结构动力学教案

结构动力学教案刘林超信阳师范学院土木工程学院信阳师范信阳师范学院教案用纸§1-1动力计算概述1．结构动力计算的特点静力荷载和动力荷载的区别静力荷载是指荷载的大小、方向、作用位置不随时间变化的荷载。（可以忽略惯性力的影响）静力荷载计算时考虑的是结构的静力平衡问题。动力荷载是指荷载的大小、方向、作用位置随时间迅速变化的荷载。（不能忽略惯性力的影响）。严格说，绝大多少荷载都应该属于动力荷载，但对于荷载虽然随时间变化，但变化十分缓慢，对结构产生的影响与静载十分接近，仍可以看作静载结构动力计算与静力计算的区别：动力荷载计算时要考虑惯性力的影响，利用达朗伯原理，在引进惯性力后建立平衡方程，是一种动平衡，考虑的是瞬时平衡，荷载内力、位移等都是时间的函数。动力计算的基本特点：（1）动力反应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化；（2）建立平衡方程时要包括质量的惯性力。2．动力荷载的分类（1）周期荷载(荷载随时间作周期性的变化)简谐荷载，如机器转动（2）冲击荷载第第一章结构的动力计算动力计算概述单自由度体系的自由振动教学要求：掌握动力计算的特点，掌握单自由度体系自由振动的计算教学要求：掌握动力计算的特点，掌握单自由度体系自由振动的计算重点难点：固有周期与频率，微分方程求解，阻尼的影响重点难点：固有周期与频率，微分方程求解，阻尼的影响教学方法：重点将结果的应用，结合工程教学方法：重点将结果的应用，结合工程教法提示教法提示求内力和位移加速度比较小：人群、雪载机器振动、地震作用、爆炸建筑、桥梁中的应用减震、隔振电机转动短时间内，荷载急剧增大或减小突加荷载信阳师范信阳师范学院教案用纸（3）随机荷载(非确定性荷载，事先未知)3．动力计算中体系的自由度一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的数目。动力计算要选去一个合理的计算简图。常用的简化计算方法：集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，把无限自由度转化为有限自由度梁相对电机质量很小水平力作用下刚架的侧向振动，将柱的质量转化为作用上下横梁处的集中质量，刚架的质量全部作用在横梁上，横梁上各点的水平位移认为相等教法提示教法提示地震作用风荷载与静力计算一样需要事先选取一个合理的计算简图需要确定运动过程中的自由度不考虑轴向变形无限自由度数信阳师范信阳师范学院教案用纸2个水平竖直3个1个(2)广义坐标法具有分布质量的简支梁是一个无限自由度的体系，简支梁的挠度曲线可以用三角函数来表示称为形状函数；为待定系数，称为广义坐标。形状函数确定后，梁的挠度曲线由无限多个广义坐标。。。等确定。实际计算中，只取前几项，如n项：转化为n个自由度。烟囱13-8边界条件：x=0,位移和转角为零挠度曲线(3)有限元法(提，不讲)教法提示教法提示质点数不等于自由度数信阳师范信阳师范学院教案用纸§1-2单自由度体系的自由振动1．单自由度体系自由振动微分方程的建立（1）刚度法由达朗伯原理(两个力，弹性力，惯性力)（2）柔度法设立柱的柔度为δ，即单位荷载作用下柱顶的水平位移。2．自由振动微分方程的解答式中，则通解为由初始条件，（可以其中一个为零）得：，则振动时由两部分组成，初始位移引起的和初始速度引起的教法提示教法提示很多实际问题可以简化为单自由度，是多自由度的基础无阻尼注意y方向弹簧刚度系数与立柱刚度系数相等质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时,作用在质点上的主动力,约束反力与质点的惯性力构成一平衡力系。信阳信阳学院教案用纸写成式中，a——振幅，最大位移；α——初相位3．结构的自振周期和自振频率周期：频率（工程频率）：（赫兹Hz）圆频率（角频率、频率）：结构自振周期和自振频率的性质自振周期与自振频率只与结构的刚度和质量有关，与外界的干扰因素无关。固有周期和固有频率。质量越大，周期越大，频率越小；刚度越大，周期越小，频率越大。（调整质量和刚度）例题1：图示为一等截面简支梁，截面EI=常数。在跨中有一个集中质量m。忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期和圆频率。解：，，教法提示教法提示初始位移引起的和初始速度引起的两个图的叠加振动一次所需时间单位时间内振动的次数2π秒内振动的次数Δst重力作为静荷载时所产生的位移工程中的应用信阳师范信阳师范学院教案用纸例题2：单层工业厂房横向排架尺寸及屋面（包括屋架）荷载如图所示，钢筋混凝土柱采用C20的砼，（E=2.55×104N/mm2,γ=25kN/m3)，试计算该结构的横向自振周期。解：振动质点的质量W取屋面重量与1/4柱重之和教法提示教法提示地震作用+1/2柱重V如何求？信阳师范信阳师范学院教案用纸例题3：图示为一等截面悬臂柱，截面面积为A，抗弯刚度为EI.柱顶有重物，重量为W。设柱本身质量忽略不计，试分别求水平振动和竖向振动的自振周期。解：（1）水平振动在柱顶W处，加一水平单位力求得（2）竖向振动在柱顶W处，加一竖向单位力求得教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸例题4：图示为一单层刚架，横梁的总质量为m，柱的质量可以忽略不计。求刚架的水平自振频率。解：（1）求刚架的水平侧移刚度系数k（2）自振频率例题5：一机器基础，机器与基础的总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数（即单位面积产生单位沉陷时所需施加的压力）为cz=0.6N/cm3，基础面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动的自振频率。解：（1）在基础底面积上总的抗压刚度系数k为k=czA=0.6×106N/m3×20m2=12×106N/m=12×103（2）自振频率教法提示教法提示一次超静定先用力法求弯矩再用图乘法求位移信阳师范信阳师范学院教案用纸例6：图示三种不同支承的工字梁，设EI相同。梁中有质量为m的质点，不计梁的自重，试比较三种梁的自振频率。解：，，，则例7：试确定图示梁的自由振动时的运动方程和自振频率，k为支座弹簧刚度。教法提示教法提示图乘法超静定需先求出未知力，画弯矩图，然后图乘求位移信阳师范信阳师范学院教案用纸解：确定体系的自由度。梁抗弯刚度，梁振动时绕支座B转动，为单自由度体系。设支座B处转角为，A点位移为，C点位移,D点位移由4．阻尼对自由振动的影响通常采用的是粘滞阻尼理论，即假定阻尼力与速度成正比，且方向与质点的速度方向相反。c称为阻尼常数建立动平衡方程：教法提示教法提示一般建筑结构左右信阳师范信阳师范学院教案用纸设并令（阻尼比）则特征方程为：其解为（1）ξ＜1的情况（低阻尼情况）令（低阻尼体系的自振圆频率）则由初始条件，得：，可写成式中，讨论：1）低阻尼的振动是一衰减运动；2）低阻尼对自振频率的影响因ξ＜1，ωr＜ω。一般建筑物ξ在0.01~0.1之间。当ξ＜0.2时，ωr/ω在0.96~1.0之间，ωr与ω很接近。因此，在ξ＜0.2时，阻尼对自振频率的影响不大，可以忽略。教法提示教法提示一般建筑结构左右信阳师范信阳师范学院教案用纸3）阻尼对振幅的影响振幅为，振幅随时间按对数规律衰减。经过一个周期后，相邻两个振幅之比为ξ值越大，振幅衰减越快。4）阻尼比的确定当ξ＜0.2时,，有，称为振幅的对数衰减率。相隔n各周期，有则测出两个振幅值yk和yk+n及相隔周期数n后，即可推算出ξ值。教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸（2）ξ=1的情况(临界阻尼)则由初始条件，得：，则体系从初始位移y0出发，逐渐回到静平衡位置而无振动发生。ξ=1时的阻尼常数c称为临界阻尼常数cr，阻尼比为（3）ξ＞1的情况（强阻尼情况）不讨论。例题6：图示排架，横梁EA=∞，横梁及柱的部分质量集中在横梁处，结构为单自由度体系。