2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色（）A．3.99×107 B．0.399×106 C．3.99×106 D．0.399×1072．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）A．2a B． C．a﹣1 D．a+23．（2分）整数a．满足，则a的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，则∠CPD等于（）A．124° B．107° C．122° D．102°5．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（）A． B． C． D．6．（2分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）计算的结果是．9．（2分）分解因式：2m2﹣4m+2＝．10．（2分）某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，86，90，则这组数据的中位数是．11．（2分）计算的结果是．12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，BC∥x轴，AC∥y轴△ABC＝12，则b＝．13．（2分）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9（写出一个即可）．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为．15．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．若AB＝5，连接DD′，则DD′的长为．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，则BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（6分）人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．（1）下列结论中，正确结论的序号是；①2023年的总人口比2017年的总人口少；②2017年我国乡村人口比上一年下降约2.79%；③2016～2023年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．（2）请结合如图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．20．（8分）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆．（1）甲从A通道进入博物馆的概率是；（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．21．（8分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等22．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，BC上，AE＝CF，DF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）已知AB＝4，AD＝8，∠BAD＝120°时，四边形EBFD是菱形．23．（8分）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为5.2m，大树与建筑物的距离AC为20m，求无人机在P处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．﹣24．（8分）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），年利润最大？最大年利润是多少？（说明：年利润＝年销售利润﹣研发费用）25．（8分）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD＝DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F（1）连接AF，求证AF＝AB；（2）求证AB2＝AE•AC；（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4．26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0；（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．27．（11分）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…在△ABC中，P是BC上一点，点E在直线BC的上方，EP，EC【认识模型】（1）如图①，△APB∽△CPE．①连接BE，求证△PEB∽△PCA；②∠BEC与∠BAC满足的数量关系为；【运用模型】（2）已知∠BAC＝90°，D是AB的中点，且△APD∽△CPE．①如图②，若P是BC的中点，连接DE；②若∠B＝30°，BC＝4，当点P在BC上运动时，直接写出AE的长的最小值．

2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色（）A．3.99×107 B．0.399×106 C．3.99×106 D．0.399×107【解答】解：3990000＝3.99×106．故选：C．2．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）A．2a B． C．a﹣1 D．a+2【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，∵﹣3＜a＜﹣1，∴﹣4＜7a＜﹣2，结果为负数，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣8，∴﹣1＜＜﹣，∴选项B不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣6，∴﹣3＜a﹣1＜﹣4，结果为负数，∴选项C不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴2＜a+2＜1，结果为正数，∴选项D符合题意．故选：D．3．（2分）整数a．满足，则a的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵11＜16＜21，∴＜＜，∴＜4＜，∵整数a．满足，∴a＝4，故选：B．4．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，则∠CPD等于（）A．124° B．107° C．122° D．102°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠CAD＝45°，∵∠C＝∠ADB＝62°，∴∠CPD＝∠CBD+∠C＝45°+62°＝107°．故选：B．5．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，延长BA′交AD于点F，在边长为2的正方形ABCD中，AB＝BC＝2，由翻折可知：AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝90°，∵△A′BC为等边三角形，∴∠A′BC＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB•tan30°＝2×＝，∴BF＝2AF＝，∴A′F＝BF﹣A′B＝﹣2，∵∠ABF＝30°，∴∠EFA′＝60°，∴EF＝4A′F＝﹣4，∴AE＝AF﹣EF＝﹣+4＝5﹣2，故选：A．6．（2分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵点B（﹣2，m），m），∴B与C关于y轴对称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A；∵A（﹣4，m﹣4），m），∴当x＜0时，y随x的增大而增大，选项D不符合题意．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠3．【解答】解：根据分式有意义的条件得：x﹣3≠0，∴x≠8，故答案为：x≠3．8．（2分）计算的结果是4．【解答】解：×﹣＝﹣2＝6﹣2＝4；故答案为：6．9．（2分）分解因式：2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2．【解答】解：原式＝2（m2﹣6m+1）＝2（m﹣2）2．故答案为：2（m﹣6）2．10．（2分）某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，86，90，则这组数据的中位数是80．【解答】解：把数据由小到大排列：54，62，86，97，86，则中位数是＝80，故答案为：80．11．（2分）计算的结果是．【解答】解：＝2×16×＝，故答案为：．12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，BC∥x轴，AC∥y轴△ABC＝12，则b＝6．【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），∴C点坐标为（m，﹣），∴AC＝，BC＝2m，∴△ABC的面积＝AC•BC＝＝12，∴b＝6．故答案为：8．13．（2分）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜96（答案不唯一）（写出一个即可）．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），∴5＝k+b，b＝1﹣k，∴一次函数解析式为：y＝kx+1﹣k，∵当x＝7时，5＜y＜9，∴7＜2k+1﹣k＜6，∴5＜k+1＜4，∴4＜k＜8．不妨k＝7，故答案为：6（答案不唯一）．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为（，2）．【解答】解：设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，∴MN⊥OC，∵A的坐标是（4，0），∴OA＝6，∵四边形OABC是正方形，∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，∴四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，∴MN⊥AB，∴NB＝AB＝2，∴MC＝NB＝7，∴OM＝4﹣2＝8，设圆的半径是r，∴DB＝r，DN＝4﹣r，∵BD2＝DN8+NB2，∴r2＝（8﹣r）2+24，∴r＝，∴MD＝，∴点D的坐标为（，2）．