平面向量及其应用必考题型分类训练-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）-高考数学备考复

专题08平面向量及其应用必考题型分类训练

G1二年高考真题练】

一.选择题(共9小题)

1.(2022•全国)已知向量之=(x+2,l+x),b=(尤-2,1-x).若Z〃总则()

A.f=2B.\x\=2C.X2=3D.|X|=3

【分析】由已知可得x+2)(1-x)-(l+x)(x-2)=0,计算即可.

【解答】解：；a〃b，a=(x+2,1+尤)，b=(x-2,I-x).

(x+2)(1-x)-(l+x)(x-2)=0,

-2/+4=0,AX2=2.

故选：A.

【点评】本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题.

2.(2022•乙卷)已知向量之=(2,1),芯=(-2,4),则|之-]|=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】先计算的坐标，再利用坐标模长公式求解.

【解答】解：；-b=(4)-3)，

故|ZA|W42+(-3)2=5,

故选：D.

【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题.

3.(2022•新高考H)已知向量；=(3,4),b=U.0),c="a+?b-若<之，3>=<

b，c>，则t-()

A.-6B.-5C.5D.6

【分析】先利用向量坐标运算法则求出与=(3+34),再由vW，c>=<b，c>，利用

向量夹角余弦公式列方程，能求出实数/的值.

【解答】解：.•,向量2=(3,4),b=(1，。)，c=a+，b，

/.C=(3+34),

c>=<b，c>，

—♦—•—♦—•

•a•c_b-c.25+31=3+t

"Hl-lcTIbl-lcl'T，

解得实数f=5.

故选：C.

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

4.（2022•乙卷）已知向量之，Ei弱足lal=l，IH=北，la-2bl=3,贝!1a，b=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】利用4-2芯=J（薮2,2,结合数量积的性质计算可得结果.

【解答】解：因为向量a，E满足百=1，市='§，la-2bl=3,

所以Ia-（a-2b）2=Va2-4a-b+4b2=Vl-4a'b+4X3=3，

两边平方得，

13-4a*b=9,

解得a•b=1，

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题.

5.（2022•新高考I）在△4BC中，点力在边AB上，BD=2DA.记忌=',CD=r）»则混

=（）

A.3IT-2nB.-2n+3nC.3ir+2nD.2n+3n

【分析】直接利用平面向量的线性运算可得首g号而一以，进而得解.

..9.1>•1..

CD=CA+AD=CA4DB=CA号（CB-CD）=CA

­~CB-|CD-CA-即而=3而-2区=3127.

故选：B.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.

6.（2021•全国）已知向量?=（cos9,sin0）,芯=（3,-4）,则:的最大值是（）

A.7B.5C.4D.1

【分析】利用向量的数量积，结合辅助角公式，利用三角函数的有界性求解最值即可.

【解答】解：向量a=（cos0,sin0）,b=（3,-4）,

则a.b=3cos。-4sin0=5cos(e+(p)，其中tan<p=生

3

V5cos(0+<p)W5,的最大值是5.

故选:B.

【点评】本题考查向量的数量积的求法，辅助角公式的应用，是基础题.

7.（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：相），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示

意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影B,,。满足/A，CB，=45°,

NAEC=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC的差为100；由B点测得A点

的仰角为45°,则A,C两点到水平面ABC的高度差CC约为（）（百-1.732）

【分析】本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高

度差.

【解答】解：过C作CH_LB8'于H,过8作于

则/BCH=15°,BH=\0Q,NAB仞=45°,CH=CB'，A'B'=BM=AM,BB1=

MA',ZCA'B'=75°

AtanZBC/7=tan150=tan(45°-30°)=tan450-tan30°=门飞,sin750=sin

l+tan45°tan300

(45°+30°)=

则在中，CH=——四——=100(2+73)，B'=100(2+V3)

tan/BCH

C'B

在B'C中，由正弦定理知，A'B'•sin/A'C'B'=10°

sinZC7A'B'

(V3+1)，AAM=lOO(5/3+D，

：.AA'-CC'=AM+BH=\Q0(V3+I)+100«=373,

故选:B.

"“二-----------

【点评】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键.

