2025版高考数学一轮总复习考点突破第9章统计成对数据的统计分析第2讲成对数据的统计分析考点3独立性检验

独立性检验1.(多选题)(2024·重庆质检)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，下列小波对A地区天气的判断正确的是(ABC)日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545A．夜晚下雨的概率约为eq\f(1,2)B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为eq\f(5,14)C．依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．依据α＝0.005的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨[解析]根据列联表可知，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晩下雨的概率约为eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，A正确；未出现“日落云里走”，夜晩下雨的概率约为eq\f(25,25＋45)＝eq\f(5,14)，B正确；χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，因此依据α＝0.005的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晩天气有关，C正确；依据α＝0.005的独立性检验，可判断“日落云里走，雨在半夜后”的说法犯错误的概率小于0.005，但不代表一定会下雨，D错误．故选ABC.2．(2024·河北秦皇岛部分学校检测)某市电视台为了解一档节目收视情况，随机抽取了该市n对夫妻进行调查，根据调查得到每人日均收看该节目的时间绘制成如图所示的频率分布直方图，收视时间不低于40分钟的观众称为“热心观众”，收视时间低于40分钟的观众称为“非热心观众”，已知抽取样本中收视时间低于10分钟的有10人．(1)求n，p；(2)根据已知条件完成下面2×2列联表，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析“热心观众”是否与性别有关.非热心观众热心观众总计男女10总计附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828[解析](1)收视时间在0～10分钟组的频率为1－(0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝0.1，∴p＝eq\f(0.1,10)＝0.01，又∵收视时间低于10分钟的有10人，∴2n＝eq\f(10,0.1)，∴n＝50.(2)∵n＝50，∴“热心观众”有2×50×(0.020＋0.005)×10＝25人，则2×2列联表如下所示：非热心观众热心观众总计男351550女401050总计7525100零假设H0：“热心观众”与性别无关联．将2×2列联表数据代入公式计算得：χ2＝eq\f(100×35×10－40×152,50×50×75×25)≈1.333<3.841，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据证明H0不成立，因此可认为H0成立，即认为“热心观众”与性别无关联．名师点拨：解独立性检验的应用问题的关注点1．两个明确：(1)明确两类主体．(2)明确研究的两个问题．2．两个关键：(2)准确列出2×2列联表．(2)准确理解χ2.注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p.【变式训练】(2024·湖北武汉部分学校调研)近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩优秀不优秀合计男生45女生合计参考公式与数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.10.050.01xα2.7063.8416.635[解析](1)依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：0.1－m－0.04－0.025－0.01＝0.025－m，样本平均数的估计值为：10×[(0.025－m)×55＋m×65＋0.04×75＋0.025×85＋0.01×95]＝74.5＋100m，显然数据落在区间[80,100]的频率为0.25＋0.1＝0.35，落在[70,100]的频率为0.4＋0.35＝0.75，因此样本中位数在区间(70,80)内，其估计值为；70＋10×eq\f(0.05－0.025,0.04)＝76.25，则74.5＋100m＝76.25，解得m＝0.0175，所以m＝0.0175.(2)总的成绩优秀人数为：200×10×(0.025＋0.01)＝70，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200于