为进行振动实验，在横梁处加一水平力P，柱顶产生侧移y0=0.6cm，这时突然卸除荷载P，排架作自由振动。振动一周后，柱侧移为0.45cm。试求排架的阻尼比ξ及振动10周后，柱顶的振幅y10。解：（1）求ξ假设阻尼比ξ＜0.2，ωr≈ω，因此，教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸（2）求振动10周后的振幅y10教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸复习：单自由度体系的自由振动方程、解答、固有周期与固有频率，阻尼的影响。练习：已知：v0=10mm/s，E=2.45×104MPa，I=6.4×10-3m4，m=5t。求图示简直梁的最大动位移。解：最大动位移：最大竖向位移：单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动教学要求：掌握简谐荷载作用下的受迫振动、共振现象教学要求：掌握简谐荷载作用下的受迫振动、共振现象重点难点：重点难点：θ~ω的关系，杜哈梅积分教学方法：注意单位换算、结果的工程应用教学方法：注意单位换算、结果的工程应用教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸§1-3、单自由度体系的受迫振动1．微分方程的建立，2．简谐荷载作用下结构的动力反应（1）简谐荷载作用下方程的解答设体系承受简谐荷载，表达式为式中θ——简谐荷载的圆频率；F——荷载的最大值，也称为荷载的幅值。则设特解为则特解为则通解为教法提示教法提示简谐荷载信阳师范信阳师范学院教案用纸设初始条件，得：，振动是由两部分组成，第一部分是按自振频率ω的振动，第二部分是按荷载频率θ的振动。由于振动过程中存在阻尼力，按自振频率ω的振动将会逐渐消失，最后只剩下按荷载频率θ的振动。我们把两部分同时存在的阶段称为“过渡阶段”，而把后来只按荷载频率振动的阶段称为“平稳阶段”。（2）简谐荷载的动力系数只考虑纯强迫振动由于所以令——荷载幅值F作为静力荷载作用时，结构所产生的位移。则得最大位移（即振幅）为教法提示教法提示拌生振动纯强迫振动信阳师范信阳师范学院教案用纸动力系数动力系数β与频率比值θ/ω有关。结构在简谐荷载作用下无阻尼稳态振动的性质：1）θ/ω＜＜1（θ/ω→0）时，β→1。这时简谐荷载的数值变化很缓慢，动力作用不明显，接近于静力作用，可当作静荷载处理。2）0＜θ/ω＜1时，β随θ/ω的增大而增大，β＞1。3）θ/ω→1时，动力系数β→∞。共振。4）θ/ω＞1时，动力系数的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ/ω＞＞1时，。例题7：设有一简支钢梁，如图所时，已知：E=2.1×108kPa，I=11626cm4，Wz=726.7cm3。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n=400r/min。由于具有偏心，转动时产生的离心力P=20kN,离心力的竖向分力为Psinθt，忽略梁本身的质量，试求钢梁在上述竖向简谐荷载作用下受迫振动的动力系数和最大正应力。解：=1\*GB3①求简谐荷载的频率θ教法提示教法提示风载作用在低层建筑上但有阻尼存在推秋千解题思路：W=?信阳师范信阳师范学院教案用纸=2\*GB3②计算简支梁的自振频率ω=3\*GB3③计算动力系数β=4\*GB3④计算跨中截面的最大正应力例题8：同例题5，一机器基础，机器与基础的总重量W=60kN，基础面积A=20m2。机器运转时产生简谐荷载P0sinθt，P0=20kN，机器每分钟转400转。求机器连同基础作竖向振动时的振幅及地基最大压应力。解：由例题5得ω=44.27s-1，k=12×103kN/m（1）求简谐荷载的频率（2）计算动力系数教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸（3）计算基础作竖向振动时的振幅（4）计算地基最大压应力例题9：悬臂钢梁长2m，如图所示，弹性模量E=210GPa，工字形截面惯性矩I=4570×10-8m4，自由端装有发动机，其总重G=15kN，内部装有重量Q=2kN的不平衡旋转块，偏心距e=0.2m，每分钟转速n=860转，不计梁的自重及阻尼，确定梁在稳恒强迫振动中自由端的最大挠度及梁的最大弯距。教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸解：当发动机转动时，将产生离心力P。在离心力作用下，梁将产生强迫振动。旋转块的角速度：则刚度系数则从而最大动力位移梁自由端最大挠度和梁的最大弯距为例题10：已知B点处阻尼器的阻尼系数为c，刚性杆AD的质量忽略不计。试建立图示体系的强迫振动方程。教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸解：两质点于某时刻的位置均可以用AD杆的转角线性表示，仍属单自由度体系。两种方法：列位移法和列动力平衡方程。刚度法(列动力平衡方程)设刚性杆AD的转角以顺时针转动为正，在t时刻，体系受到的作用力有动荷载、惯性力和阻尼力，如图。由动平衡方程例11解：只需一个广义坐标，如AB杆的转角，在建立运动方程时需考虑的力干扰力、弹性支撑力、阻尼力和惯性力外，还需考虑竖杆所受的重力。例静力平衡方程时，对重力可仅考虑偏离静力平衡位置所产生的附加力矩，水平杆重力产生的附加力矩忽略不计。信阳师范信阳师范学院教案用纸3．一般荷载作用下结构的动力反应信阳师范信阳师范学院教案用纸（a），，，可略即体系在冲量作用后，开始作自由振动，则（b）（c）累加此式称为杜哈梅（J.M.C.Duhamel）积分若有初始位移和初始速度，则（1）突加荷载设初始位移和初始速度均为零则教法提示教法提示各微冲量在t时刻产生的位移累加信阳师范信阳师范学院教案用纸式中，，为静荷载P0作用下产生的静位移。(2)线性增加荷载杜哈梅积分：曲线——反应谱曲线。β介于1与2之间。教法提示教法提示加荷速度快慢相对于自振周期信阳师范信阳师范学院教案用纸§1-4．阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响这里，，奇次方程的通解为：设非奇次方程的特解为：由系数比较法得则非奇次方程的特解为：分为衰减振动和平稳振动两部分平稳振动可写成教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸式中则讨论：（1）阻尼比对动力系数的影响与频率比有关。1）在很小（即）和很大（即）时，对的影响不大，可以不考虑的影响。教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸时，可认为β→1，P(t)可作为静力荷载处理。时，可认为β→0，可认为质点接近于没有振动位移。2）在→1，即在附近，这时ξ对β的数值有很大的影响，由于阻尼的存在，使β峰值下降。在时，即共振的情形，动力系数可由下式计算：如果忽略阻尼的影响，即在上式中令ξ→0，则得出无阻尼体系共振时动力系数趋于无穷大的结论。一般在0.75<<1.3（习惯上称此区域为共振区）的范围内阻尼力大大减少受迫振动的位移，应考虑阻尼的影响。而在此范围以外，认为阻尼对β的影响很小，可按无阻尼的情形来计算。（2）阻尼比ξ对任一时刻的位移与动载P的相位差α的影响与频率比值有关。阻尼体系的位移比荷载P滞后一个相位角α。当0＜≤1时，0＜α＜π/2；当＞1时，π/2＜α＜π。1）→0（即）时，y与P同步。此时体系振动很慢，惯性力、阻尼力都很小，动载和弹性力平衡，弹性力和y方向相反，所以动载和y同步。2）当→1（即）时，α→90°，y与P相差接近90°。3）当→∞（即）时，α→180°，y与P方向相反。此时体系振动很快，惯性很大、弹性力和相对比较小，动载主要与惯性力平衡。而惯性力与位移是同相位的，因此荷载与位移的相位角相等。