【二模】数学高考检测试卷含答案

数学高考冲刺测试卷学校________班级________姓名________成绩________时间：120分钟满分：150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）．A. B.C. D.或2.已知复数在复平面内对应的点分别为,,且为纯虚数,则实数（）A.6 B. C. D.-63.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角,现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是A. B. C. D.4.有一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究,表1为各个学段每个内容主题所包含的条目数.下图是将下表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图.由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是学段内容主题第一学段（1—3年级）第二学段（4—6年级）第三学段（7—9年级）合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A.除了“综合与实践”外,其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加,约是第二学段的3.5倍B.在所有内容领域中,“图形与几何”内容最多,占.“综合与实践”内容最少,约占C.第一、二学段“数与代数”内容最多,第三学段“图形与几何”内容最多D.“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”内容条目数,百分比都随学段的增长而增长5.若双曲线与圆的公共点和双曲线两个焦点构成正六边形,则C的离心率为A.2 B. C. D.6.已知,则（）A. B. C. D.7.已知函数,,的零点分别为,,,则,,的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问米几何？”如图是执行该计算过程一个程序框图,当输出的（单位：升）,则器中米应为（）

A.2升 B.3升 C.4升 D.6升10.某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为A.25 B. C. D.11.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E为A1B1的中点,下列说法中正确的是（）A.ED1与B1C所成的角大于60°B.点E到平面ABC1D1的距离为1C.三棱锥E﹣ABC1外接球的表面积为D.直线CE与平面ADB1所成的角为12.已知抛物线：的焦点为,过点分别作两条直线,,直线与抛物线交于、两点,直线与抛物线交于、两点,若与的斜率的平方和为1,则的最小值为（）A.16 B.20 C.24 D.32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若向量满足条件与共线,则的值为__________14.数学家斐波那契,以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、,在实际生活中,很多花朵（如梅花,飞燕草,万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：,,,若则__________15.某部门为实现对某山村的精准扶贫,利用该山村的特产水果建厂生产,两种饮品.生产1吨饮品,需1小时,获利900元；生产1吨饮品,需1小时,获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍,每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨,则该厂每天的最大获利为__________元．16.已知且满足1,则的最小值为_____.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21864题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.已知数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列前项和,且对任意恒成立,求的取值范围.18.如图,四边形是边长为的菱形,平面,平面,且,分别是的中点．（1）证明：平面平面；（2）若,求多面体的体积．19.高三数学考试中,一般有一道选做题,学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答,满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试,为了了解学生的作答情况,计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.（1）若采用系统抽样法抽样,从编号为000~999成绩中随机确定的编号为026,求样本中的最大编号.（2）若采用分层抽样法,按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层,已知该校共有600名考生选择了选修4-4,400名考生选择了选修4-5,在选取的样本中,选择选修4-4的平均得分为6分,方差为2,选择选修4-5的平均得分为5分,方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.20.已知椭圆：()的左､右焦点分别为,,离心率为,点是椭圆上一点,的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于,两点,且四边形为平行四边形,求证：的面积为定值.21.已知函数.（1）若不存在极值点,求的取值范围；（2）若,证明：.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分[选修4—4:坐标系与参数方程]22.据说,年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师,日久生情,彼此爱慕,其父国王知情后大怒,将笛卡尔流放回法国,并软禁公主,笛卡尔回法国后染上黑死病,连连给公主写信,死前最后一封信只有一个公式：国王不懂,将这封信交给了公主,公主用笛卡尔教她的坐标知识,画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意,登上了国王宝座后,派人去寻笛卡尔,其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名．在极坐标系中,方程表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中,已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与相交于、、三点,求线段的长.[选修4—5:不等式选讲]23.设函数f(x)＝|2x－a|,g(x)＝x＋2.(1)当a＝1时,求不等式f(x)＋f(－x)≤g(x)的解集；(2)求证：中至少有一个不小于

