标测试:A组1、选择题：（1）化简历7■的结果是（）A.5B.-5C.±5D.25

（2）代数式军士i中，x的取值范围是（）A.x"4B.x>2

C.x>-4^jcW2D.x>-4且xH2

Vx—2

（3）下列各运算，正确的是（）A.2亚.3也=6标

C.J-5xJ-125=J-5x(-125)D.J「2+y2=4^+7^"=x+y

（4）如果。（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）

rB.向(y>0)C.JE(y>0)D.以上都不对

A.半(y〉0)

y

（5）化简二^的结果是（

)A--B--卞C--D-V2

V273V33

2、计算.（1）后—26+跖（2）⑶(6+2)(折-2)(4)(4-3)2

o口左11A/3-V2V3+V2ix11的/古

3、已知。=-------,b=-------求-----的值

22ab

B组1、选择：（1）。=」力=立，则（）A.a,b互为相反数B.a,b互为倒数

C.ab=5D.a=b

V55

（2）在下列各式中，正确的是（）A.g=3A/L5B.=±；五C.Ja"b=a24b

D.J/一厂=LJ\—1

（3）把（"1）J--!一中根号外的3-1）移人根号内得（）AGB

、。一1c-GD-y/l-a

22

2、计算：(1)2V6-V3--+V54(2)“9x121(3)(372-273)(-372-273)

20.36x100

3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：3

⑴按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4、q的变化结果并进行验证.

⑵针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n22)表示的等式并进行验证.

参考答案二次根式(一)(五)拓展延伸1、⑴xJ,且⑵±6⑶-8

2

2,(1)(±V5)2(±V035)2(2)(x+V7)(x-V7)(2a+711)(2”而)

(六)达标测试(A组)(一)填空题：1、32.(1)x2-9=x2-(3)2=(x+3)(x-3);

5—一—

(2)x2-3=x2-(V3)~二(x+6)(X-V3).

(-)选择题：1、D2、C3、D

(B组)(一)选择题：LB2、A(~)填空题:1、12、，+2)(x+&)(x-夜)3、0。

二次根式(二)(五)展示反馈1、(1)2x(2)x22、(1)a-3(2)-2x—3

(七)拓展延伸(D2a(2)D(3)-3

(八)达标测试：A组1、(1)、2(2)、42、1B组1、2x2,—

3

22.2二次根式的乘除法二次根式的乘法

(七)拓展延伸1、(1)错(2)错(3)错(4)错：、(1)~\[6(2)-V2a

(八)达标检测：A组1、(1)A(2)D(3)A

2、(1)6V10(2)4瓜2；3、(1)6V15(2)—

5

B组1、(1)B(2)A2、(1)-4873(2)±4®/；

(2)

二次根式的除法(六)拓展延伸4⑶—⑷也

62

V3x⑷巫

(七)达标测试：A组1、(1)A(2)C2、(1)—(2)(3)2

628y

B组(1)272(2)—

4

最简二次根式（四）合作交流1、12、（1）后》归（2）-776<-6773、AB=3后.

1]

（六）拓展延伸（+,(V2009+1)=2008.

V2+1Vs+V2V2009+V2008

(七)达标测试：A组1、(1)C(2)B2.(1)xJx2+y2(2)43.(1)—(2)--

-22

B组1、a2h24ab2、377

丁

22.3二次根式的加减法二次根式的加减法

过6(2)673+75(3)J/(4)4xy[x

（四）合作交流，展示反馈⑴

92

（六）拓展延伸1、高：6底面边长2、—+376

4

（七）达标测试：A组1、（1）C（2）D2、（1）-1272（2）-V7

2

B组1、B2、（1）9V10（2）Qy-x）应

二次根式的混合运算（三）展示反馈

(1)6-1872(2)276+6-710-715(3)30+1276(4)-3

（五）拓展延伸

(1)1+下)(2)粗-1(3)a=m+n,h-mn

(六)达标测试：A组1、(1)4+18若(2)-472(3)a+b-3y^b(4)262、4

B组1、(1)2V2(2)-12、够用

《二次根式》复习(一)自主复习

1.+4a,\[a2.a<—,a<

23

3.^-3;2-V34.4742;25.573;35/5

(二)合作交流，展示反馈l、x>52、⑴逑3.(1)72-2073(2)30+12C

103y

（四）拓展延1、屈2、5

(五)达标测试：A组1、(1)AB(3)B(4)C(5)C

5

2、⑴石+36⑶a-4(4)x+9—2岳3、472

2

B组1、(1)D(2)C(3)D2.(1)--V3(2)^^(3)36

(2)n

第二十三章一元二次方程

23.1一元二次方程(1课时)