教法提示教法提示手推钢板尺推秋千信阳师范信阳师范学院教案用纸例题12：同例题8，已知W=60kN，P0=20kN，已求得θ=41.89s-1，ω=44.27s-1，k=12×103kN/m，现在考虑阻尼的影响，设阻尼比ξ=0.15，试计算在阻尼影响下机器连同基础作竖向振动时的振幅及地基最大压应力。解：（1）计算动力系数（因，共振区附近，可近似计算）（2）计算基础作竖向振动时的振幅（4）计算地基最大压应力比较例题8与例题12的结果，可以看出，在共振区附近，阻尼对动力系数、振幅及基底压应力均有相当大的影响。教法提示教法提示信阳师范信阳师范学院教案用纸5．有阻尼时的强迫振动有阻尼体系（当ξ<1时）承受一般动力荷载P(t)作用时，其反应也可以表示为杜哈梅积分，与无阻尼体系向时，推导方法也相似。首先，有阻尼时，大度由初速度v0(初始位移y0为零)所引起的振动为由于冲量S=mv0，故在初始时刻由冲量S引起的振动为其次，任意荷载P(t)的加载过程可看作由一系列瞬时冲量所组成。在由t=τ到t=τ+dτ的时段内荷载的微分冲量为dS=P(t)dτ，此微分冲量引起如下的动力反应：然后对上式进行积分，即得总反应如下：这就是开始处于静止状态的单自由度体系在任意荷载P(t)作用下所引起的有阻尼的强迫振动。如果还有初始位移y0，则总位移还应叠加上由初始位移y0引起的振动。有阻尼时的杜哈梅积分在计算地震作用的动力反应时有用。教法提示教法提示信阳师范学院教案用纸§1-5多自由度体系的自由振动教学要求：掌握两个自由度体系自由振动、在简谐荷载作用下的强迫振动。重点难点：教学方法：以一种方法为主（刚度法）先讨论最简单的情况，两自由度的情况，然后推广到n个自由度的情况一、两个自由度体系自由振动微分方程的建立刚度法基本思路是：取质量m1和m2为隔离体，根据达浪伯原理建立动力平衡方程。K1、K2是质量m1、m2与结构之间的相互作用力。如图，可得教法提示信阳师范学院教案用纸k11、k22、k12、k21是结构的刚度系数，物理意义如上图。由平衡方程，可得2．柔度法如图所示，为两个集中质量和的两个自由度体系。基本思路是：在自由振动的任一时刻t，质量m1、m2的位移、应等于在该时刻惯性力、共同作用下所产生的静力位移。教法提示信阳师范学院教案用纸根据叠加原理，列出方程如下：注意δ的物理意义。2．频率方程和自振频率(1)用刚度系数表示的频率方程和自振频率振动方程：在刚度法方程中，设其解答为以下形式：该式表示的运动有以下特点在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角，为位移的幅值；在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即这种结构位移形状始终保持不变的振动形式称为主振型或振型。位移代入刚度法方程，消去sin(ωt+α)，得有非零解，则上齐次方程组的系数行列式等于零，即得以刚度系数表示的频率方程：展开，可求出用刚度系数表示的频率的解答为：教法提示信阳师范学院教案用纸也可写成由于且，故分子根式中的值一定大于零。此外还有，，还有，这样不难判断出，ω2的两个值一定为正值。由此可得到圆频率的两个根：ω1和ω2。较小的ω1为第一圆频率或基本频率，ω2为第二圆频率。因此，两个自由度体系，有两个自振频率。较小的圆频率，用ω1表示，称为第一圆频率或基本频率。另一个圆频率ω2，则称为第二圆频率。频率的数目总是与自由度的数目相等。（2）用柔度系数表示频率方程和自振频率振动方程设方程的解为（a）式中Y1、Y2——质量m1、m2的位移振幅；ω——体系的自振圆频率；α——相位角（初相角）。则，惯性力为两个质量的惯性力幅值为教法提示信阳师范学院教案用纸带入方程，消去sin(ωt+α)，得上式说明位移幅值是惯性力幅值作用下产生的静力位移。上式各项再除以（-ω2），得方程组为了得到不全为零的解答，要求系数行列式为零，即上式称为频率方程，用它可求出频率ω。令，将上式展开整理后得教法提示信阳师范学院教案用纸解得这两个根都是实根，于是，可求得圆频率的两个值为例题13：图示简支梁，质量集中在m1和m2上，m1=m2=m，EI=常数，求自振频率。解：（1）计算结构的柔度系数作、图，由图乘法得（2）将柔度系数带入公式可得自振频率如下：教法提示信阳师范学院教案用纸例题14：图示为一两层刚架，柱高h，各柱EI=常数，设横梁EI=∞，质量集中在横梁上，且m1=m2=m，求刚架水平振动时动自振频率。解：用刚度法求解（1）计算结构的刚度系数利用平衡条件求得：（2）求自振圆频率将刚度系数带入公式教法提示信阳师范学院教案用纸令，则，，所以，有例15：图示两层刚架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，第一、二层的质量分别为m1、m2。层间位移刚度分别为k1、k2，即层间产生单位相对位移所施加的力。试求刚架的自振频率和主振型。教法提示信阳师范学院教案用纸解：结构的刚度系数为，，，代入得分两种情况讨论：1），时由此得两个频率为，由频率方程可以求出振幅的比，两个振型第一个主振型第二个主振型教法提示信阳师范学院教案用纸2）当，时由此得由频率方程可以求出振幅的比，两个振型主振型如n=90，，分析：当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。建筑结构中，这种因顶部质量和刚度突然变小，在振动中引起巨大反应的现象，有时称为鞭稍效应。二、n个自由度的情况这里考虑无阻尼的情况(1)刚度法取各质点为隔离体，质点mi所受的力包括惯性力和弹性力，其平衡方程为教法提示信阳师范学院教案用纸弹性力为质点与结构之间的相互作用，图b中是质点所受的力，图c中是结构所受的力，二者方向彼此相反。结构所受的力与结构位移之间满足，(i=1,2,,,n)为结构的刚度系数，即使质点j产生单位位移(其他个质点位移为零)时在质点i处所需要施加的力。可得自由振动微分方程为用矩阵表示为教法提示信阳师范学院教案用纸简写为分别为位移和加速度向量。，分别为质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵，在集中质量的体系中，为对称矩阵。设解答为如下形式这里为位移幅值向量，即代入，消去为了得到非零解，系数行列式为零即为多自由度体系的频率方程，展开为展开可以得到关于的n次代数方程，n为体系的自由度数，进而可以得到n个自振频率，把全部频率从小到大排列成的向量称为频率向量，最小的一个频率为基本频率或第一频率。教法提示信阳师范学院教案用纸令表示与频率相应的主振型向量代入，得令i=1，2，…n，可得n个向量方程，由此可以求出n个主振型向量，，…，。我们可以唯一地确定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅，为了使主振型也具有确定值，需要补充条件，这里得到的主振型称为标准化主振型。进行标准化的方法很多，一种做法是规定主振型中的某个元素为某个给定值，如规定第一个或最大一个元素等于1.例：求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形略去不计。第一、二、三层的层间刚度系数分别为。刚架得质量都集中在楼板上，第一、二、三层楼板处的质量分别为2m，m，m。解求自振频率刚度矩阵和质量矩阵分别为教法提示信阳师范学院教案用纸，因此，，求三根，，，，，(2)求振型主振型由求解，在标准化主振型中，规定第三个元素，代入，代入，保留后两方程，代入教法提示信阳师范学院教案用纸，代入，(2)柔度法有两种方法推导，一种是同两自由度直接用柔度法推导；一种是利用刚度法间接推导。由刚度法知用乘上式，令教法提示信阳师范学院教案用纸频率方程，展开由此得到关于的n次方程，求出个根，求出n个频率，最后求出与相应的主振型，将和代入，令求出n个向量方程，求出n个主振型，，…，。例题：用柔度法求解上个例题。设第一层的层间柔度系数为，即单位层间力引起的层间位移；则第二三层的层间柔度系数为，，。教法提示信阳师范学院教案用纸解：(1)求自振频率柔度矩阵，，频率方程，展开，，，三频率，，求主振型，由求代入得在标准化主振型中，令，保留前两个方程，，其他振型同。