2022年北京市顺义区高考数学一模试卷及答案解析

第第页2022年北京市顺义区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）在复平面内，复数2i1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣2，0}3．（4分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y=1x B．y＝2x C．y＝log2x D．y4．（4分）已知|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3A．-13 B．-15 C．5．（4分）在等差数列{an}中，a7﹣a3＝2，a4＝1，则a12＝（）A．5 B．4 C．3 D．26．（4分）已知x∈R，则“1x＜1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知过BD1的平面与正方体ABCD相交，分别交棱AA1，CC1于M，N．则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（）A．截面BMD1N可能是矩形 B．截面BMD1N可能是菱形 C．截面BMD1N可能是梯形 D．截面BMD1N不可能是正方形8．（4分）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点e，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，则称该直线为“单曲直线”．下列直线中，“单曲直线”是（）①y＝x+2；②x＝4；③y=3④y=1A．①② B．①③ C．②③ D．②④9．（4分）如图，△OB1A1，△A1B2A2是全等的等腰直角三角形，B1，B2为直角顶点，O，A1，A2三点共线．若点P1，P2分别是边A1B1，A2B2上的动点（不包含端点）．记m=OB1A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m，n大小不能确定10．（4分）为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛．现有四位选手进入到决赛．决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后统计总分．若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分．有下列结论：①总分第三名不超过9分；②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；③总分第四名不超过6分；④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名．其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11．（5分）函数f（x）=2-x+lg（x+1）的定义域为12．（5分）在(x2+1x13．（5分）将直线l：x﹣y+2＝0绕着点A（1，3）按逆时针方向旋转15°，得到直线l1.则l1的倾斜角为，l1的方程是．14．（5分）若实数a，b满足a＝b﹣1，则使得0＜ab＜2成立的一个a的值是．15．（5分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“出租车距离”．给出下列四个结论：①若点O（0，0），点A（1，2），则d（O，A）＝3；②到点O（0，0）的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A（1，2），点B是抛物线y2＝x上的动点，则d（A，B）的最小值是1；④若点A（1，2），点B是圆x2+y2＝1上的动点，则d（A，B）的最大值是3+2其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在线段AB上．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当点E是AB中点时，求A1D与平面D1EC所成角的大小．17．（14分）在△ABC中，a＝1，csinA=3（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断△ABC是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出△ABC的面积．条件①：cosAcosC=2条件②：b2﹣c2＝ac；条件③：a，b，c成等差数列．18．（14分）某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种．大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品．若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B．（Ⅰ）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；（Ⅱ）用ξ，η分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．19．（14分）已知函数f(x)=1（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥lnx．求实数a的取值范围．20．（15分）已知椭圆W：x2a2+y（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）点B在直线x＝4上，点B关于x轴的对称点为B1，直线AB，AB1分别交椭圆W于C，D两点（不同于A点）．求证：直线CD过定点．21．（14分）数列An：a1，a2，⋯，an（n≥2）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，⋯，n），称Tn＝a1•2n﹣1+a2•2n﹣2+a3•2n﹣3+⋯+an﹣1•21+an•20为数列An的指数和．（Ⅰ）若n＝3，求T3所有可能的取值；（Ⅱ）求证：Tn＜0的充分必要条件是a1＝﹣1；（Ⅲ）若T100＜0，求T100的所有可能取值之和．