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般

形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系

数还有常数项。

导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程

分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，可列方程

x()=,去括号得①.

这是一个什么方程？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？

探究新知［例1］小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方

形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的

边长是多少？

设剪去的正方形的边长为xcm,你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？

合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是.

自主学习【做一做】根据题意列出方程:

1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少？

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归

纳出一元二次方程的定义。

展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

04P=81;-0=3/；(jyso?-1=4x；

0)美于x的方程⑥关于X的方程

MXa-3x+2=0;(。'+旷+&-”+5-a=0.

【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是,这样的

方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一•般形式：，其中二次项，

是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项

及它们的系数。(1)4/=81(2)3x(x-l)=5(x+2)

【巩固练习】教材第19页练习

归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？

2,学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

达标测评A组1、判断下列方程是否是一元二次方程；

[C

(1)2x——X2-—=0()(2)2x2-y+5=0()

32

(3)ax2+bx+c=0()(4)4x2——+7=0()

X

2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:

(1)3T-A=2；(2)7x-3=2/;(3)(2*一1)一3矛(矛-2)=0(4)2x(x—l)=3(x+5)—4.

3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；

(1)2x(x+l)=4(x+l)±1±2；(2)X2+2X-8=0±2,±4

B组1、把方程MX?-"x+〃?x+〃x2=q-p(加+〃。0)化成一兀二次方程的一般形式，再写出

它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使伙++伙一1）尤+2=0是一元二次方程，则k=.

3、已知关于x的一元二次方程（m-2）》2+3工+〃/-4=0有一个解是0,求m的值。

拓展提高1、已知关于x的方程出-2）》2-乙=/一1。问

（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k为何值时，方程为一元一次方程？

2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？

23.2一元二次方程的解法（5课时）第1课时

学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如F=a（a2

0）或（mx+n）2=a（a20）的方程；会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些一元二次方程;

2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转

化的思想方法；

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

（1）*=4；（2）/—1=0;

解:x=—解：左边用平方差公式分解因式，得

尸=0,

必有1=0,或=0,

得由=—，X2=.

精讲点拨⑴这种方法叫做直接开平方法.（2）这种方法叫做因式分解法.

合作交流（1）方程V=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形

式？（2）方程7-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什

么形式？

课堂练习反馈调控L试用两种方法解方程f-900=0.

（D直接开平方法（2）因式分解法

2.解下列方程：（1）r-2=0;(2)16^-25=0.

解(1)移项，得*=2.(2)移项，得.

直接开平方，得尤=±也.方程两边都除以16,得_____

所以原方程的解是直接开平方，得“=—,

%]=一V2,x2=V2.所以原方程的解是x尸―，毛=_

3.解下列方程：(1)3/+2产0；(2)V=3x.

解(1)方程左边分解因式，得______________

所以，或

原方程的解是由=，/2=

(2)原方程即=0.

方程左边分解因式，得___________=0.

所以,或

原方程的解是X尸,*2=

总结归纳以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分

解法解一元二次方程的步骤分别是什么？

巩固提高解下列方程：(1)(x+l)2—4=0；(2)12(2—X)2—9=0.

分析：两个方程都可以转化为()2=&的形式，从而用直接开平方法求解.

解：(1)原方程可以变形为(_____)2=,

(2)原方程可以变形为，

有•

所以原方程的解是由=，及=.

课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？

(学生思考整理)

达标测评(A)l、解下列方程：(1)X2=169；(2)45-X2=0；(3)12y2-25=0；

(4