教法提示信阳师范学院教案用纸例题教法提示信阳师范学院教案用纸另外，可以利用对称性求解，学生自己计算。教法提示信阳师范学院教案用纸§1-6多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动1．刚度法仍以两自由度体系为例，在动荷载作用下的振动方程为与自由振动相比，这里多了荷载项。如果荷载是简谐荷载，即(a)则在平稳振动阶段，各质点也做简谐振动(b)(a)(b)代入，消去由此可得位移幅值，其中，将位移幅值回代到(b)得任一时刻的位移。教法提示信阳师范学院教案用纸与自由振动情况相比，行列式D具有相同的形式，只是D中的换成了D0中的。因此，如果何在频率与任一个自振频率重合，则D0=0，当D1，D2不全为零时，位移幅值无穷大，即产生共振现象。例题：设图示刚架在底层横梁上作用简谐荷载，试画出第一、二层横梁的振幅Y1，Y2与荷载频率的关系曲线。设m1=m2=m，k1=k2=k解：刚度系数，，荷载位移幅值为，，代入，，，令m1=m2=m，k1=k2=k，得教法提示信阳师范学院教案用纸，整理得与自由振动的特征频率，为方程的两个根，所以则下图为，与荷载频率参数之间的关系曲线。从图上可以看出当，时Y1，Y2无穷大，产生共振。教法提示信阳师范学院教案用纸另外，当时，，。这说明在图示结构上，附加以适当的m2，k2系统，可以消除m1的振动，这就是动力吸振器的原理，设计吸振器时，可先根据m2的许可振幅选择k2，再由确定m2的值。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。对于多自由度体系，振动方程为写成矩阵如果荷载是简谐荷载，即教法提示信阳师范学院教案用纸则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动代入振动方程，消去公因子，得上式系数矩阵行列式用D0表示，即如果由可得振幅，可得任意时刻t各质点的位移。如果则由自由振动的频率方程13-45可知，如，则，此时位移振幅无穷大。即当荷载频率与体系的自振频率中的任一个相等，就可能出现共振现象。对于具有n个自有度的体系来说，在n种情况下()都可能出现共振。2柔度法图示两自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时刻t，质点1，2的位移y1，y2，可以由体系在惯性力、和动荷载作用下的位移，通过叠加原理得教法提示信阳师范学院教案用纸为荷载幅值在质点1,2产生的静力位移，也可以写成设平稳阶段的解为代入消去，消去公因子，得由此可得位移幅值为，，D0与自由振动中的行列式D具有相同的形式，只是D中的换成了D0中的。当荷载频域与任一个自振频率相等时，则。当D1、D2不全为零时，位移幅值将趋于无穷大，出现共振。在求得位移幅值后，可得各质点位移和惯性力位移：惯性力：因为位移、惯性力和荷载同时达到幅值，动内力也在振幅位置达到幅值，动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值及动荷载幅值共同作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅值，可按下式求出式分别为质点1,2的惯性力幅值。分别为单位惯性力教法提示信阳师范学院教案用纸作用时，任一截面的弯矩值，MP为动荷载幅值静力作用下同一截面的弯矩值。例题：试求图示体系的动位移和动弯矩的幅值图。已知m1=m2=m，EI=常数，。解：作图，求出柔度系数和基本频率为，，则，作图，与图乘，得教法提示信阳师范学院教案用纸，计算D0，D1，D2，计算位移幅值计算惯性力计算质点1,2的动弯矩幅值体系所受动荷载及惯性力的幅值如图b，据此可求出反力及弯矩幅值，图d。计算质点1的位移和弯矩动力系数、教法提示信阳师范学院教案用纸由此可见，在两自由度体系中，同一点的位移和弯矩的动力系数是不同的，即没有统一的动力系数，这是与单自由度体系不同的。教法提示信阳师范学院教案用纸第二章结构的稳定计算在材料力学中已经对压杆的稳定问题作了初步讨论，这里将对杆件结构的各种稳定问题作进一步讨论。在结构设计中，应当对结构进行强度和稳定验算，其中强度验算是最基本的和必不可少的，而稳定验算则在某些情况下显得很重要。如：薄壁结构与厚壁结构相比，高强度材料的结构与低强度材料的结构相比，主要受压的结构与受拉的结构相比，前者比较容易失稳，因而稳定验算更重要。需要注意的是，结构稳定计算与强度计算的最大不同是计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行，其方法已属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。首先要从变形开始，计算方法则静力法和能量法并重，互为补充。结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。§2-1结构稳定问题概述结构构件荷载作用下将在某一位置保持平衡。从稳定的角度考察平衡问题，其存在3种平衡状态。1.稳定平衡状态如2.1(a)所示，体系处于某种平衡状态，由于受微小干扰而偏离其平衡位置，在干扰消除后，仍能恢复至初始平衡位置，保持原有形式的平衡，则原始的平衡状态称为稳定平衡状态。2.不稳定平衡状态如2.1(b)所示，撤除使体系偏离平衡位置的干扰后，体系不能恢复到原来的平衡状态，则原始的平衡状态称为不稳定平衡状态。3.随遇平衡状态如2.1(c)所示，体系在任何位置均可保持平衡，故称为随遇平衡状态。它可视为体系由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。图2.1在材料力学中已讨论过压杆稳定的问题，如2.示。当时，撤除干扰力后，压杆能够恢复到原直线平衡位置，此时压杆处于稳定平衡状态，如2.2(a)所示。当教法提示信阳师范学院教案用纸时，撤除干扰力后，压杆不能恢复到原来的平衡位置，而在任意微小的弯曲状态下维持平衡，如图2.2(b)所示，此时压杆处于随遇平衡状态。当时，撤除干扰力后，杆件无法回到原直线平衡位置，变形迅速增加，最后失去承载能力，此时压杆进入了不稳定平衡状态，如图2.2(c)所示。图2.2通常，结构随荷载的增大，其原始平衡状态由稳定平衡转为不稳定平衡，此过程称为结构失稳。由于结构丧失稳定时，变形迅速增大而具有突然性，常会给工程带来严重的后果，因此，结构设计除了需保证足够的强度和刚度外，还需保证结构具有必要的稳定性。根据结构失稳前后变形性质是否改变，结构失稳有两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。1.分支点失稳(第一类稳定问题)图2.3如2.3所示简支的完善体系或理想体系：杆轴线是理想的直线，没有初曲率，荷载FP是理想的中心受压荷载，没有偏心。随着压力FP逐渐增大的过程，我们考察压力FP与中点挠度之间的关系曲线，成为FP—曲线或平衡路径教法提示信阳师范学院教案用纸当，时，压杆只单纯受压，不发生弯曲变形，，压杆处于原始直线平衡状态，是稳定的，并且此时压杆只有一种直线平衡形式，图b中即FP—曲线的OAB，称为原始平衡路径(路径Ⅰ)。如果压杆收到轻微干扰或发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态，当时，原始平衡状态是稳定的，也就是说，在原始平衡路径Ⅰ上，A点所对应的平衡状态时稳定的，这时原始平衡形式是唯一的平衡形式。而当时，原始的平衡状态已转为不稳定平衡状态，此时压杆出现直线和弯曲两种平衡形式。显然，稳定平衡状态与不稳定平衡状态的分界点，就是平衡形式的分支点。分支点处出现了平衡的二重性，即原始平衡状态和新的平衡状态。与此相应，在图b也有两条不同的FP—曲线：原始平衡路径Ⅰ(由直线BC表示)和第二平衡路径Ⅱ(根据最大挠度理论，由曲线BD表示。如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD′)。进一步还可以看出，这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，而继续弯曲，知道图中D点对应的弯曲形式的平衡为止。