8.（2021•甲卷）在△ABC中，已知8=120°,AC=^^^^AB=2,则BC=（）

A.1B.V2C.V5D.3

【分析】设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,利用余弦定理得到关于〃的方程，解方

程即可求得。的值，从而得到8c的长度.

【解答】解：设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

结合余弦定理，可得19=/+4-2XaX2Xcosl20°,

即/+24-15=0,解得a=3（a=-5舍去），

所以8C=3.

故选：D.

【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题.

9.（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是

测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高

的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC

与E/7的差称为“表目距的差”，则海岛的高A8=（）

表图X表距

A..+表高

表目距的差

表高X表距

B.■表高

表目距的差

表高X表距

C..+表便巨

表目距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出.

।解答】解谓谓登喂嚼啜即谭T-

解得AH=AE+EH,

CG-EH

故48=①汕=胆皎胆1=巫幽•库里=匹侬+/注=表邕2速里■+表高

EHEHEH+EHCG-EH表目距的差”

另解：如图所示，连接班)并延长交AB于点例,

表目■期差=GC_EH=AC_迎=竺

表高FGDEABABAB'

表高X表距=表距

表目距的差表目鲤手差量常'A"黑'A'谭3期,

表图AB

表图X表距

：.AB=BM+MA^.+表高.

表目距的差

故选:A.

【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

二.多选题(共1小题)

(多选)10.(2021•新高考I)已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cos0,-

sinp),Pi(cos(a+0),sin(a+P)),A(1,0),则()

A-I而p=l恒IB.I耐1=1而^

C-水•西=函,破D.示•西=西•恒

【分析】法一、由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案；

法二、由题意画出图形，利用向量的模及数量积运算逐一分析四个选项得答案.

【解答】解：法一、〈Pi(cosa,sina),Pi(cos。,-sin。)，P3(cos(a+0),sin(a+0)),

4(1,0)，

・・・OP1=(cosa,sina)恒=(cos0,-sinp),

0p；=(cos(a+p),sin(a+p)),0A=(1,0),

=

APj=(cosCl-1,sina)，AP2(COSP-1,-sinB)，

贝I」|OP7I=Vcos2a+sin2Cl=1-lOP^I=Vcos2P+(-sinP)2=1'则।西।=

IOpJ,故A正确；

IAPj|(cosCl-1)2+sin2Cl=Jcos2a+si112a-2cosa+1=V2-2cosCI,

2222

IAP2I=V(cosP-1)+(-sinP)=VcosP+sinP-2cosP+1

V2~2cosP，

lAPylAPJ故3错误；

•0p；=1Xcos(a+P)+0Xsin(a+0)=cos(a+0),

0pI•0p2=cosacos0-sinasin0=cos(a+0),

・・・04・丽^=丽^^^故C正确；

赢wQp*=1Xcosa+0Xsina=cosa,

0P2*0PCOSPCOS(a+0)-sinpsin(a+p)=cos[p+(a+P)]=cos(a+20),

・••永•丽•丽^故。错误・

故选：AC.

法二、如图建立平面直角坐标系,

A(1,0),作出单位圆O,并作出角a,p,-p,

使角a的始边与QA重合，终边交圆。于点Pi,角0的始边为OP1,终边交圆O于尸3,

角-p的始边为OA,交圆O于P2,

于是Pl(cosa,sina),尸3(cos(a+0),sin(a+0)),Pi(cos0,-sin^),

由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的

三角函数，考查运算求解能力，是中档题.

三.填空题（共9小题）

11.（2021•甲卷）已知向量之=（3,1）,b=（1，0），c=a+kb.若则■一

-3-

【分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于上的方程，求解即

可.

【解答】解：因为向量之=（3,1）,b=（1，0）,3=*口，

由a~Lc,则Z•（；+kE）=|2+k!•Eu'+V+k，（3X1+1X0）-10+3/:—0;

解得k=

3

故答案为：

3

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂

直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题.

12.（2021•乙卷）已知向量2=（2,5）,b—（入，4）,若a〃b，则入=__旦

5

【分析】根据题意，由之〃可得关于人的方程，再求出入即可.

【解答】解：因为a=（2,5）,b=（入，4）,a〃b，

所以8-5人=0,解得入

5

故答案为：旦.

5

【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

13.（2022•甲卷）已知向量2=（〃?，3）,b—（1，m+\）.若a，b，则.

