河南省南阳市唐庄乡中学高三数学理模拟试题含解析

河南省南阳市唐庄乡中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的,且样本容量为200,则中间一组有频数为A．40

B．32

C．0.2

D．0.25参考答案：A略2.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：【知识点】球的截面性质G8B解析：设球半径为R，则有,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R－2=18cm，则选B.【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.3.已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且?q的一个充分不必要条件是?p，则a的取值范围是(

)A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】先求出p的等价条件，利用?q的一个充分不必要条件是?p，即可求a的取值范围．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若?q的一个充分不必要条件是?p，则￢p?￢q成立，但￢q?￢p不成立，∴a≥1，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键．熟练掌握命题的否定的形式．4.在中，内角A、B、C的对边分别为，且，则A=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.7.函数y=的图象大致是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D8.．已知数列

的值为

A．11

B．12

C．13

D．14参考答案：C略9.在下列区间中，函数的的零点所在的区间为

(

）A．（-，0）

B．（0，）

C．（，）

D．（，）参考答案：C10.若双曲线与椭圆（）的离心率之积大于1，则以为边长的三角形一定是（

）A等腰三角形

B锐角三角形

C直角三角形

D钝角三角形参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为

．参考答案：135略12.设函数（为非零实数），若函数有且仅有一个零点，则的取值范围为

.参考答案：13.下列几个命题：①不等式的解集为；②已知均为正数，且，则的最小值为9；③已知，则的最大值为；④已知均为正数，且，则的最小值为7；其中正确的有

．（以序号作答）参考答案：②④14.已知为等比数列，，则

．参考答案：15.已知向量=（m，2），=（2，﹣3）．若（+）∥（﹣），则实数m=

．参考答案：﹣

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由平面向量坐标运算法则求出+，﹣，再由（+）∥（﹣），能求出m．【解答】解：∵向量=（m，2），=（2，﹣3）．∴+=（m+2，﹣1），﹣=（m﹣2，5），∵（+）∥（﹣），∴，解得m=﹣．故答案为：﹣．16.已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于．参考答案：27【考点】数列递推式．【分析】通过an=an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），∴an﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，故答案为：27．17.在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为_____．参考答案：设M(3，t)，P(x0，y0)，因为OP⊥PM，所以，可得x02＋y02－3x0－ty0＝0①又圆M截x轴所得的弦长为4，所以4＋t2＝(x0－3)2＋(y0－t)2，整理得x02＋y02－6x0－2ty0＋5＝0②由①②得x02＋y02＝5，即点P在圆x2＋y2＝5上，于是P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为【说明】本题应该是通过①，②联立方程组，把P的坐标用t表示出来，从而可以建立P到直线2x＋y－10＝0距离关于t的函数，再求函数的最大值即可．但是实际操作时，要注意观察，把①，②联立方程组后很容易消去t，得到x0，y0之间的关系，也即得到点P所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数，再从数到形之间的转换．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；

（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc?cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，平面平面ABCD，，，为的中点.（1）求证：FH⊥平面ABCD；（2）若为等边三角形，Q为线段EF上的一点，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析；（2）1【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由面面垂直的性质可得平面.；（2）先证明平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，然后利用即可得结果.【详解】（1）因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面.（2）因为为等边三角形，，所以，因为，平面，平面，所以平面.因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，因为四边形为菱形，，，所以，所以.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质、线面垂直的证明以及锥体的体积，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.甲、乙两家外卖公司，其单个送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单提成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单提成4元，超出40单的部分每单提成6元．假设同一公司的送餐员同一天的送餐单数相同，现从两家公司各抽取一名送餐员，分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数分布表：甲公司被选取送餐员送餐单数频数分布表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司被选取送餐员送餐单数频数分布表送餐单数3839404142天数1020204010将其频率作为概率，请回答以下问题：（1）若记乙公司单个送餐员日工资为X元，求X的分布列和数学期望；（2）小明将要去其中一家公司应聘送餐员，若甲公司承诺根据每位送餐员的表现，每个季度将会增加300元至600元不等的奖金，如果每年按300个工作日计算，请利用所学的统计学知识为他作出选择，去哪一家公司的经济收入可能会多一些？参考答案：【分析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，写出X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列和数学期望；（2）求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此得出结论．【解答】解：（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172；故X的分布列为：X152156160166172P0.10.20.20.40.1∴E（X）=152×0.1+156×0.2+160×0.2+166×0.4+172×0.1=162；（2）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元；由（1）得乙公司送餐员日平均工资为162元，因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．21.已知A，B，C是椭圆m：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．【分析】（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由?=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得=；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得等式②；由①②可得t的范围．【解答】解（1）如图所示，∵=2，且BC过点O（0，0），则；又?=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C，由a=，可设椭圆的方程m：；将C点坐标代入方程m，得，解得c2=8，b2=4；∴椭圆m的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k=0时，显然﹣2＜t＜2，

2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；由△＞0，可得t2＜4+12k2①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0==﹣，y0=kx0+t=，∴H；由，∴DH⊥PQ，则kDH=﹣，∴=﹣；∴t=1+3k2②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．22.在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．【解答】解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C