因此，当时，原始平衡路径Ⅰ上，点C所对应的平衡状态是不稳定的。两条平衡路径Ⅰ和Ⅱ的交点B称为分支点，分支点B将原始平衡路径Ⅰ分为两段，前端OB上的点属于稳定平衡，后段BC上的点属于不稳定平衡。也就是说，在分支点B处，原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存，分支点处出现了平衡的二重性，即原始平衡状态和新的平衡状态，原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现了稳定性的转变具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳，或称为丧失第一类稳定性。分支点对应的荷载为临界荷载，其对应的状态为临界状态。除中心受压直杆外，丧失第一类稳定性的现象还可在其他结构中发生。例如，如图2.4(a)所示，承受静水压力作用的圆弧拱，当水压力q小于临界值时，它维持稳定的圆形平衡形式；而当达到时，原来的平衡形式就成为不稳定的，可能出现图中实线所示的平衡形式。如2.4(b)所示的承受集中荷载F的刚架，当时，仅处于轴向受压状态；当教法提示信阳师范学院教案用纸时，则可能出现如图中实线所示的平衡形式。如(c)所示Ⅰ字梁，当荷载未达到临界值时，它仅在腹板平面内弯曲；当荷载达到临界值时，梁将从腹板平面内偏离出来，发生斜弯曲和扭转。图2.42.极值点失稳(第二类稳定问题)例如，如.5(a)所示的两端铰支偏心受压杆，在开始承受压力时就产生侧向挠度，处于弯曲平衡状态。如2.4(b)所示为压杆的最大挠度随压力F的变化曲线，从图中可看出，曲线具有明显的极值点B。当时，随着F的增大，挠度不断增加，它们之间呈非线性关系，弯曲平衡状态是稳定的。当时，曲线开始向下弯曲，此时荷载不增加，而挠度仍继续增加，说明平衡状态是不稳定的。极值点处的荷载为临界荷载。具有这种特征的失稳形式称为极值点失稳，或称丧失第二类稳定性。第二类稳定问题较为复杂，本章只限于讨论在弹性范围内第一类稳定性问题。图2.5教法提示信阳师范学院教案用纸图2.5a、b分别为具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆，它们称为压杆的非完善体系。图2.5a、b中的非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。按照小挠度理论，其FP—曲线如图2.5c中的OA，在初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当FP接近中心压杆的欧拉临荷载时，挠度趋于无限大。如果按照大挠度理论，其FP—曲线由曲线OBC表示。其FP—曲线B曲线具有明显的极值点，B点为极值点，荷载达到极大值。当时，随着F的增大，挠度不断增加，它们之间呈非线性关系，弯曲平衡状态是稳定的。当时，曲线开始向下弯曲，此时荷载不增加，而挠度仍继续增加，说明平衡状态是不稳定的。即在极值点以前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的，在极值点以后的曲线BC，其相应的荷载值反而下降，平衡是不稳定的。在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。具有这种特征的失稳形式称为极值点失稳，或称丧失第二类稳定性。第二类稳定问题较为复杂，本章只限于讨论在弹性范围内第一类稳定性问题。极值点处相应的荷载为临界荷载。第二类稳定问题较为复杂，本章只限于讨论在弹性范围内第一类稳定性问题。一般来说，非完善体系的失稳形式是极值点失稳，其特征是平衡形式不出现分支现象，而FP—曲线具有极值点。但扁拱式结构失稳可能伴随有“跳跃”现象。§2-2两类稳定问题计算简例与动力计算中自由度的概念类似，在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需要的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。图2.6所示受压直杆分别为单自由度、两自由度和无限自由度。图2.6现以单自由度体系为例说明两类失稳问题的具体分析方法。先分析完善体系的分支点失稳问题，然后分析非完善体系的极值点失稳问题。先按大挠度理论得出精确结果，然后用小挠度理论得出近似结果。教法提示信阳师范学院教案用纸1．单自由度完善体系的分支点失稳图2.7a为一刚性压杆，承受中心压力FP，底端A为铰支座，顶端B有水平弹簧支撑，其刚度系数为k，这是一个单自由度完善体系。(1)按大挠度理论分析图2.7当杆AB处于竖直位置时，图a，显然体系能维持平衡，这种平衡形式就是原始平衡形式。现在考察图b所示的倾斜位置是否还存在新的平衡形式，写出平衡方程弹簧反力为，得第一个解，，即原始平衡状态。在图2.8的曲线由直线OAB表示，称为原始平衡路径Ⅰ。图2.8教法提示信阳师范学院教案用纸第二个解这是新的平衡形式。其中曲线为AC，即第二平衡路径Ⅱ。两个平衡路径的交点为A点，分支点对应的临界荷载为分支点A将原始平衡路径Ⅰ分为两段，前段OA上的点属于稳定平衡，后段AB上的点属于不稳定平衡。对于第二个平衡路径Ⅱ，当倾角增大时，荷载反而减小。路径Ⅱ上的点属于不稳定平衡。分支点A处的临界平衡状态也是不稳定的。对于这类具有不稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时要特别小心，一般应考虑初始缺陷(初曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。(2)按小挠度理论分析设，则简化为其中第一个解仍为。第二个解为。图2.9两条平衡路径ⅠⅡ如图2.9，其中路径Ⅱ简化为水平直线，因而路径Ⅱ教法提示信阳师范学院教案用纸上的点对应于随遇平衡状态。与大挠度理论的结果相比可以看出，小挠度理论能够得出临界荷载的正确结果，但未能反映当较大时平衡路径Ⅱ的下降趋势；而平衡路径Ⅱ对应于随遇平衡状态的结论，则是由于采用简化假定而带来的一种假象。2．单自由度非完善体系的极值点失稳图2.10考察图2.10所示的单自由度非完善体系，杆AB有初倾角，其余情况同前。(1)按大挠度理论分析加载开始，杆进一步倾斜，弹簧反力，平衡条件得对于不同的初始倾角(完善体系)，，，其曲线如图2.11a。曲线具有极值点，令相应的极值点荷载为教法提示信阳师范学院教案用纸图2.11曲线如图2.11b。可以看出，这个非完善体系的诗文形式是极值点失稳，临界荷载随初倾角而变，越大，越小。(2)按小挠度理论分析设，，则简化为，对于不同的初始倾角(完善体系)，，，其曲线如图2.12。各条曲线都以水平直线为水平渐进线，得到相同的临界荷载图2.12教法提示信阳师范学院教案用纸与大挠度理论结果相比，对于与非完善体系，小挠度理论未能得出随着的增大会逐渐减小的结论。几点认识：a、结构失稳存在两种基本形式，一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。b、分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。c、结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用观点看，小挠度也有其优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值，但应注意其局限性。以后只讨论完善体系分支点失稳问题，并根据小挠度理论求临界荷载。§2-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法结构稳定分析的中心问题在于确定临界荷载。确定临界荷载的方法有两类，一类是根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；另一类根据临界荷载的能量特征而提出的，称为能量法。