四川省大数据精准教学联盟高三下学期第一次统一监测试题数学（文）

四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测文科数学注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．PMI高于50%时，反映经济总体较上月扩张；低于50%，则反映经济总体较上月收缩．根据2022年6月至2023年9月PMI，绘制出如下折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于50B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第一季度各月的PMI的方差C．2023年第1季度各月经济总体较上月扩张D．2023年第3季度各月经济总体较上月扩张3．已知向量，若，则实数（）A． B． C． D．4．一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或兵乓球运动，其中37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为（）A． B． C． D．5．已知数列为正项等比数列，记前项和为，若，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．6．已知双曲线的渐近线方程为，则（）A． B．1 C． D．37．执行如图所示的程序框图，则输出值是（）A．9 B．99 C．100 D．9998．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．9．函数的图象大致是（）A． B．C． D．10．函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为．则下列结论正确的是（）A．必然为三角形 B．可以是四边形C．的周长没有最大值 D．的面积存在最大值12．已知函数．若，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为虚数单位，复数，则_______．14．已知等差数列的前项和为，且，则_______．15．如图，在矩形中，，点为线段的中点．沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为_______．16．已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，则当取最小值时，点的坐标为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：），得到如下的样本数据的频率分布直方图．图中成等差数列，公差为0.01．（1）求的值；（2）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗高度的中位数和平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗的高度位于区间的概率．18．（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若的角平分线交于，求的长．19．（12分）如图，在四棱锥中，，平面平面．（1）证明：平面；（2）已知，且，求点到平面的距离．20．（12分）已知函数．（1）若，求的最小值；（2）若有2个零点，证明：．21．（12分）已知定点，定直线，动点在曲线上．（1）设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；（2）设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，过点且倾斜角为45°的直线与轴相交于点，以点为圆心的圆半径为2．以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的一个参数方程和圆的极坐标方程；（2）设直线与圆相交于点，求的面积．23．[选修45：不等式选讲]（10分）已知．（1）求不等式的解集；（2）令的最小值为，若正数满足，证明：．四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测文科数学答案解析与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的交集运算等基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。【解析】集合，则．2．【答案】C【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。【解析】根据图表可知，共有10个月的PMI小于50，所以各月的PMI的中位数小于50，A错误；2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大，则方差也大，故B错误；2023年第1季度各月PMI均大于50，则各月经济总体较上月扩张，C正确；同理D错误．3．【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的代数运算和数量积运算，两个向量垂直等基础知识，考查数学运算等数学核心素养．【解析】由已知得，因，故，得．4．【答案】A【考查意图】本小题设置数学应用情境，以体育锻炼为背景，主要考查概率等基础知识，考查概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养。【解析】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有（名），故从该班随机抽取一名同学，该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为．5．【答案】D【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前项和与通项公式等基础知识，考查化归与转化、函数与方程等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】设数列的公比为，由得，解得（舍去），所以数列的通项公式为．6．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，考查数学运算等数学核心素养。【解析】该双曲线的渐近线方程为，则，可解得．7．【答案】B【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。【解析】易知程序框图的功能是求，由得，所以输出．8．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】依题意，；，且；．所以．9．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、逻辑推理等数学核心素养。【解析】依题意，，可知为偶函数，排除C，D；当时，，若时，，则时，，则，B不符题意，故选A．10．【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数的图象与性质等基础知识；考查数形结合思想，考查数学运算素养、逻辑推理等数学核心素养。【解析】函数图象向左平移个单位长度后，得的图象，由已知得，所以，所以，所以，因为，所以的最小值为3．11．【答案】D【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体及其截面的主要考查空间点、线、面位置关系等基础知识，主要考查直观想象、推理论证等数学核心素养。【解析】对于A，易知平面为平面或与其平行的平面，故只能为三角形或六边形，A，B均错误；对于C，当为三角形时，周长最大值为为六边形时，，设，则，周长为，故的周长的最大值为错误；对于D，很明显，当为六边形时，面积最大，该六边形可由两个等腰梯形构成，，两个等腰梯形的高分别为，则，当且仅当时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大．12．【答案】A【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。【解析】依题意，，可知时，单调递减，时，单调递增；又时，单调递减，时，，单调递增．因为，所以，可知，，且，所以，令，则，当，当，故时，取极大值，也即为最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。【解析】．14．【答案】26【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前n项和等基础知识；考查数学运算等数学核心素养。【解析】因为为等差数列，由可得，所以，则．15．【答案】【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】如图，取的中点，连接交于点．由翻折前后的不变性可知，；易知四边形为正方形，则．因此，当平面平面时，平面．由题意可知，．16．【答案】【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】如图，设，设与交于．根据圆的性质，有，且在中，，而，则，所以，当最小时，最小．而，当且仅当时，取得最小值，此时．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等数学核心素养。【解析】（1）因为是公差为0.01的等差数列，所以，解得．（2）因为高度位于区间的频率为，位于区间的频率为，所以，果苗高度的中位数是区间的中点，即为．由频率分布直方图得，该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：．（3）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：所以，估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6．18．（12分）【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】（1）解法一：由及正弦定理，可得．又，所以．又在中，，故，所以．解法二：由及余弦定理，可得．即，所以．故．（2）由（1）知．又所以．所以．说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点作的平行线交于点，则为等边三角形（边长为），于是，解得．19．（12分）【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。【解析】（1）因为平面平面，所以平面．又，所以，平面．（2）由（1）可知，平面，即平面平面．过作直线的垂线，垂足为，则平面．由已知，，则．显然，为直角三角形，则．易知，，所以．设点到平面的距离为，由，则，解得．20．（12分）【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，主要考查不等式、函数零点问题，考查函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。【解析】（1）当，函数．则，可知当时，单调递减；当时，单调递增．则当时，取得极小值，也即为最小值．所以的最小值为．（2）由已知，是的两个零点．则，两式相减，得，整理得．欲证明，只需证明不等式，即证明，也即证明．不妨设，令，则．只需证明，即证明即可．令，则．又令，则．所以，当时，，即单调递减，则．故当时，单调递增，则．所以，原不等式成立，故不等式得证．21．（12分）【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】（1）由题意，曲线的离心率．显然，，即．又因为，所以，故，即．（2）设点的坐标分别为．由题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为．联立方程组消