2022-2023学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.熊+戏=（）

A.13B.16C.23D.26

2.以下求导正确的是（）

11

A.B.（cos%）'=sinxC.（仇3）'=-D.（3%）'=%-3、T

3.（x+卷）5的展开式中/的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

4.近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产

品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富.已知某农村电商每月直播带货销售收入y（单

位：万元）与月份双久=1,2,…,12）具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，

得到经验回归方程为y=0.8x+9.3,则下列结论正确的是（）

A.相关系数r=0.8,销售收入y与月份x的相关性较强

B.经验回归直线y=0.8久+9.3过点（3,11.7）

C.根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元

D.关于两个变量x,y所表示的成对数据构成的点都在直线y=0.8%+9.3上

5.有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生

限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一

个项目，则不同的分配方案共有（）

A.80种B.100种C.120种D.140种

6.某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记

该同学做对的题目数为X,且X服从二项分布则以下说法错误的是（）

q1qQ

A.E（X）=|B.D（X）C.E（2X+1）=6D.P（X=1）=；

7.若a=-,b=c—哈,贝U（）

e5

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

8.已知函数/(久)={j；制;"Q2函数9(久)=f(X)-小一1恰有两个不同的零点”

x2(x1<x2),则好+句的最大值和最小值的差是()

A.2+e~3B.4+e~3C.2-e~3D,4-e~3

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

10210

9.—I)a0+atx+a2x+—I-a10x,则()

A.cig—1B.UQ+a［+…+a］。——1

C.a0—a1+a2—CI3++a］。=210D.a。+a2++,,,+CZ^Q=-29

10.袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个,每次随机摸出1个球，

摸出的球不再放回.记“第一次摸出蓝球”为事件4“第二次摸出红球”为事件B,则下列说

法正确的是()

A.P⑷=|B-PQ48)=卷

C.P(B|X)D.摸球两次，恰有一个是红球的概率为力

11.已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，X服从正态分布

N(5,d),若P(X<4.5)=p,则()

1

A.P(X>5)=|

B.P(4.5<X<5)=?

C.越小，每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率越大

D.若「=得，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在(455.5)内

的概率为需

12.已知函数/(%)=-3P+6/一1,((久)是的导函数，且［(a)=「(6)=/(c),其

中a<6<c,则下列说法正确的是()

A.八%)的所有极值点之和为0B./(%)的极大值点之积为2

C.ab+ac+be=-1D.abc的取值范围是(-327~3,321^)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)=则P(X<2)=.

X123

1

Pmn

4

14.已知多项选择题的四个选项A,B,C,。中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若某题的正确答案是ACD小明完全不知道四个选

项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为

15.“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词.某数学爱好者用两

个函数图象描绘了这两句诗词：/（%）=|3sinx|+sinx,久€［0,2兀］的图象犹如两座高低不一

的大山，太阳从两山之间落下（如图1）,gQ）=卜讥2x,x6［0,2兀］的图象如滚滚波涛，奔腾入

海流（如图2）.若存在一点而丰兀，使“》）在（久0，/3）））处的切线与9（©在Oo，gQo））处的切线

平行，则COS%）的值为.

图I图2

16.已知函数g（久）=|）％|-2a的两个零点分别为%］和％2，且久1＜久2，则红导的最小值为

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数.

（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）

（2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）

18.（本小题12.0分）

甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的

人获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率为多各局比赛结果相互独立.

（1）求甲以3：1获胜的概率；

（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及数学期望E（X）.

19.（本小题12.0分）

已知函数/（久）=x3—|^2—6x+1.

xx

（1）若/（久）有两个极值点X2（l<2）>求久1乂2+/■（久1）+f（乂2）的值；

（2）设xG[-2,3],求/（X）的最值.

20.（本小题12.0分）

为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美

交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展.该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资

力度,持续构建面向未来的竞争力.现得到一组在该技术研发投入久（单位:亿元）与收益y（单位:

亿元）的数据如表所示：

研发投入支3681014172232

收益y4352607174818998

（1）已知可用一元线性回归模型丫=6刀+a模型拟合V与尤的关系，求此经验回归方程；（附:

对于一组数据01，%），（X2,y2）,（xn,yn）,其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最

£仁1孙一几盯

小二乘法估计公式分别为6=a=y-bx,—x2=

第1。厂"）2%=9138,)

634,结果保留两位小数）

（2）该企业主要生产/、〃类产品，现随机抽取/类产品2件、〃类产品1件进行质量检验，已知/

类、〃类产品独立检验为合格品的概率分别为1求在恰有2件产品为合格品的条件下，〃类

4J

产品为合格品的概率.