图2.13图2.13的单自由度体系，AB为刚性压杆，底端A为弹性支承，转动刚度系数为k，用两种方法求解。1．静力法用静力法确定临界荷载，就是以结构达到临界状态时平衡的二重性为依据，应用静力平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载的最小值。静力法用于有限自由度时，须对心的弯曲平衡形式建立n个独立的平衡方程，它们是含有n个独立位移参数的齐次线性代数方程。根据临界状态静力特征，要求位移参数有非零解，所以应使方程组的系数行列式教法提示信阳师范学院教案用纸D=0，D=0即为稳定方程。系数中包含荷载P，从稳定方程中求出最小的根Pcr，得临界荷载。对于图2.13，AB杆处于竖直位置时是的平衡图a，是原始平衡形式。现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式图b。根据小挠度理论，由静力平衡条件可得 由于为微量，有，则式为弹簧支座反弯矩经整理有 这就是是以位移参数为未知量的齐次方程。显然，当时，对应原始平衡路径Ⅰ；非零解是新的平衡形式，对于新的平衡状态，参数有非零解，因此齐次方程中系数应为零。即或 上式即为结构失稳时外荷载所满足的稳定方程，也称为特征方程。由特征方程知，第二平衡路径Ⅱ为水平直线，由两条路径的交叉点得到分支点，分支点相应的荷载为临界荷载。由此特征方程求得临界荷载为【例2-1】试求如图2.14(b)所示结构的临界荷载。图2.14解：将如图2.14(a)所示结构简化为如图2.14(b)所示带有弹性约束的直杆稳定问题，其中B端弹性支承的刚度系数k等于柱CD使C端产生单位水平位移所需的力，即。设一新的平衡位置如图2.14(c)所示。由静力平衡条件得即 其特征方程为结构的临界荷载为【例2-2】试求如图2.15(a)所示结构的临界荷载。已知弹簧刚度为k。图2.15解：如(a)所示结构为两个自由度体系。设一个新的平衡位置如(b)所示，B点水平位移为，C点水平位移为，和为两个独立的位移参数。取整体为隔离体，由得取段为隔离体，由得教法提示信阳师范学院教案用纸经整理得由于临界状态和不全为零，则有展开上式，得特征方程解得取最小值为临界荷载，即

2．能量法能量法确定临界荷载是一种比较简便的方法，适用于较复杂的情况。如果结构沿轴线方向为变截面，则微分方程具有变系数而不能积分为有限形式；或边界条件较为复杂，使稳定方程为高阶行列式，不易展开或求解，都宜采用能量法。能量法按临界平衡状态的二重特点，以不同平衡形式的能量特征为依据计算临界荷载。常见和简便的方法是应用势能驻值原理建立能量形式表示的平衡条件，由此组成稳定方程，求解临界荷载。势能原理势能驻值原理和余能原理是与位移法和力法对应的两个基本的能量原理。如果把问题限定为弹性结构小位移的平衡问题(不包括弹性稳定问题)，则能量的驻值实际上是极小值，此时称为最小势能原理和最小余能原理，简称势能原理和余能原理。考虑结构的几个可能位移状态，结构在可能位移状态下的势能定义为两部分能量之和：教法提示信阳师范学院教案用纸其中，U是结构在可能位移状态下的应变能，在线性弹性情况下对于薄杆，可忽略剪切变形，因，则对于刚架，通常只考虑弯曲应变能，用挠度表示，则有UP是结构的荷载势能，即荷载FP在其相应的广义位移D上所作徐工总和的负值，即因此，结构的势能可用位移表示如下：势能驻值原理可表述如下：在位移满足几何条件的前提下，如果与位移相应的内力(即根据物理条件由此求得的内力)还满足静力条件，则该位移必使其势能EP为驻值；反之，在位移满足几个条件的前提下，如果位移使势能EP为驻值，则位移相应的内力比满足静力条件。如果结构的位移既满足几何条件，其相应的内力又满足静力条件，则此位移使结构的真实位移。因此，势能原理又可表述为：在所有可能位移中，真实位移使势能为驻值（可能极大、极小或者始终保持不变）；反之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。由此得到的驻值条件等价于平衡条件。但是，其平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种，要判别平衡状态究竟属于哪一种，就必须对总势能作进一步的研究（从严格的数学意义上说，也即是如果要研究结构变形状态是否稳定，不仅必须满足总势能的一阶变分为零，即总势能驻值的条件，而且还必须进一步考察总势教法提示信阳师范学院教案用纸能的二阶变分情况）。对于有限自由度体系，结构的位移和势能均为有限参数的函数。设有限独立参数为，则结构势能变分为由及的任意性，则有上式为的齐次线性方程组。由于不全为零，则此方程组系数行列式等于零，即得到结构特征方程，从而可确定临界荷载。与静力法计算临界荷载相比，仅是建立平衡方程的方法不同，而其他步骤相同。图2.16对于图2.16，把荷载FP看作重量，体系的势能EP为弹簧应变能U与势能UP之和，弹簧势能为教法提示信阳师范学院教案用纸荷载势能为为B点的竖向位移：体系的势能为应用驻值条件，得上式与静力法得到的结果一样。由此可见，能量法和静力法导出相同的方程。换句话说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。余下的步骤与静力法相同。归结起来，在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法是根据上述能量特征来求临界荷载。图2.17对EP的讨论：势能是位移的二次式，其关系是抛物线。如果，则关系曲线如图2.17a，当位移为任意非零值时，势函数恒为正值，即势能是正定的。当体系处于平衡状态时，势能为极小，因而原始平衡状态是稳定平衡状态。如果，则关系曲线如图2.17c，当位移为任意教法提示信阳师范学院教案用纸非零值时，势函数恒为负值，即势能是负定的。当体系处于平衡状态时，势能为极大，因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。如果，则关系曲线如图2.17b，当位移为任意非零值时，势函数恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这是的荷载称为临界荷载，即。这个结果与静力法所得的相同。因此临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过度到非正定，对于单自由度体系，则由正定过度到负定。例题：图示是一具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k，体系在D端有压力FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。图2.18解：(1)静力法设体系由原始平衡状态转到任意变形状态，图b。设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力为，A点和D点的支座反力，，变形状态的平衡条件教法提示信阳师范学院教案用纸如果系数行列式不等于零，即则零解为齐次方程的唯一解。也就是说，原始平衡形式是体系唯一平衡形式。如果数行列式等于零，即则除零解外，方程还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。这样平衡形式具有二重性，也就是体系处于临界状态的静力特征。方程即为稳定问题的特征方程，或稳定方程。展开得得其中最小的为临街临界荷载，即。将特征值回代到可以求出y1和y2的比值。这是y1和y2组成的向量称为特征向量。如果将代回，得相应的变形曲线如图a。代回，得，如图b。图a为与临界荷载对应的失稳变形形式。教法提示信阳师范学院教案用纸图2.19(2)能量法D点的水平位移为弹性支座的应变能荷载势能体系势能为应用势能驻值条件，得与静力法得到的相同。能量法求多自由度体系临界荷载的步骤如下：先写出势能表达式，建立势能驻值条件，然后够应用位移有非零条件，得出特征方程，求出荷载的特征值（）。最后在中选取最小值，得到临界荷载教法提示信阳师范学院教案用纸。将势能改写为如果，则势能正定，如果，则势能半正定(时)，，则势能是不定的，如果，则势能半负定(时)，如果，则势能负定的。