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）．A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】分别计算、,然后求并集【详解】解：=,故选：C【点睛】考查集合的并集运算；基础题.2.已知复数在复平面内对应的点分别为,,且为纯虚数,则实数（）A.6 B. C. D.-6【答案】A【解析】【分析】先利用复数几何意义求出复数,再利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义求解a即可.【详解】因为复数在复平面内对应的点分别为,,所以,故,因为为纯虚数,所以且解得,故选：A3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中较小的锐角,现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1,由,得此直角三角形另外两直角边长为,进而得小正方形的边长和大正方形的边长,由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1,则由直角三角形中较小的锐角,得此直角三角形另外直角边长为,斜边长,则小正方形的边长为,大正方形的边长为,设“飞镖落在阴影部分”为事件A,由几何概型中的面积型可得：,故选A．【点睛】本题考查几何概型中的面积型,解三角形、正方形面积公式属中档题．4.有一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究,表1为各个学段每个内容主题所包含的条目数.下图是将下表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图.由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是学段内容主题第一学段（1—3年级）第二学段（4—6年级）第三学段（7—9年级）合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A.除了“综合与实践”外,其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加,约是第二学段的3.5倍B.在所有内容领域中,“图形与几何”内容最多,占.“综合与实践”内容最少,约占C第一、二学段“数与代数”内容最多,第三学段“图形与几何”内容最多D.“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”内容条目数,百分比都随学段的增长而增长【答案】D【解析】【分析】利用表格计算条目数的有关数据,从等高条形看比例变化趋势,逐个选项进行判断即可.【详解】A：根据表格可知：除了“综合与实践”外,其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加,约是第二学段的倍,故本选项说法正确；B：根据表格可知：“图形与几何”内容最多,占,“综合与实践”内容最少,约占,故本选项说法正确；C：根据表格可知：第一、二学段“数与代数”内容分别是,数目最多,第三学段“图形与几何”内容为87,数目最多,故本选项说法正确；D：“数与代数”内容条目数在每一学段的内容条目数分别为：,“数与代数”内容条目数在每一学段的百分比分别为：,因此“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少这种说法正确；“图形与几何”内容条目数在每一学段的百分比分别为：,因此“图形与几何”内容条目数,百分比都随学段的增长而增长这种说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了分析图表能力,考查了数据分析能力,考查了数学运算能力.5.若双曲线与圆的公共点和双曲线两个焦点构成正六边形,则C的离心率为A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图像,利用题中条件解,由双曲线定义列方程,再利用双曲线离心率公式求解即可．【详解】根据题意作图,如下图,由构成正六边形可知：,,,由双曲线定义可知：,所以双曲线的离心率：,故选D【点睛】本题考查双曲线的定义,简单几何性质,圆的标准方程,考查转化思想,属于中档题．6.已知,则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由及得,这样只要对平方后可利用平方关系和二倍角公式求值．【详解】∵,,∴,,∴．故选A．【点睛】本题考查二倍角公式和平方关系,解题时需注意确定和的符号,否则不会得出正确的结论．7.已知函数,,的零点分别为,,,则,,的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用估算方法,将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键必要时结合图象进行分析．【详解】解：的零点必定小于零,的零点必位于内,函数的零点必定大于1．因此,这三个函数的零点依次增大,故．故选A．【点睛】本题考查函数零点的定义,函数零点就是相应方程的根,利用估算方法比较出各函数零点的大致位置,进而比较出各零点的大小．8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式,根据奇函数的定义可知函数为奇函数排除,再利用特殊值代入可排除,即可得到结果.【详解】因为,所以函数是奇函数,图象关于原点对称,故排除D;当时,,故排除A;当时,,故排除B,故选:C.【点睛】本题主要考查函数的图象,考查数形结合思想和逻辑推理能力,考查的核心素养是数学运算、直观想象,解决此类问题,主要从函数的定义域,值域,单调性以及奇偶性,等方面考虑,有时也用特殊值代入验证．9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图,当输出的（单位：升）,则器中米应为（）