2022年北京市顺义区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（4分）在复平面内，复数2i1-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=i对应点的坐标为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．（4分）集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣2，0}【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．3．（4分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y=1x B．y＝2x C．y＝log2x D．y【解答】解：y=1x在区间（0，1）上单调递减，y＝2x，y＝log2x为非奇非偶函数，不符合题意；y＝sinx为奇函数且在区间（0，1）上单调递增．故选：D．4．（4分）已知|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3A．-13 B．-15 C．【解答】解：根据题意，设向量a→，b→夹角为若|a→|＝|b→|＝1，且a→⊥（a→+3b→），则a→•（a→+3解可得cosθ=-1故选：A．5．（4分）在等差数列{an}中，a7﹣a3＝2，a4＝1，则a12＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：等差数列{an}中，a7﹣a3＝4d＝2，因为a4＝1，则a12＝a4+8d＝1+4＝5．故选：A．6．（4分）已知x∈R，则“1x＜1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由1x＜1可得：x＞1或所以“1x＜1”是“故选：B．7．（4分）已知过BD1的平面与正方体ABCD相交，分别交棱AA1，CC1于M，N．则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（）A．截面BMD1N可能是矩形 B．截面BMD1N可能是菱形 C．截面BMD1N可能是梯形 D．截面BMD1N不可能是正方形【解答】解：如图，当M在A1，N在C点时，截面BMD1N是矩形，故A正确；由平面BCC1B1∥平面ADD1A1，并且B、E、F、D1四点共面，可知MD1∥BN，同理可证ND1∥MB，故四边形BND1M一定是平行四边形，故C错误；若BND1M是正方形，则MD1⊥BM，这个与A1D1⊥BM矛盾，D正确；当点E和F分别是对应边的中点时，D1M＝MB，此时平行四边形BND1M是菱形，故B正确．故选：C．8．（4分）已知两点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点e，使得|PM|﹣|PN|＝8成立，则称该直线为“单曲直线”．下列直线中，“单曲直线”是（）①y＝x+2；②x＝4；③y=3④y=1A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】解：因为|PM|﹣|PN|＝8，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支，且2a＝8，c＝5，即a＝4，c＝5，所以b2＝c2﹣a2＝9，所以其标准方程为：x2对于①，联立y＝x+2和x216-y29所以Δ＝642﹣4×7×208＜0，所以①不是单曲直线；对于②，联立x＝4和x216-y2对于③，因为y=34x是x对于④，联立和x216-y29所以Δ＝162﹣4×5×（﹣160）＞0，所以④是单曲直线．故选：D．9．（4分）如图，△OB1A1，△A1B2A2是全等的等腰直角三角形，B1，B2为直角顶点，O，A1，A2三点共线．若点P1，P2分别是边A1B1，A2B2上的动点（不包含端点）．记m=OB1A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m，n大小不能确定【解答】解：如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系，不妨设腰长为1，则O（0，0），A1（2，0），A2（22，0），B1（22，22），B2（32直线A1B1的方程为y=2-x，所以设P1（x1，2-x1），其中x1∈（2直线A2B2的方程为y＝22-x，所以设P2（x2，22-x2），其中x2∈（32则m=OB1→⋅OP2→=（22，22）•（x2，2n=OB2→⋅OP1→=（322，22）•（x1，2-x1故m＜n，故选：B．10．（4分）为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛．现有四位选手进入到决赛．决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后统计总分．若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分．有下列结论：①总分第三名不超过9分；②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；③总分第四名不超过6分；④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名．其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④【解答】解：每个项目第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，即一个项目得分之和为4+3+2+1＝10分，四个项目总和得分为40分，∵总分第一名获得14分，总分第二名获得13分，∴第三名和第四名得分之和为40﹣14﹣13＝13分，则总分第四名不可能超过6分，故③正确，若第一名和第二名包揽前2名，则共得分4×（4+3）＝28分＞14+13，即第一名和第二名，不可能包揽前2名，则总分第一名和总分第二名只能是两人包揽4个第一名，3个第三名，一个第二名，故总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名，故④错误，①由于第三和第四名得分之和为13分，则第三名的总分可能超过9分，故①正确；②总分第一名获得14分，应该是4+4+4+2＝14，此时第二名得分应该是3+3+3+4＝13，或者第一名是4+4+3+3＝14，此时第二名是3+2+4+4＝13，得分情况如图：则总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；故②正确，故正确的是①②③，故选：C．二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11．（5分）函数f（x）=2-x+lg（x+1）的定义域为【解答】解：函数f（x）=2-x+lg（令2-x≥0x+1＞0解得﹣1＜x≤2；所以函数f（x）的定义域为（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．12．（5分）在(x2+1x【解答】解：（x2+1x）5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r（x2）5﹣r令10﹣3r＝1，解得r＝3，所以（x2+1x）5的展开式中，x的系数为故答案为：10．