可以看出，在具有两个自由度的体系中，势能随荷载而变化的情况比单自由度要复杂一些，但临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界荷载前后，势能由正定过渡到非正定。例题：试用能量法计算如图2.20(a)所示结构的临界荷载。解：如图2.20(a)所示为两自由度结构，假设新的平衡位置如图2.20(b)所示。弹簧的弹性势能为图2.20外力势能为教法提示信阳师范学院教案用纸结构总势能为由势能驻值原理，则得，得，得由不全为零，得其特征方程为特征方程的解为由此得结构的临界荷载为§2-4无限自由度体系的稳定——静力法前面讨论有限自由度体系时，均假设压杆为刚性的。实际结构中，压杆往往为弹性的，失稳时压杆为连续变化的曲线，所以体系是无限自由度体系。对于无限自由度体系，用静力法计算临界荷载的步骤与有限自由度体系相同。即先假设结构处于一个新的平衡形式(弯曲变形状态)，建立其平衡方程。此时平衡方程不是代数方程，而是微分方程。求解此微分方程得到失稳曲线的通解，然后利用边界条件得到与积分常数数目相同的齐次线性方程。令方程组的系数行列式等于零，即得到特征方程。此特征方程为超越方程，它具有无限多个根，即对应无穷多个特征荷载，其中最小值为临界荷载。如图2.21所示的等截面压杆，下端固定，上端有水平支杆，现采用静力法求其临界荷载。教法提示信阳师范学院教案用纸图2.21在临界状态，体系出现新的平衡形式，如图中虚线。柱顶有未知水平反力FR，弹性曲线的微分方程为改写成，方程的解为B和未知力FR由边界条件确定得由于y(x)不恒为零，所以B和未知力FR不全为零。系数行列式为零，得展开得利用试算法或图解法求解。采用图解法，画出函数和曲线，交点即为方程的根，有无穷多个特征荷载值，最小的一个即为临界荷载。教法提示信阳师范学院教案用纸图2.22，所以例题：计算图2.23所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。图2.23解：计算简图如图b。柱AB在B点具有弹性支座，它反映弹性柱CD对柱AB所起的支撑作用，弹性支座的刚度系数为。在临界状态下，杆AB的变形如图c，柱顶作用未知力FR，弹性曲线的微分方程为改写成，方程的解为B和未知力FR由边界条件确定得教法提示信阳师范学院教案用纸由，上式变为由于y(x)不恒为零，所以B和未知力FR不全为零。系数行列式为零，得(a)展开并考虑得为了求解超越方程，需事先给定k值。分三种情形讨论(1)，则，此时(a)变为当EI1为有限值时，，所以方程最小根为此时为悬臂柱的情况，计算长度(1)，则，此时(a)变为教法提示信阳师范学院教案用纸方程最小根为此时为上端铰支、下端固定的情况，计算长度（3)一般情况k在0～∞的范围，在范围变化。当时，此时(a)变为当取定值后，试算的值。试算情况如下：当时，；当时，；当时，；当时，方程最小根为当时，计算长度例题：图2.24所示体系的特征方程。图2.24教法提示信阳师范学院教案用纸解：假设一个新的平衡位置，并建立坐标系，如图。弹性曲线的微分方程为经整理有其中方程的一般解为由压杆的边界条件，当时，，求得。当时，，则有。再由在处变形连续条件：和，可得由和不全为零，其特征方程为整理得这个特征方程只有当给定和的比值才可求解。教法提示信阳师范学院教案用纸对于无限自由度体系的能量法：对于满足位移边界条件的任一可能位移状态，求出势能EP，由势能驻值条件，可得到包含待定参数的齐次方程组，为了求非零解，齐次方程的行列式系数为零，求出荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。以图2.25所示的压杆为例进行说明。图2.25设压杆有任意可能为位移y(x).弯曲应变能为再求出与FP相应的位移。先取微段AB进行分析，弯曲前AB的长度为，弯曲后弧线的长度不变，即，由图可知，微段两端点竖向位移差值因此荷载势能UP为体系的总势能为此时描述挠曲线函数需要无限多个独立参数，精确地应用势能驻值原理，需要变分计算，比较麻烦。为了计算方便，通常采用将无限自由度教法提示信阳师范学院教案用纸体系转化成有限自由度体系计算。具体的做法是，将挠曲线用有限个已知函数线性组合表示，一般形式为式中，为满足边界条件的已知函数；为未知参数。这样就可用有限自由度的情况计算临界荷载。所得到的结果为一个近似解。由此可得总势能为由势能驻值条件，即，（）得令，，写成矩阵或上式为n个未知参数的n个线性方程。参数不能全为零，系数行列式为零，即展开式关于的n次代数方程，可以求出n个根，其中最小的即为临界荷载。教法提示信阳师范学院教案用纸上面的方法有时称为里兹法。这里将无限自由度体系近似为n次自由度体系，所得临界荷载近似解为精确解的一个上限。解答的近似程度取决于所假设的挠曲线与真实挠曲线的接近程度。挠曲线函数仅取一项时，往往不能较好地近似真实挠曲线。为了提高解的精度，可取多项计算，一般取2～3项就能得到良好的结果。于假设的挠曲线相当于真实挠曲线中引入了附加约束。因此用这种方法求得的临界荷载的近似值，总比精确解大。为了方面，表2.1给出了几种直杆的挠曲线函数形式(见李廉昆教材)表2.1满足位移边界条件的常用挠曲线函数例题：图2.26所示两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。解：简支压杆的位移边界条件为：x=0，x=l时，y=0。在满足位移边界条件的情况下，选择3中不同的挠曲线形式进行分析讨论。(1)假设挠曲线为正弦曲线教法提示信阳师范学院教案用纸图2.26则因而压杆总势能为由，则有而，故有则有这与静力法所得的精确解相同。说明此正弦曲线正是简支压杆失稳时教法提示信阳师范学院教案用纸真实的挠曲线。（2)假设挠曲线为抛物线则有因而压杆总势能为由，得而，则有于是得此结果与精确解相比误差为21.6%。(3) 设压杆的挠曲线为满足位移边界条件的横向均布荷载作用引起的挠曲线函数为则因而压杆总势能为教法提示信阳师范学院教案用纸由，且，得该值与精确解相比误差为0.13%。讨论：例题：试用能量法计算如图2.27所示压杆的临界荷载。解：如示压杆的位移边界条件为：当，时，；当时，。设压杆挠曲线满足位移边界条件的函数为图2.27则此压杆的总势能为，由，，得教法提示信阳师范学院教案用纸由，不全为零，则特征方程为整理，得求出特征方程最小正根，即临界荷载为该值与精确解相比误差.6%。当仅取第一项时，临界荷载为，误差8.6%；当仅取第二项时，临界荷载为，误差为177%。显然随着自由度的增加，计算精度会显著提高。例题：图2.28所示一等截面柱，下端固定，上端自由。试求在均匀荷载作用下的临界荷载qcr。图2.28教法提示信阳师范学院教案用纸解：位移边界条件为：x=0，y=0；x=l，y′=0。假设挠度曲线为应变能求外力作的功。由于微段倾斜而使微段以上部分的荷载向下移动，下降距离由求出。这部分荷载所作的功为所有外力作的功为体系总势能由，得与精确解相比，误差为5.5%。教法提示信阳师范学院教案用纸习题练习题1：求图示刚架的特征方程。解：由于AB杆上端铰支，下端不能移动但可以转动，但转动受到BC杆的弹性约束，可以用一抗转弹簧来表示。抗转弹簧的刚度k1应由试结果其余部分即BC的B端发生单位转角时所需要的力矩来确定，如图C。可得。图v所示压杆失稳时，设下端转角为，相应的反力矩为，设上端反力为FS，由得压杆的挠曲线平衡微分方程为简化为其中，方程的解为教法提示信阳师范学院教案用纸B和由边界条件确定时，时，得B和不全为零，则展开得并考虑，得当k1值给定时，可以由超越方程求出的最小正根，求出临界荷载。特殊情况下，k1=0时，，即两端铰支的情况。，，即为一端固定一端铰支的情形。题2教法提示信阳师范学院教案用纸教法提示信阳师范学院教案用纸题3教法提示信阳师范学院教案用纸教法提示信阳师范学院教案用纸第3章结构的塑性分析与极限荷载§3-1概述前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。