4-

【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的

运算法则，计算求得，”的值.

【解答】解：..,向量a=（m，3）,b=（1,，"+1）.a，b，

a*b=^+3（w+1）=0，

则m=--,

4

故答案为：-—.

4

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的

运算法则，属于基础题.

14.（2021•新高考I【）已知I向量a+b+c=0,lal=l，lbl=ld=2,则a・b+b'c+c'a=_

2

]一.

【分析】a+b+c=a+b=-c或a+c=-b或b+c=-a»三等式两边平方可解决此题.

【解答】解：方法1：由a+b+c=0得a+b=-c或a+c=-b或b+c=-a»

/.（a+b）2=（-3）之或（a+c）2=（-b）之或（b+c）2=（-a）2，

又,.,|al=l，lbl=lcl=2，，5+2a，b=4,5+2a•c=4,8+2b•c=1»

—♦-♦[—♦—♦]—•—♦*7—♦-♦Q

,•a.b-—,a。c——'b,c———,,•a・b+a。c+b。c—~—•

2222

故答案为：——.

2

方法2：；・力•/%%；=5+3+3）2-.12TBi2_忆|2=0-卜4-4=一9.

222

故答案为：-9.

2

【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题.

15.（2021•乙卷）已知向量a=（1，3）,b=（3,4）,若（a-入b）-Lb-贝UA=__

5

【分析】利用向量的坐标运算求得之-入^=（1-3入，3-4人），再由（a-Ab）±b，可得

（7-入E）・E=o，即可求解入的值.

【解答】解：因为向量&=（1，3）,b=（3,4）,

则a-Xb=（1-3入，3-4人），

又（a-Ab）-Lb，

所以（:一入芯）・E=3（1-3入）+4（3-4入）=15-25入=0,

解得入=旦.

5

故答案为：1.

5

【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解

能力，属于基础题.

16.（2021•甲卷）若向量之，％满足讶=3,la-bl=5,a-b=h则后1=_决历_.

【分析】由题意首先计算（7_芯）4然后结合所给的条件，求出向量的模即可.

【解答】解：由题意，可得金工）242_2；后+铲=25，

因为lal=3,a,b=1>所以9-2X1+"^2=25，

所以,=18,后上后=3近。

故答案为：372.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题.

17.（2021•乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为焉，B=60°,

/+<?=3",则h=_2A/2_.

【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于。的方程，解方程可得.

【解答】解：,.•△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面积为B=60°,«2+?

^3ac,

2222_

又cosB=-?—+£力-=>_!=.12寸一=>匕=2&,（负值舍）

2ac28

故答案为：2M.

【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.

18.（2022•甲卷）设向量之，E的夹角的余弦值为工且讨=1,位=3,则（2a+b）*b=

3

11.

【分析】首先计算；石，52的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值.

【解答】解：由题意可得Z£=1X3XL=1,b2=9'

3

则（2a+b）-b=2lb+b2=2+9=ll-

故答案为：11.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等题.

19.（2022•甲卷）已知△ABC中，点。在边BC上，NADB=120°,AD=2,CD=2BD.当

取得最小值时，BD=_M-1_.

AB

2

【分析】首先设出BD,CD,在两个三角形中分别表示AC,BC,继而幽一=

AB2

b24*2-4K+412

^-=\=4——匕丁，从而利用均值不等式取等号的条件即可.

cxz+2x+4x+]+-3・

x+1

【解答】解：设BO=x,CE)=2x,

在三角形AC。中，X=4f+4-2・2尤•2・cos60°,可得：Z>2=4?-4x+4,

在三角形A3。中，C2=X2+4-2«x«2*cosl20°,可得：c2=x2+2x+4,

2

要使得挺最小，即上一最小,

ABc2

22

b4x-4x+44(x^+2x+4)-12x-12+1

4,12,_?.■

~~292

cX+2x+4X+2X+4x+2x+4

x+112

4-12・Y,,3

(X+1)2+3

x+F

其中x+l+—此时号

x+11

当且仅当(x+1)2=3时，即X=J§-1或X=f/^-1(舍去)，即X=JE-1时取等号,

故答案为：Vs-i.

【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

四.解答题(共8小题)

20.(2022•全国)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA=3sin8,C

=—>c=V7.

3

(1)求a；

(2)求sinA.

