2022年湖南省长沙市浏阳第四中学高二数学文期末试题含解析

2022年湖南省长沙市浏阳第四中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（

）

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A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了4次，则第4次仍传回到甲的概率是

A. B.

C. D.

参考答案：A3.设直线x=t与函数，的图像分别交与点M、N，则当达到最小时t的值为

（

）

A.1

B.

C.

D.参考答案：C4.设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)

（

）A．必在圆x2＋y2＝2内

B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外

D．以上三种情形都有可能参考答案：A略5.若等差数列的前5项和，且，则(

)A．12

B．13C.14

D．15参考答案：B6.图2是某城市11月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择11月1日至11月13日中的某一天到达该城市,并停留2天.此人到达当日空气质量优良的概率为，此人在该城市停留期间只有1天空气重度污染的概率为，则、的值分别为（

）A.，B．，C．，D．，参考答案：C7.已知∈R，则下列正确的是A．

B．C.

D.参考答案：C8.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）A．k＞4

B．k＞5

C．k＞6

D．k＞7参考答案：A9.关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】空间中的点的坐标．【分析】由点P到坐标原点的距离求出①错误；由中点坐标公式得②正确；由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2，3），与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．【解答】解：由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：在①中，点P到坐标原点的距离为d==，故①错误；在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为（，1，），故②正确；在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．故选：A．10.已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c=2b，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：设焦距为2c，则有，解得b2=16，∴椭圆．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与曲线有两个公共点，则实数a的取值范围是_____．参考答案：【分析】由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.12.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为-________.

参考答案：略13.设，，则下列不等式中一定成立的是

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C14.命题“”的否定是

参考答案：略15.设(是两两不等的常数)，则的值是______________.参考答案：略16.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________________.参考答案：17.命题“若，则”的否命题为

．参考答案：若，则否命题即同时否定命题的条件和结论，据此可得：命题“若，则”的否命题是若，则.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（II）若AN的长不小于4米，试求矩形AMPN的面积的最小值以及取得最小值时的长度.参考答案：解：设，

∵，∴.∴.

……3分（I）由得.∵，∴，即.解得，即长的取值范围是.

…………6分（Ⅱ）由条件AN的长不小于4，所以.

…………………9分当且仅当，即时取得最小值，且最小值为24平方米．

…………………11分答：（略）

…………………12分略19.（12分）已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，﹣1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）由题意抛物线y2=2px过点A（1，1），所以p=，所以得抛物线的方程为y2=x；（2）证明：设过点P（3，﹣1）的直线l的方程为x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x得y2﹣my﹣m﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=m，y1y2=﹣m﹣3，所以k1?k2===﹣【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，垂足为，在上，且，是的中点.（1）求异面直线与所成的角的余弦值;（2）若是棱上一点，且，求的值.参考答案：

.…………12分

略21.如图，已知矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，设.（1）当时，求证：；（2）求的最大值.参考答案：（1）见解析（2）2【分析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，即得，得证；（2）由三角函数的定义可设，，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，.当时，，则，，∴.∴.（2）由三角函数的定义可设，则，，，从而，所以，因为，故当时，取得最大值2.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查向量垂直的坐标表示，考查平面向量的数量积运算和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平