故答案为：（，2）．15．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．若AB＝5，连接DD′，则DD′的长为．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，在Rt△ABD中，BD＝＝，∵∠ABH＝∠DBA，∠AHB＝∠DAB，∴△BAH∽△BDA，∴BH：AB＝AB：BD，即BH：5＝4：13，解得BH＝，∵矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．∴AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∴BH＝B′H＝，∵＝，∠DAD′＝∠BAB′，∴△ADD′∽△ABB′，∴DD′：BB′＝AD：AB，即DD′：＝12：5，解得DD′＝．故答案为：．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，则BC的长的最小值为2﹣2．【解答】解：取AC中点E，过E作EF⊥AC，交EF于F，AE＝，∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，•∴∠AFE＝∠BAD，∴BD＝AC，.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，△BDA≌△AEF（AAS），∴AB＝AF＝2，则BF＝，∵E为AC中点，EF⊥AC，∵EF是AC的垂直平分线，∴CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2，∴当F、C、B三点共线时取等号，即：BC的最小值为7﹣2；故答案为：4﹣2．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．【解答】解：＝•＝•＝．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【解答】解：由≥x+4得：x≤1，由3+4（x﹣1）＞﹣9得：x＞﹣5，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以其整数解为﹣5、0、1．19．（6分）人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．（1）下列结论中，正确结论的序号是①②；①2023年的总人口比2017年的总人口少；②2017年我国乡村人口比上一年下降约2.79%；③2016～2023年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．（2）请结合如图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．【解答】解：（1）由统计图可知：2023年的总人口为：9.32+4.47＝13.79（亿人），2017年的总人口为：8.43+5.57＝14（亿人），所以2023年的总人口比2017年的总人口少，故①结论正确；2017年我国乡村人口比上一年下降约：≈2.79%；2016～2023年我国城镇人口逐年增长，但增长率不相同．故答案为：①②；（2）由统计图可知，我国城镇人口逐年增长；从2021年开始．20．（8分）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆．（1）甲从A通道进入博物馆的概率是；（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．【解答】解：（1）由题意得，甲从A通道进入博物馆的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲，AC，BC，CB，∴甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为＝．21．（8分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等【解答】解：设乙机器人每小时检测零件x个，则甲机器人每小时检测零件（x+10）个，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，∴x+10＝40+10＝50（个）．答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．22．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，BC上，AE＝CF，DF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）已知AB＝4，AD＝8，∠BAD＝120°2.4时，四边形EBFD是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）解：如图，过点B作BM⊥DA于点M，则∠BMA＝90°，∵∠BAD＝120°，∴∠BAM＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AB＝，∴BM＝＝＝2，设AE＝x，则ME＝AM+AE＝2+x，由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形，当BE＝DE＝8﹣x时，四边形EBFD是菱形，在Rt△BME中，由勾股定理得：（7）2+（2+x）2＝（8﹣x）6，解得：x＝2.4，即当AE的长为4.4时，四边形EBFD是菱形，故答案为：2.6．23．（8分）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为5.2m，大树与建筑物的距离AC为20m，求无人机在P处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．﹣【解答】解：延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，由题意得：AF⊥PG，CE⊥PG，AC＝EF＝20m，设PF＝xm，∴PE＝PF+EF＝（x+20）m，在Rt△BPF中，∠BPF＝63°26′，∴BF＝PF•tan63°26′≈2x（m），在Rt△PED中，∠EPD＝36°52′，∴ED＝PE•tan36°52′≈0.75（x+20）m，∵AF＝CE，∴AB+BF＝CD+DE，∴8.2+2x＝30.5+0.75（x+20），解得：x＝32，∴AF＝AB+BF＝5.4+2x＝69.2（m），∴无人机在P处时离地面的高度约为69.2m．24．（8分）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），年利润最大？最大年利润是多少？（说明：年利润＝年销售利润﹣研发费用）【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝，40）代入得k＝3×40＝160，∴y与x之间的函数关系式为y＝；当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，20），0）代入得，，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，综上所述，y＝；（2）当4≤x≤6时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）•，∵当2≤x≤8时，w随着x的增大而增大，∴当x＝8时，wmax＝120﹣＝40；当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣6）（﹣x+28）﹣40＝﹣（x﹣16）2+104，∴当x＝16时，wmax＝104；∵104＞40，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为104万元．25．（8分）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD＝DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F（1）连接AF，求证AF＝AB；（2）求证AB2＝AE•AC；（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DEC＝∠AEG，∴∠OAC+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，即OA⊥BF，由垂径定理可得，OA垂直平分BF，∴AF＝AB；（2）证明：如图，连接BC，由（1）知，AF＝AB，则∠AFB＝∠ABE，又∠ACB＝∠AFB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，即：AB2＝AE•AC；（3）解：如图，连接CO，连接OB，∵AE＝2，EC＝4，则AC＝AE+EC＝8，由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，∴AB＝6＝BE，由（2）知△ABE﹣△ACB，则，即，∴AC＝CB＝8，又：OA＝OB，∴CH垂直平分AB，∴，在Rt△BCH中，，设半径为r，则OA＝OC＝r，，在Rt△AOH中，OH8+AH2＝OA2即：，解得，故答案为：．26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0；（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4a×4＝b2﹣8a．∵a＜8，∴﹣8a＞0．又对于任意的实数b都有b6≥0，∴b2﹣3a＞0，即Δ＞0．∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）证明：由题意，x2+x2＝﹣，x1•x6＝．又x2＝﹣2x1，∴x1＝，x8＝﹣．又x1•x5＝，∴﹣＝．∴﹣b4＝a．∴a+b2＝0．（3）解：由题意，对称轴是直线x＝．又令x＝0，则y＝7．∵a＜0，∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又2＜y7＜y1，∴|k+2﹣5|＞|k+2﹣6|＞|k+3﹣k|．