【分析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解.

(2)根据(1)的结论，以及正弦定理，即可求解.

【解答】解：(1)VsinA=3sinB,

由正弦定理可得，a=3b,

，由余弦定理可得，c1=a1+b1-2abcosC,即7=9序+庐-3序，解得匕=1,

(2)'：a=3,C=—,c=V7，

3

义义近

•.tasinC_23A/21

,*sinA=----------——7=-=———

cV714

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题.

21.(2022•乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sinCsin(A-B)

=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)证明：2a2=房+02.

【分析】(1)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),结合A=2B,可得sinC=sin(C-A))

即C+C-A=TT,再由三角形内角和定理列式求解C；

(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.

【解答】解：(1)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

又A=2B,.".sinCsinB=sinBsin(C-A),

VsinB^O,；.sinC=sin(C-A),B|JC^C-A(舍去)或C+C-A=TT,

'A=2B

联立，2C-A=兀.解得C=5兀；

A+B+C=7T

证明：(2)由sinCsin(A-8)=sinBsin(C-4),

得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

222222222

由余弦定理可得：ac-a+c-bb+c-a,a+b-c

=2bc•-—，—

2ac

整理可得：2a2=房+02.

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是

中档题.

22.(2022•乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)

=sinBsin(C-A).

(1)证明：2。2=启+。2；

(2)若〃=5,cosA=W^,求△ABC的周长.

31

【分析】(1)利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求

得结论；

(2)利用(1)中结论求出■+J和2尻的值，即可求出△ABC的周长.

【解答】(1)证明：△A8C中，sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),

所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC=2cosAsinBsinC,

即sinA(sinBcosC+cosBsinC)=2cosAsinBsinC,

所以sinAsin(B+C)=2cosAsinBsinC,

由正弦定理得a2=2bccosA,

由余弦定理得a2=b2+c2-2/?ccosA,

所以2C』=〃2+C2；

(2)当q=5,cosA=25■时，Z?2+C2=2X52=50,2bc=———=茬~=31,

31cosA25_

31

所以(h+c)2=/?2+C2+2Z?C=50+31=81,解得b+c=9,

所以XABC的周长为a+h+c=5+9=14.

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证

明能力，是中档题.

23.(2022•新高考I)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知了A=

1+sinA

sin2B

l+cos2B

(i)若c=22L,求&

3

21人2

(2)求且士旦.的最小值.

2

c

【分析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出b

(2)利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论.

2

【解答】解：(1)：cosA=sin2E,I+COS2B=2COSB^0,cosB#0.

1+sinAl+cos2B

•cosA2sinBcosB-sinB

1+sinA2COS2BCOSB

化为：cosAcosB=siii4sinB+sinB,

cos(B+A)=sinB,

-cosC=sin8,C=2T,

3

.._1

••SlDDo",

2

JTJT

36

(2)由(1)可得：-cosC=sinB>0,...cosCVO,C6(—,n),

2

，C为钝角，B,A都为锐角，B=C--.

2

、，TT

sinA=sin(B+C)=sin(2C------)=-cos2C,

2

a^+b?_sin%+sin%_cosWc+cos2c_(l-2sin2c)2+(1-sir^C)_

―2-~27~27-~27-

csinCsinCsinC

.2士4且士工4,-5皂工：，=2+4$山2c-522{2><4-5=4衣-5,当且仅当sinC="-

sin2Csin2cV2

时取等号.

2.,2广

a:b的最小值为-5.

【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转

化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

24.(2021•全国)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃=2加，b=3,

sin2(B+C)+V2sin2A=0,求c及cosB.

【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式和三角函数的同角公式，求出cosA

=」，sinA=2①，再结合正弦定理，余弦定理，即可求解.

33

【解答］解：\'A+B+C^n,sin2(B+C)+Msin2A=0,

sin2A+2^sinAcosA=0,

VsinA^O,

sinA=-2%cosA，

JcosAVO,A为钝角，

又sin2A+cos2A=1,

/.cosA=_A,sinA="J/，,

33

由正弦定理可得，，—一即邛-一^,解得sinB=YL

sinAsinB卬2sinB3

3

又Vsin2B+cos2B=bB为锐角,

cosB=^-^-,

3

2222r~

a+cb

：.cosB=-,即24+f-9化简整理可得，c2,8c+i5=o,解得°=3或。

C°SD2ac4而c3

=5,

•・•ZA>ZC,

••cicf

；5>276,

；.c=3,

故c=3,COSB=Y^_.