21.（本小题12.0分）

为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小

区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行

统计，数据如表.

（1）完成下面的2x2列联表，并根据小概率值a=0.001的独立性检验判断业主对安保服务的

满意度与对维修服务的满意度是否有关联；

服务

评价合计

安保服务维修服务

满意57

不满意15

合计40

(2)现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人

中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X,求X的分布列及数学期望.

2

附:九(ad-lc)其中九二a+b+c+d.

①f(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八

②临界值表

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=axex—Inx—x—1.

(1)当a=0时，求/(%)的单调区间；

(2)若不等式f(%)20恒成立,证明:a>1.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：用+肉=5x4+等=23.

ZXJ.

故选：C.

根据排列组合数的运算求解.

本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：对于4（log2xy-A正确；

对于B,（cosxy=-sinx,B错误；

对于C,（万3）'=0,C错误；

对于D,（3工）'=3工"3,。错误.

故选：A.

利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答.

本题主要考查了导数的计算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：通项公式为限+i=C^x5~k•（1尸=2kC^-x5~3k,

令5—3fc=2,得k=1,

所以展开式中/的系数为2x盘=10.

故选：A.

根据通项公式可求出结果.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：对于4由回归方程为丫=0.8%+9.3得回归系数为。-8,不是相关系数，故A错;

对于B：由前5个月的直播销售数据得到经验回归方程，故］=1+2+：+4+5=3,

.•.y=3x0.8+9.3=11.7,故过点(3,11.7),故8正确；

对于C：根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为141万元，并不是实际值，故C错

误；

对于D：并不是所有关于两个变量久，y所表示的成对数据构成的点都在直线y=0.8%+9.3上，故

。错误；

故选：B.

根据经验回归方程的性质和定义，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

5.【答案】C

【解析】解：将5个元素分成4组，有程=10种，再安排含甲的一组，有废=2种，

再安排其余3组，有房=6种，

所以不同的分配方案共有10X2x6=120种.

故选：C.

采用先分后排的方法可求出结果.

本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为X〜8(10,)，所以E(X)=10x;=|,故A正确；

O(X)=10x：x(l—。)=容故8正确；

44o

E(2X+1)=2E(X)+1=2x|+1=6,故C正确；

P(X=l)=/f(l-护=|义,记，故3错误.

故选：D.

根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案.

本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：a=空/=殍=芋,

ez4

设/(*)=号(乂>0),则/。)=手,

当0<x<e时,则/'(%)>0,/(%)单调递增,

当无Ae时，则尸>)V0,/(%)单调递减，

/(e)>/(4)>/(5),即r>b>c.

故选：B.

由。=詈/=等=詈，可构造函数/(%)=等，再求导判断单调性，即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：作出y=/(%),y=/n+l的图象如下,

由图象可知，当一2<zn+l<2,即一时，函数y=/(%),y=m+l有2个交点,

即函数g(%)=/(x)-m-1恰有两个不同的零点，

因为/<冷，所以1-3;爪+:1,可得，好=1二机，

ilnx2+1=m+11%2=e

m

则好+x2=e-m+1,

构造函数九(%)=ex—x+1,(—3<%<1),hf(x)=ex—1,(—3<%<1),

令〃(%)>0解得，令"(%)<0解得，-3<%<0,

所以/i(%)在［-3,0)单调递减，(0,1］单调递增，

3

所以h(%)而九=/i(0)=2,h(x)max=3),/i(l)}=e~+4,

所以函数M>)=ex-x+l,(-3<%<1)的最大值和最小值之差为2+e-3,

所以好+第2的最大值和最小值的差是2+e-3.

故选：A.

作出y=/(%),y=m+1的图象，数形结合可得m的取值范围，将好,％2用血表示，构造函数％(%)=

一%+1,（-3<%<1）,利用导函数讨论单调性求解.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】AC

10210

【解析】解：（%—I）=a。+a1x+a2x4----Fa10x,

当％=0时，得（―1）1。=。0，即劭=1,故A正确；

当％=1时，得（1—1>°=CLQ++…+。10，

即即+的,+…+a］。=0,故B错误;

当％——1口寸，得（_1_1）1。=CLQ—的+0,2—…+010'

故—%+的—。3+…+。10=21°,即C正确；

ao+a2+a4+…+a10=（初+。1+—）+（。|。1+。2-。3+“-。1。）=0+2=炉,故£>错误.

故选：AC.