A.2升 B.3升 C.4升 D.6升【答案】D【解析】【分析】模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,列方程求解．【详解】程序运行变量值变化如下：,满足,,；满足,,；满足,,；不满足,输出,∴,．故选：D．【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,模拟程序运行,观察变量值的变化是解题的常用方法．10.某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为A.25 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设∠CED＝θ；DE＝x,则∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ,在△BFE中利用正弦定理即可求出x与θ的关系式,即可得到x的最小值,即可解出面积的最小值．【详解】△ABC是直三角形,AB＝20m,AC＝10m,可得CB,△DEF是等边三角形,设∠CED＝θ；DE＝x,那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ,△BFE中由正弦定理,可得可得x,其中tanα；∴x；则△DEF面积S故选D【点睛】本题考查解三角形,合理设出参数,找到等式是解题的关键．属于中档题．11.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E为A1B1的中点,下列说法中正确的是（）A.ED1与B1C所成的角大于60°B.点E到平面ABC1D1的距离为1C.三棱锥E﹣ABC1的外接球的表面积为D.直线CE与平面ADB1所成的角为【答案】D【解析】【分析】利用平行线转移求异面直线成角的正切值,判断A错误；利用平行线上点到平面的距离相等求点到面距离,判断B错误；先判断三棱锥的外接球即四棱锥的外接球,再结合球中几何关系求球的半径,再求表面积,判断C错误；利用线面成角的定义求正弦值,判断D正确.【详解】对于A,取DC中点F,连接,则为ED1与B1C所成的角,因为,所以,故,即A错误；对于B,由平面知,到平面的距离等于到平面的距离,连接,交于,则平面,而,故到平面的距离为,即B错误；对于C,三棱锥的外接球即四棱锥的外接球.因为四边形是矩形,,四棱锥的高为,设四棱锥的外接球半径为R,则,解得.所以三棱锥的外接球的表面积为,即C错误；对于D,连接,取的中点H,连接,交EC于K,连接CH,HK,因为,所以是直线CE与平面ADB1所成的角,,故,在直角三角形中,,,,即D正确.故选：D.12.已知抛物线：的焦点为,过点分别作两条直线,,直线与抛物线交于、两点,直线与抛物线交于、两点,若与的斜率的平方和为1,则的最小值为（）A.16 B.20 C.24 D.32【答案】C【解析】【详解】易知直线,的斜率存在,且不为零,设,直线的方程为,联立方程,得,,同理直线与抛物线的交点满足,由抛物线定义可知,又（当且仅当时取等号）,的最小值为,故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若向量满足条件与共线,则的值为__________【答案】【解析】【分析】根据坐标表示出向量,然后根据向量共线的坐标表示列式求解.【详解】向量,,,所以,所以与共线,所以,解得.故答案为：14.数学家斐波那契,以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、,在实际生活中,很多花朵（如梅花,飞燕草,万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：,,,若则__________【答案】60【解析】【分析】利用化简得出,即可得出结果.【详解】由于,则,因此,.故答案为：60.15.某部门为实现对某山村的精准扶贫,利用该山村的特产水果建厂生产,两种饮品.生产1吨饮品,需1小时,获利900元；生产1吨饮品,需1小时,获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍,每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨,则该厂每天的最大获利为__________元．【答案】4400【解析】【详解】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为,目标函数为,则有,利用线性规划求解即可.详解：设每天两种饮品的生产数量分别为,目标函数为,则有,可行域为三直线三交点为组成的三角形,变形为,平移直线,当直线经过,即当时,直线在轴上的截距最大,最大获利,故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知且满足1,则的最小值为_____.【答案】ln2【解析】【分析】将,分别看成函数与上任意一点,问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题.【详解】因为,所以可将,分别看成函数与上任意一点,问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题,设是曲线的切点,因为故点M处的切斜的斜率,由题意可得,解得,也即当切线与已知直线平行时,此时切点到已知直线的距离最近,最近距离,也即.故答案为：ln2【点睛】本题考查导数的几何意义、两点间的距离公式、曲线的切线,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21864题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.已知数列的前项和为,且.