2025版高考数学一轮总复习素养提升第7章立体几何第2讲空间点直线平面之间的位置关系

空间几何体的截面问题1.若E、F、H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CC1、A1D1的中点，则过E、F、H三点的截面图形是正六边形.[解析]取A1B1的中点M，连接EM、MC1、EF并延长交于Q，作直线HQ交C1D1于N，交B1A1的延长线于S，作直线SE交A1A于P，交B1B的延长线于R，连FR交BC于G，连EG、FN、HP得过E、F、H三点的截面EGFNHP，易证EGFNHP为正六边形．2．(2022·江西红色七校联考)已知正三棱锥A－BCD的外接球是球O，BC＝1，AB＝eq\f(2\r(3),3)，点E为BD中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(4π,9))).[解析]如图，设△BCD的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝1×sineq\f(π,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，AO1＝eq\r(AD2－O1D2)＝1，在Rt△OO1D中，R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋(1－R)2，解得R＝eq\f(2,3)，所以OO1＝AO1－R＝eq\f(1,3)，O1E＝1×sineq\f(π,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),6)，所以OE＝eq\r(O1E2＋OO\o\al(2,1))＝eq\f(\r(7),6)，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为eq\r(R2－OE2)＝eq\f(1,2)，则截面面积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(π,4)，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为πR2＝eq\f(4π,9).故答案为：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(4π,9))).名师点拨：1．作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．2．作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．注：正六面体的一些截面：说明：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．【变式训练】1．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[解析]当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(1)；当不过上、下底的中心时，截面图形为(5)．所以只有(1)(5)正确．故选D.2．(2022·湖南三湘名校联盟联考)一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是(D)[解析]考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D.3．(原创)E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是五边形.[解析]