3

【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

25.(2021•新高考H)在△ABC中，角4,B,C所对的边长为a,b,c,b^a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数m使得AABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说

明理由.

【分析】(1)根据已知条件，以及正弦定理，可得“=4,h=5,c=6,再结合余弦定理、

三角形面积公式，即可求解，(2)由c>b>a,可推得△4BC为钝角三角形时，角C必为

钝角，运用余弦定理可推得/-2a-3<0,再结合a>0,三角形的任意两边之和大于第三

边定理，即可求解.

【解答】解:(1)V2sinC=3sinA,

...根据正弦定理可得2c=3”，

••・力=。+1,C=Q+2.

.•・。=4,b=5,c=6,

2-2_242+52-6\1

在△ABC中,运用余弦定理可得cosC=2二殳二匚

2ab2X4X5

Vsin2C+cos2C=1,

22

二sinC=Vl-cosC=^l-(j)=^~,

•c1,.门1................377_1577

''SAABC^absinC=yX4X5X———

(2)'：c>b>a,

.,.△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角,

2-2

a+b-c2=a2+(a+l)之-(a+2)2

cosC='<0,

2ab2a(a+1)

(T-2a-3V0,

・・Z>0,

.'.0<6F<3,

•・,三角形的任意两边之和大于第三边,

a+b>c9即。+。+1>〃+2,即a>1,

：.l<a<3,

•.Z为正整数，

，。=2.

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综

合运用.

26.(2021•新高考I)记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知房=ac,点

D在边AC上，BDsinZABC^asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AO=2£>C,求cos/A8c.

【分析】(1)利用正弦定理求解；

(2)要能找到隐含条件：N8D4和/BOC互补，从而列出等式关系求解.

【解答】解:(1)证明：由正弦定理知,

sinZABC=sinZACB=2R

：.b=2RsinZABC,c=2Rsin/ACB,

•/f=ac,：.b•2RsinZABC=a*2RsinZACB,

即6sinNABC=asinC,

*.*BQsinNABC=〃sinC,

:・BD=b；

(2)法一：由⑴知

"：AD=2DC,."0=4，OC=Lb，

b2(fb)2-c2

222+

在△A3。中，由余弦定理知，cosZBDA=时二蛆一

2

2BD-AD2b-yb

o

13b2-9C2

12b2

b2+(yb)2-a2

BD2KD2-B，2

在△C8。中，由余弦定理知,cosZBDC=

~2BD-CD""-2bWb

o

10b2-9a2

6b2

ZBDA+ZBDC=n,

cosZBDA+cosZBDC=0,

即13b2-9C2J0b2-9a2=°,

12b26b2

得ll&2=3c2+6tz2,

・“2=g

3c2-11QC+6Q2=0,

，c=3a或c=—

3a

22222

在△ABC中，由余弦定理知，cos乙4BC=a+c-b=a+c-

2ac2ac

当c=3a时，cosZABC=—>1(舍)；

6

当。=三a时，cosZABC=^—；

312

综上所述，cos/ABC=」~.

12

法二：•.•点。在边AC上且AQ=2Z)C,

二丽2V瓦.而看而，而，

而由（1）知BD=b,

.212

•'b=^-bcpcosZABD-^7abpcosZCBD,

即3b=c*cosZABD+2a•cosZCBD,

2八212

b+c~-ba+b二bu

由余弦定理矢口：3b=c.------------------+2a■

2bc2ab

・・・11序=3。2+6〃2,

•:序=ac,

3c2-11。。+6。2=0,

n

••c=3ciB5CC=—公，

3

2上2,22上2

在△ABC中，由余弦定理知，cosN48C=a+c-b=a+c-ac,

2ac2ac

当c=3a时，cos/ABC=Z>l（:舍）；

6

当'=三&时，cosZABC=-^—；

312

综上所述，cosZABC--^—.

12

法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC=BOsin/BCC=6sin/Br>C,

而由题意可知ac=b2=>asinC=/>sinZABC.

