2025版高考数学一轮总复习知识梳理第7章立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系

第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理知识点一平面的基本性质基本事实1.不共线的三点确定一个平面．基本事实2.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面．注：1.基本事实1、基本事实2和三个推论是判断点、线共面的依据；2．基本事实3是判断两个平面相交及三点共线及三线共点的依据。知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β特征共面，无公共点无公共点无公共点相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l特征共面，有唯一公共点有唯一公共点有无数个共线公共点独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α知识点三异面直线所成角、基本事实4及等角定理1．异面直线(1)定义：异面直线——不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．两直线既不平行也不相交的直线是异面直线．(2)异面直线的画法画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．基本事实4.(平行公理)平行于同一条直线的两条直线平行.3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.归纳拓展异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)两两相交的三条直线共面．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二走进教材2．(必修2P147例1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(C)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.3．(必修2P134例1)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点．(1)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)且eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)，则E、F、G、H是否共面？共面.(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满足条件AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．题组三走向高考4．(2019·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[解析]连接BD、BE，则BD过点N，∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝eq\r(2)a，∵平面ECD⊥平面ABCD，∴BE＝eq\r(\f(3,4)a2＋\f(5,4)a2)＝eq\r(2)a，∴BM＝eq\f(\r(7),2)a，EN＝eq\r(\f(3,4)a2＋\f(1,4)a2)＝a，∴BM≠EN，故选B.5．(2021·全国高考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(D)A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[解析]解法一：如图，连接BC1，PC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1＝2eq\r(2)，PC1＝eq\f(1,2)D1B1＝eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).故选D.解法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，记PB与AD1所成角θ，则cosθ＝eq\f(|\o(