根据已知条件，结合赋值法，即可求解.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，则P（4）=|,故A正

确；

对于B,P（4B）=|x,=,,故8不正确；

341U

3

对于C,由2、B的结论，所以「出|4）=需=号=（故C正确；

对于D,第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为|义,=2，

541U

第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为lx'=年,

541U

所以摸球两次，恰有一个是红球为事件磊+2=,，故。不正确.

故选：AC.

根据题意，根据古典概型概率公式分析4相互独立事件的概率分析B,由条件概率的计算公式分

析C,由互斥事件的概率公式分析。，综合可得答案.

本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于a选项，因为x〜N(5,一),则p(x>5)=(a对；

对于B选项，因为P(X<4.5)=p,贝！Jp(4.5<X<5)=P(X<5)-P(X<4.5)=^B错;

对于C选项，c越小，每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率越大，C对；

对于D选项，若p=mP(4.5<X<5.5)=l-2p=l-2x^=j,

所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率为窗•

(沪江念。对•

故选：ACD.

利用正态密度曲线的对称性可判断A8选项；利用。与正态密度曲线的关系可判断C选项；利用独立

重复试验的概率公式可判断。选项.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

12.【答案】AC

【解析】解：f(x)=-3x4+6%2-1,

f'(x)=-12*3+12x=-12x(/—1),

令/(无)=o得%=o或—i或i,

所以在(一8,-1)上((X)>o,fO)单调递增，

在(一1,0)上/(x)<0,/(久)单调递减，

在(0,1)上/(%)>0,〃久)单调递增，

在(1,+8)上/(X)<0,/(%)单调递减,

所以f(x)的极大值点为-1,L极小值点为0,

对于4：/(%)的极值点和为—1+1+0=0,故A正确；

对于B：f(x)的极大值点之积为-1义1=-1,故B错误；

对于C：根据题意，不妨设/'(a)==/'(c)=t,

所以y=((久)与y=t有三个交点，且交点的横坐标为a,b,c,

所以r(x)-t=0有三个根a,b,c,

所以—12%3+12x—t=-12(%—a)(x—6)(%—c),

所以—127+12%—t=-12(%—a)(%—Z?)(x—c),

所以—12炉+12%—t=—12x3+12(a+b+c)x2—12(bc+ac+ab)x+12abc,①

所以12=-12(bc+ac+ab),

所以be+etc+ctb=-1,故C正确；

对于D：由①得12abe=-3即abc=—5

由上可知尸(%)=-12%3+12%,

令g(x)=-12%3+12%,

g'(x)=-36x2+12,

令g'(x)=0,得第=土?，

所以在(―8,—?)上g'(x)＜0,g(x)单调递减，单调递减，

在(-?,?)上g'(x)＞0,以比)单调递增，八龙)单调递增，

在(?,+8)上9，(%)＜0,g(x)单调递减，/'(X)单调递减，

所以f'(x)板〃值=1(—?)=一12(—?尸+12(一?)=—殍，

$9极大值=/'(?)=—12(?)3+12(一?)=殍，

所以—殍＜t＜殍，

所以-年＜/〈学

所以—雪＜abc〈年，故。错误，

故选：AC.

求导分析f。)的单调性和极值点，即可判断4B是否正确；根据题意，不妨设((a)=f'(b)=

f'(c)=3则/''(久)—t=0有三个根a,b,c,即—12久3+I2x—t=—12(x—a)(x—b)(x—c),

进而可得be+ac+ab=—1,abc=-9即可判断C,D是否正确.

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

.【答案】

134

(1

+71+丁=1

【解析】解：由分布列的性质和期望公式可得《417，

E(X)=m+2x4+3n=4

kv744

(1

m=-

解得《

=4

因此，P(xw2)=；+；=*

故答案为：p

利用分布列的性质结合期望公式可得出关于小、n的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得

P(X<2)的值.

本题考查分布列的性质，属于基础题.

14.【答案I,

【解析】解：设事件从“小明得分”，事件B：“小明拿到2分”，

小明只选一个选项有盘=4种选法，

小明只选两个选项有C；=6种选法，

小明只选三个选项有盘=4种选法，

小明选四个选项有微=1种选法，

事件从“小明得分”包含废+或+废=7个基本事件，

事件B：“小明拿到2分”包含废+量=6个基本事件，

所以P(B⑶

故答案为：

利用条件概率直接求解.