（1）求数列通项公式；（2）设,数列的前项和,且对任意恒成立,求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）因为,所以,两式相减,整理得,令,求出,进而得解；（2）求出数列的通项公式,通过裂项相消法进行求和,将与0比较,判断出的单调性,求出的最值,从而得解.【详解】（1）因为①,所以②两式相减得,即,又当时,,解得,是以1为首项,2为公比的等比数列,.（2）,,又,所以单调递增,当时,,所以.【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式的应用、裂项相消法求和及确定数列中的最大（小）项,当数列出现前后项差的时候,可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.18.如图,四边形是边长为的菱形,平面,平面,且,分别是的中点．（1）证明：平面平面；（2）若,求多面体的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点,连接,利用三角形中位线性质可证得,,利用线面平行和面面平行的判定可证得结论；（2）取中点,将问题转化为多面体体积的求解,通过分割的方式进一步将问题转化为求解,根据线面垂直的性质与判定可证得即为三个四棱锥的高,由棱锥体积公式计算可得结果.【详解】（1）分别是的中点,,又平面,平面,平面；连接,交于点,连接,四边形为菱形,为中点,又为中点,,平面,平面,平面；又,平面,平面平面；（2）四边形为菱形,,,,,取中点,连接,为中点,平面,；四边形为菱形,,平面,平面,,平面,平面,分别为中点,,且,同理,,,平面,平面,平面,平面,又,平面平面,平面,且点到平面的距离,又为中点,为中点,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,即为,.即多面体的体积为.【点睛】思路点睛：立体几何中的求解体积问题通常采用两种思路来进行求解：（1）体积桥：将所求几何体体积进行等体积代换来进行求解；（2）割补：将几何体切割为几个部分或者补足为某个易求体积的几何体来进行求解.19.高三数学考试中,一般有一道选做题,学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答,满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试,为了了解学生的作答情况,计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.（1）若采用系统抽样法抽样,从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026,求样本中的最大编号.（2）若采用分层抽样法,按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层,已知该校共有600名考生选择了选修4-4,400名考生选择了选修4-5,在选取的样本中,选择选修4-4的平均得分为6分,方差为2,选择选修4-5的平均得分为5分,方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.【答案】（1）（2）估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6,方差为1.74【解析】【分析】（1）首先求得组距,再求得样本中的最大编号.（2）根据样本中选和选的平均得分和得分的方差列方程,由此计算出抽样的人的平均得分和得分的方差,进而估计出该校名考生选做题的平均得分和得分的方差.【详解】（1）组距为,所以最大编号为.（2）样本中选择选修4-4的考生有6人,4-5的考生有4人,所以得分平均数为,从选择选修4-4的考生中抽取6人,分别记为,,…,,从选择选修4-5的考生中抽取4人,分别记为,,,,则,由于,所以所以,同理可求得,所以样本得分的方差为.所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6,方差为1.74.【点睛】本小题主要考查系统抽样,考查分层抽样,考查平均数和方差的计算,考查运算求解能力,属于中档题.20.已知椭圆：()的左､右焦点分别为,,离心率为,点是椭圆上一点,的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于,两点,且四边形为平行四边形,求证：的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系求出点坐标,代入椭圆方程,再由弦长公式,点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值．【详解】（1）因为的周长为,所以,即.又离心率,解得,,.∴椭圆的方程为.（2）设,,,将代入消去并整理得,则,,,∵四边形为平行四边形,∴,得,将点坐标代入椭圆方程得,点到直线的距离为,,∴平行四边形的面积为.故平行四边形的面积为定值为.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查点线距公式和弦长公式,解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示,利用点在曲线上得出方程,代入平行四边形的面积公式,消去参数得出定值,考查学生计算能力,属于中档题．21.已知函数.（1）若不存在极值点,求的取值范围；（2）若,证明：.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【详解】试题分析：（1）设,则.①当,即时,,所以在上单调递增；又,,即,所以在上恰有一个零点,且当时,；当时,；所以在上单调递减,在上单调递增,所以是的极小值点,不合题意.（2）当,即时,令,得,当时,；当时,；即在上单调递减,在上单调递增.①当即时,恒成立,即在上单调递增,无极值点,符合题意.②当,即时,,所以,所以在上恰有一个零点,且当时,；当时,；即在上单调递减,在上单调递增,所以是的极小值点,不合题意.（2）因为,,所以,要证明,只需证明,当时,因为,所以成立；当时,设,则,设,则,因为,所以,所以在上单调递增,所以,即,所以上单调递增,所以,即,试题解析：（1）的定义域为,且,设,则.①当,即时,,所以在上单调递增；又,,即,所以在上恰有一个零点,且当时,；当时,；所以在上单调递减,在上单调递增,所以是的极小值点,不合题意.（2）当,即