13．（5分）将直线l：x﹣y+2＝0绕着点A（1，3）按逆时针方向旋转15°，得到直线l1.则l1的倾斜角为60°，l1的方程是3x﹣y+3-3=【解答】解：直线l：x﹣y+2＝0的倾斜角为：45°，直线l：x﹣y+2＝0绕点A（1，3）按逆时针方向旋转15°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为60°，直线l1的斜率：3，所以直线l1的方程为y﹣3=3（x﹣1），整理得3x﹣y+3-故答案为：60°；3x﹣y+3-314．（5分）若实数a，b满足a＝b﹣1，则使得0＜ab＜2成立的一个a的值是12【解答】解：∵a＝b﹣1，∴b＝a+1，∴0＜ab＜2可化为0＜a（a+1）＜2，解得﹣2＜a＜﹣1或0＜a＜1，故a的值可以是12故答案为：1215．（5分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“出租车距离”．给出下列四个结论：①若点O（0，0），点A（1，2），则d（O，A）＝3；②到点O（0，0）的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A（1，2），点B是抛物线y2＝x上的动点，则d（A，B）的最小值是1；④若点A（1，2），点B是圆x2+y2＝1上的动点，则d（A，B）的最大值是3+2其中，所有正确结论的序号是①③④．【解答】解：对于①：若点O（0，0），点A（1，2），则d（O，A）＝|0﹣1|+|0﹣2|＝3，故①正确；对于②：设到点O（0，0）的“出租车距离”不超过1的点为（x，y），则|x|+|y|≤1，作出图象如图1所示，该图为对角线长为2的菱形，故面积为S=12×2×2=2对于③：设B（y2，y），则作出图2，直线AB∥y轴交y2＝x于D（1，1），直线AC∥x轴，交y2＝x于C（2，2），易知当B点落在曲线段BC上时，可取得d（A，B此时d（A，B）＝y2﹣1+2﹣y＝y2﹣y+1，y∈[1，2]，显然该函数在[1，2]上单调递增，故y＝1时，d（A，B）min＝1，故③正确；对于④：易知点A（1，2）在单位圆外，设B（cosθ，sinθ），故d（A，B）＝1﹣cosθ+2﹣sinθ＝3﹣（sinθ+cosθ）＝3-2sin(θ+π4)，显然当θ=5π4时，d（A，故答案为：①③④．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在线段AB上．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当点E是AB中点时，求A1D与平面D1EC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0）∴D1E→=（1，x，﹣1），A1D→=（﹣1，0，﹣1），∴D1E→（II）解：由（I）知EC→=（﹣1，1，0），设平面D1EC的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅EC→=0n→⋅E平面D1EC的一个法向量为n→设A1D与平面D1EC所成的角为θ，又A1所以sinθ=×所以θ=π所以A1D与平面D1EC所成角的大小为π317．（14分）在△ABC中，a＝1，csinA=3（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断△ABC是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出△ABC的面积．条件①：cosAcosC=2条件②：b2﹣c2＝ac；条件③：a，b，c成等差数列．【解答】解：（I）因为c⋅sinA=3由正弦定理asinA=csinC，可得asinC＝所以asinC=3即tanC=3又0＜C＜π，所以C=π（II）选择条件①：cosAcosC=2由（I）知，C=π所以cosA=2因为A∈（0，π），可得A=π所以B=5π12，此时△因为a＝1，所以c=asinC又因为sin所以S△ABC选择条件②：b2﹣c2＝ac，因为C=π由余弦定理可得cosπ又a＝1，所以可得b2﹣c2＝b﹣1，又由条件②：b2﹣c2＝ac可得b2﹣c2＝c，所以c＝b﹣1，又a＝1，所以可得b＝a+c，这与在△ABC中，a+c＞b矛盾故此时△ABC不存在；选择条件③：a，b，c成等差数列，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a+c，因为a＝1，所以2b＝1+c，又由余弦定理可得cosπ化简得b2﹣c2＝b﹣1，联立方程组2b=1+cb解得b＝1或b＝0（舍），又a=1，C=π所以△ABC为等边三角形，此时△ABC存在，所以S△ABC18．（14分）某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种．大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品．若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B．（Ⅰ）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；（Ⅱ）用ξ，η分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．【解答】解：（I）根据题意可知，这4个人中每个人去购买产品A的概率为13，每个人取购买产品B的概率为2设“这4个人中恰有i人去购买农产品A”为事件Ai（i＝0，1，2，3，4），则P（Ai）=C4i故这4个人中恰有1人购买农产品A的概率P（A1）=C（II）由题意可知，X的所有可能取值为0，3，4，P（X＝0）＝P（A0）+P（A4）=16P（X＝3）＝P（A1）+P（A3）=32P（X＝4）＝P（A2）=24故X的分布列为：X034P17402481故随机变量X的数学期望E（X）=0×1719．（14分）已知函数f(x)=1（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥lnx．求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝1时，f（x）=1求导可得，f'（x）=1f'（1）=12+所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，即12可设g(x)=1则g′(x)==(x-1)[ax-(2-a)]令g′（x）＞0可解得x＞讨论：（1）当2−aa≤1时，即a≥1时，g′（x）＞0在x所以g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，g（x）min＝g（1）＝a﹣1，又a≥1所以g（1）≥0恒成立，即a≥1时满足，（2）