于是sinZBDC^sinZABC,从而NBDC=NABC或NBOC+NABC=TT.

,2_

若NBDC=NABC,则△C8£>s/\CAB,于是CB?=1=a：b：c=l：V3：

3

3,

无法构成三角形，不合题意.

若N3£>C+/ABC=n,则NA£>8=AABC=^/\ABD^AACB,

于是AB?=八。・同。=/=2?—=〃：h：c=3：V6：2,满足题意,

3

因此由余弦定理可得cosZABC=^

2ac12

【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题.

27.(2022•新高考H)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c

为边长的三个正三角形的面积依次为Si,52,S3.已知Si-S2+S3=返，sinB=工.

(1)求△48C的面积；

(2)若sinAsinC=±Z,求氏

3

【分析】(1)根据Si-S2+S3=近，求得/-庐+/=2,由余弦定理求得M的值，根据S

=A^csinB,求△A3C面积.

2

(2)由正弦定理得，a=bsinA,c=bsinC(且如=2亚，求解即可.

sinBsinB

【解答】解：(1)Si=A«2sin60o=返〃,

2

52=—/?2sin60°=^3-b2,

2

53-Ac2sin600

2

VSi-S2+S3^^-a2-^-b2+J^-c2^J^-,

4442

解得：a2-Z?2+C2=2,

VsinB=A,a2-Z72+c2=2>0,即cosB>0,

3

/.cos3=?”、,

222

.cosB-a+c-b2V2

2ac3

解得：ac=3'&,

4

XABC的面积为近.

8

(2)由正弦定理得：_=_^

sinBsinAsinC

•“一bsinA^bsinC

sinBsinB

由(1)得ac=gN2,

4

・^—bsinA.bsinC3^2

sinBsinB4

已知，sinB=—,sinAsinC=^-^,

33

解得：b=工.

2

【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式.

©【二年自主招生练】

一.选择题(共8小题)

1.(2022•合肥自主招生)向量；=(-1,0),b=<1-0),c=(x,y),Ic-allc-ti

—4,则Id可能为()

A.1B.2C.3D.4

E.以上都不对

【分析】取A(-1,0),B(1,0),O(0,0),C(x,y),则向量之=丞=(-1,0),

b=(1，0),W=(x,y),设AC28C,则CB=4,OA=OB=1,由三角形中线长公式

得。(4不十工-)-1,由ACWBC+A8,得4(7《遥+1,由此能求出结果.

2AC2

【解答】解：在平面直角坐标系中，取A(-1,0),B(1,0),。(0,0),C(x,y),

则向量a=0A=（-1,0）,b=（1，0），c=（x，y），

设AC?8C,,••|c-allc-'3=4,：.CA-CB=4,

.\OA=OB=\,

由三角形中线长公式得:

“2=吟%-*,

.•."2=」（AC2+工-）-1,

2AC2

AC,BC,AB存在关系ACWBC+AB,

即ACW-^+2,；.ACWV^+1,

AC

由AC2BC,且AOBC=4,可得AC22,代入①中得:

.*.C>C26[3,5J,A6>CGlV3，V5J.

***1d可能为2.

故选：B.

【点评】本题考查平面向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.(2021•北京自主招生)在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点A,3满足|金|=

IOBI=OA,OB=2,则点集｛耳而=入丞+n赍，|入|+|山力，入，咋R｝所表示的区域的面积是

()

A.2V2B.2V3C.4&D.4y

【分析1由两定点A,8满足I丞|=|祈|=赢•祈=2,说明。，A,B三点构成边长为2的

等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标

用A,B的坐标及入，表示，把不等式囚+|川＜1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行

域可求点集P所表示区域的面积.

【解答】解：由两定点A,B满足|赢=|而=瓦•丽=2,AB=0B-0A.则1同2=(0B-

0A)2=|QB|2-2QA.0B+|0A|2=4,则|同=2,说明。，A,8三点构成边长为2的等

边三角形.

不妨设A（V3,-1）,B（V311）再设P（x,y）.

由0P=X0A+|A0B,得

（X,y）=（«入，-入）+（«林,9）=（我（X+H）,八人）.

二-Vs1

入+|1=烁*,解得,X=VxAf2y'c

所以

..V31

|1-X=y以『7

由I入l+MWl.

/

率x*》0<

763XV63