当结构的最大应力达到材料的极限应力时，结构将会破坏，故强度条件为式中，为结构的最大工作应力；为材料的许用应力；为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限，对于塑性材料为其屈服极限；K为安全系数。基于这种假定的结构分析称为弹性分析。从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为。结构的强度条件可表示为式中F为结构工作荷载，K为安全系数。显然，塑比弹际。塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。为了简化计算，对于所用的材料，常用如示的应力—应变曲线。当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比，即；当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加，如图中AB段所示；如果塑性流动达到C点后卸载，则应变的减小值与教法提示信阳师范学院教案用纸的减小值成正比，即，材料恢复弹性但存在残余变形。凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。图3.1可以看出，材料在加载和卸载时的情形不同：加载时时弹塑性的，卸载时时弹性的；在经历弹塑性变形后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应不同的应变值，同一个应变值可对应不同的应力值。§3-2极限弯矩、塑性铰和极限状态图3.2下面研究静定梁在弹塑性阶段的受力和变形特点，并介绍与极限荷载计算有关的一些基本概念。理想弹塑性材料的矩形截面梁，承受纯弯曲的作用如图3.2所示。随着荷载M逐渐增加，梁的变形可分为3个阶段：弹性阶段、弹塑性阶段和塑性阶段。实验表明，无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时的平面假定都是成立的，各阶段的变形过程如图3.3教法提示信阳师范学院教案用纸图3.3(1) 弹性阶段：这个阶段的标志是最外纤维处的应力达到屈服极限。当荷载较小时，截面上所有正应力都小于屈服极限，应力与应变呈线性关系，梁处于弹性阶段。这一阶段直至截面边缘处的正应力达到屈服极限为止(图3.3(b)。这时，截面上的弯矩称为弹性极限弯矩或屈服弯矩，记为，此梁屈服弯矩为(2) 弹塑性阶段：当荷载继续增加时，从边缘开始有一部分材料进入塑性流动状态，它们应力都保持的值。而截面中部的材料仍处于弹性状态(图3.3(c))，其应力分布为。(3) 塑性阶段：随着荷载的继续增加，塑性区域将由外向里扩展到整个截面，并且截面上所有正应力都达到屈服极限，其应力分布如(d)所示。此时，截面上的弯矩已达到结构所能承担的极限值，称为极限弯矩，记为。可见，对于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍。这表明对于矩形截面来说，按塑性计算比按弹性计算承载能力提高50%。在塑性阶段，截面的极限弯矩值保持不变，变形仍可继续发展，则两个无限靠近的相邻截面沿极限弯矩方向发生有限的相对转动，相当于在该截面处形成一个铰，这样的截面称为塑性铰。教法提示信阳师范学院教案用纸如果加载至弹塑性阶段或塑性流动阶段后再行减载，由于减载时应力增量与应变增量仍保持直线关系，截面仍恢复其弹性性质。由此可得塑性铰的一个重要性质，塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角；如果沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度不在具有铰的性质。因此塑性铰是单向铰。塑性铰与普通铰的差别在于：普通铰是双向的，铰的两侧截面可相对自由转动，而塑性铰是单向的，其两侧截面只能沿极限弯矩方向发生相对转动；普通铰不能传递弯矩，而塑性铰能传递极限弯矩；普通铰的位置是固定的，而塑性铰随卸载而消失或随荷载不同而变化。图3.4极限弯矩是一个截面所能承受的最大弯矩，与外力无关，仅与材料的物理性质及截面的几何形状和尺寸有关。截面的极限弯矩可根据该截面处于塑性流动状态时的正应力分布图形来确定。在弹性阶段，应力为直线分布，中性轴通过截面的形心，如图3.4b；在弹塑性阶段，中性轴的位置将随弯矩的大小而变化，如图3.4c。在塑性流动阶段，设其受压和受拉部分的面积为A1和A2，由于梁在荷载作用时轴力为零，则式中，A为梁的横截面面积。这表明受拉区和受压区的面积相等，即这时中性轴为等分截面轴。截面上受压部分上的合力与受拉部分上的合力数值相等，方向相反，构成一个力偶，该力偶矩就是该截面的极限弯矩，即有其中a1和a2分别为面积A1和A2的形心到等分截面轴的距离；S1和S2分别为A1和A2对该轴的静矩(图3.4(e))。教法提示信阳师范学院教案用纸若令Ws称为塑性截面系数，则极限弯矩为对于梁在横向荷载作用下的弯曲问题，材料仍假设为理想弹塑性材料，通常，剪力对梁的承载力的影响很小，可以忽略不计，因而前面讨论纯弯曲时导出的关于截面的屈服弯矩和极限弯矩的结果在横向弯曲中仍可采用。对于横向弯曲，在加载初期，各个截面的弯矩均不超过弹性极限弯矩，再继续加载，直到某个截面的弯矩首先达到时，弹性阶段宣告结束，此时的荷载称为弹性极限荷载。当荷载超过，在梁中形成塑性区。随着荷载的增大，塑性区逐渐扩大，最后在某截面处，弯矩首先达到极值，形成塑性铰。对静定梁来说，此时结构已经变为机构，挠度可以任意增大，承载力已无法增大。这种状态称为极限状态，此时的荷载称为极限荷载，以表示。静定结构无多余约束，只要出现一个塑性铰则成为破坏机构。塑性铰的位置可根据结构弹性弯矩图及各杆截面情况分析得到。对于各杆均为等截面的结构，塑性铰必出现在弯矩绝对值最大的截面，即处。对于各杆截面不同的结构，塑性铰出现在所受弯矩与极限弯矩之比绝对值最大的截面，即处。在塑性铰的位置确定后，令塑性铰处的弯矩等于极限弯矩，利用平衡条件即可求出结构的极限荷载。例题：设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用，如图3.5，试求极限荷载。图3.5教法提示信阳师范学院教案用纸解：该等截面梁的塑性铰将出现在弯矩值最大的截面上，即在跨中荷载F的作用处。该处出现塑性铰时，梁将成为破坏机构((b)，黑小圆点表示塑性铰)，此时该截面弯矩达到极限弯矩。根据静力平衡方程作出极限状态时的弯矩图，如图11.3(c)所示，由则求出极限荷载为上面利用静力平衡方程求得极限荷载的方法称为静力法(极限平衡法)。此外，还可以根据虚位移原理，由虚功方程(平衡条件的另一种形式)确定极限弯矩，即为机动法。设如.3(d)所示机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移，由虚位移原理，求出虚功方程为由虚位移的任意性，则有§3-3超静定梁的极限荷载在静定梁中，只要有一个界面出现塑性铰，梁就成为机构，从而丧失承载力以致破坏。超静定梁由于有多余联系，当出现一个塑性铰时，梁仍是几何不变的，并不会破坏，还能承受更大的荷载。只有相继出现更多的塑性铰而使梁变成几何可变或瞬变体系，即成为破坏机构时，才丧失承载力。以图3.6所示的超静定梁为例说明超静定梁由弹性阶段到弹塑性阶段，直到极限状态的过程。如(a)所示的一端固定一端铰支的等截面梁，跨中承受集中荷载FP的作用，当，时，由弹性分析的弯矩图(3.6b)可知，最大弯矩发生在固定端A处，当荷载增大到一定值时，截面A首先出现塑性铰，此时，梁已成为在A端作用极限弯矩，并且跨中承受荷载FP的简支梁。若继续增加荷载，A端弯矩不变，而跨中截面B的弯矩达到极限值，在该截面形成塑性铰。此时，梁已出现两个塑性铰，即梁丧失了承载教法提示信阳师范学院教案用纸图3.6能力(图3.6(e))。对于单跨超静定梁，如果能根据其受力情况和杆件截面特征，直接确定破坏机构的形式，就无需考虑结构的弹塑性变形的发展过程，而可直接采用3.3节所述的静力法(极限平衡法)或机动法求出梁的极限荷载。如图3.6(a)所示超静定梁的极