本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

15.【答案】上/或匚岁

,e工口h—”、(^sinx.xeTO,TTI

【rA解7析】解：由题可知/(久)=„.\1,

i—2sinx,x6(ji,2n\

,_(4cosx,xe[0,TT]

,(%)—[-2cosx,xE(re,2TT]'

g'(x)=cos2x,xG[0,2n],

当％oe[0,兀)时,由题意得，/'(&)=g'(%o)，

所以4cos%。=cos2x0,即2cos2%o—4cosx0—1=0,

解得C0S&=壁:y，即C0S%o=-(舍)或C0S%0=2一-,

42L

当%0E(7T,27rl时，由题意得,/'(%o)=g'(%o)，

所以-2cos&=COS2XQ,即2cos2%O+2cosx0—1=0,

解得C0S%0=-2±2AT3^即COS%0=11(舍)或COS%0=

422

故答案为：宁或

将函数/(X)表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的

二倍角公式求解.

本题考查利用导数求函数的切线，方程思想，化归转化思想，属中档题.

16.【答案】2e

【解析】解：当0<%<1时，"》<0,当久>1,时"％>0,

由题意一仇％1=2a,lnx2=2a,a>0,

2a2a

所以％i=e~,x2=e,

故也=史

aa

设/(©=:,x>0,

则尸(X)=/当T)，

当0<x<T时，/⑶<0,/(x)在区间(0,勺上单调递减，

当久>，时，f(x)>0,/(x)在区间©,+8)上单调递增，

故f(x)N/(；)=2e,

故也=它的最小值为2e.

aa

故答案为：2e.

先将久i和冷用a去表示，可将乎转化为《，构造函数/(乃=?，利用导数求最小值即可.

本题主要考查函数零点的判定定理，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中

档题.

17.【答案】解：(1)从1,3,5中选一个填入个位，有力算中，

剩余四个位置全排列，有蝮种，

故共有四题=72个.

(2)3和4相邻，可以在第1,2位或第2,3位或第3,4位或第4,5位这4个位置中选1个，

然后3和4内部全排列，有用属种，

其他位置进行全排列，有用种，

故共有怂房房=48个.

【解析】(1)先从1,3,5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；

(2)先排好3和4：可以在第1,2位或第2,3位或第3,4位或第4,5位这4个位置中选1个，然后3和

4内部全排列，然后其他数字全排即可求解.

本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，

概率为：P=cK|)2x(l-|)x|=^.

(2)由题意得X的所有可能取值为3,4,5,

则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则P(X=3)=(|)3+($3=1,

打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；

或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，

则P(X=4)=或(|)2x(l-|)x|+C貂)2x(l-|)x|=g,

打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，

P(x=5)=程(|)2X(y=A.

所以X的分布列为：

X345

110

P8

32727

所以X的数学期望E(X)=3X「4X,+5X^=当.

D乙/乙/乙/

【解析】(1)由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；

(2)由题意得X的所有可能取值为3,4,5,然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛

结束时比赛局数X的分布列及数学期望.

本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题.

19.【答案】解：(1)/(久)的定义域为R.

由/(%)=x3--x2—6%+1,得/'(%)=3x2—3%—6=3(%—2)(%+1),

令/'(%)=0，解得%--1或%=2,

当%6(-8,-1)时,/'(%)>0,/(%)单调递增，

当%€(-1,2)时，f(x)<0,/(%)单调递减，

当%G(2,+8)时,尸(%)>0,/(%)单调递增,

依题意有/=-1,%2=2，贝=/(-I)=，/(%2)=/(2)=-9,

-1"?

所以%1乂2+fQi)+"%2)=

(2)由(1)知f。)在［-2,-1)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，在(2,3］上单调递增，

所以f(久)极大值=f(—1)=|>

中)极小值=2)=-9.

7

又〃-2)=—1,〃3)=一夕

所以f(x)的最大值为《最小值为-9.

【解析】(1)求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可；

(2)计算极值和端点的函数值，从而可求解.

本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题.

-43+52+60+71+74+81+89+98»

y二-----------§-----------二71,

,_湿1%必-8石_9138-8x14x71_1186

=£：1（/一1）2=634=百

a=y-bx71—1.87x14=44.82y

所以y关于％的经验回归方程为y=1.87%+44.82-

(2)记“恰有2件产品为合格品”为事件4“〃类产品为合格品”为事件历

则PQ4)=向2*(1_|)+旗1—|)X上|=卷

P(/IF)=CKI-1)X|X|=|,

1

由条件概率的计算公式得P(B|4)=锵=手=J

故在恰有2件产品为合格品的条件下，〃类产品为合格品的概率为小

【解析】(1)利用最小二乘法估