考研数学三-244-真题(含答案与解析)-交互

考研数学三-244(总分150,做题时间90分钟)一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f'(0)=0，f"(x)≠0，并且在曲线y=f(x)上任意一点(x，f(x))(x≠0)作此曲线的切线，此切线在x轴上的截距为μ，则______．

A．

B．1

C．

D．2A

B

C

D

分值:4答案:D[考点]未定式极限与导数的几何意义．

[解析]根据导数的几何意义求切线方程，求出截距，再求未完成极限．

解：经过曲线上点(x，f(x))的切线斜率为y'=f'(x)，切线方程为Y=f(x)+f'(x)(X-x)，其中(X，Y)为切线上的动点．

由于f"(x)≠0且连续，则f"(0)≠0，不妨设f"(0)＞0，则存在0的邻域Uδ(0)，当x∈Uδ(0)时，f"(x)＞0，即f'(x)单调递增，又f'(0)=0，则当时，f'(0)≠0．

在切线方程Y=f(x)+f'(x)(X-x)中令Y=0，得x轴上的截距于是

由洛必达法则

所以

故应选D．2.

设f(x)在[0，1]上连续，f(1)≠0，在闭区间[0，1]上______．A.必定没有零点

B.有且仅有一个零点

C.至少有两个零点

D.有无零点无法确定A

B

C

D

分值:4答案:C[考点]罗尔中值定理的应用．

[解析]构造辅助函数，利用罗尔中值定理即可得结论．

解：易见，Φ(0)=0．不选A．

令则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且并且F(0)-F(1)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即可见，x=ξ∈(0，1)是Φ(x)的零点．

故应选C．3.

下列反常积分发散的是______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:B[考点]反常积分的敛散性．

[解析]可通过排除法排除错误选项．

解：选项A：

选项C：

选项D：

以上都收敛，故应选B．

事实上，

而，故发散．

故应选B．4.

设y=y(x)是微分方程满足初值y(1)=0的特解，则______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:B[考点]定积分的计算与一阶微分方程．

[解析]通过解一阶微分方程得到函数，再求定积分．

解：本题中的方程是齐次微分方程，令=μ，则y=xμ，故可得dy=xdμ+μdx，代入原方程化简得，分离变量得，两边同时积分得，即，则原方程的通解为

由y(1)=0得C=1．故特解为，整理化简得y(x)=(x2-1)．

所以，

故应选B．5.

设向量组α1，α2，…，αm和向量组β1，β2，…，βt的秩相同，则正确结论的个数是______．

①两向量组等价．

②两向量组不等价．

③若t=m，则两向量组等价．

④若两向量组等价，则t=m．

⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt线性表示，则两向量组等价．

⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm线性表示，则两向量组等价．**

**

**

**A

B

C

D

分值:4答案:D[考点]向量组的等价．

[解析]利用向量组等价的定义和常用结论．

解：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立．

反例：向量组(Ⅰ)只含一个向量，

向量组(Ⅱ)只含一个向量．

则显然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均为1，但不等价．若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故⑤、⑥正确．

故应选D．6.

α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:C[考点]非齐次线性方程组解的结构．

[解析]根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．

解：根据线性方程组解的性质，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为r(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为α1+k(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+k(2，3，4，5)T，k∈R

即C正确．

对于其他几个选项，A中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，

B中(0，1，2，3)T=α2+α3，

D中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，

都不是Ax=b的导出组的解．所以A、B、D均不正确．

故应选C．

本题常见错误是未能准确求出Ax=0的基础解系，主要原因是错将α2+α3当作Ax=b的解，从而导致错误．7.

设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然______．A.不独立

B.独立

C.相关系数不为零

D.相关系数为零A

B

C

D

分值:4答案:D[考点]考查不相关．

[解析]利用协方差与相关系数的公式得出结论．

解：Cov(U，V)=Cov(X-Y，X+Y)

=Cov(X，X)+Cov(X，Y)-Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)

=D(X)-D(Y)=0．

所以ρXY=0．

故应选D．8.

设X1，X2，X3，X4为来自总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为______．**(0，2)

**(2)

C.χ2(2)

**(2，2)A

B

C

D

分值:4答案:B[考点]考查抽样分布判断．

[解析]利用t分布定义得到结论．

解：因为X1～N(0，σ2)，所以X1-X2～N(0，2σ2)，即

而，由t分布定义可知：

故应选B．二、填空题1.

设则f[f(x)]=______．

分值:4答案:[考点]分段函数的复合．

[解析]根据分段函数的复合运算即可得结果．

解：由f(x)的表达式，有

故应填2.

=______．

分值:4答案:[考点]未定式的极限．

[解析]首先将“1∞”型未定式指数化，再求指数上的极限即可得．

解：根据sinx的周期性知

从而

而

所以

故应填．3.

设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足，则dz=______．

分值:4答案:(2x-y)dx-xdy[考点]多元函数的全微分．

[解析]先求函数f(x，y)表达式，再求其全微分．

解：令xy=μ，，则，y2=μv，于是有

所以，f(x，y)=x2-xy．故dz=(2x-y)dx-xdy．

故应填(2x-y)dx-xdy．4.

设f(μ)为连续函数，且=______．

分值:4答案:[考点]变限积分方程与定积分．

[解析]利用换元积分法化简变限积分方程，两端对z求导即得积分结果．

解：令2x-t=μ，则

原方程化为

两边对x求导得

令x=1，得，而f(1)=1，所以

故应填．5.

设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则|A|的代数余子式A11+A22+A33=______．

分值:4答案:1[考点]代数余子式，属难点题型．

[解析]注意到A11+A22+A33恰为伴随矩阵A*的主对角线元素之和，即A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出A*的特征值即可．

解：因为A-1的特征值为1，2，3，所以|A-1|=1×2×3=6，从而

又因为，所以

故A*的特征值为

所以

故应填1．

本题常见错误有二．一是没能应用结论：方阵的迹等于特征值之和，从而不能找到正确的解题思路；二是有关伴随矩阵的定义和公式不够熟练，导致错误．6.

设A和B独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则=______．

分值:4答案:[考点]考查随机事件的概率．

[解析]利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果．

解：

故应填．三、解答题1.

求极限

分值:10答案:

解法一：

又因为，则cos(sinx)-cosx=

所以，

解法二：[考点]未定式的极限．

[解析]本题可以利用洛必达法则计算，但计算过于烦琐，不容易求出答案且易出错，因此，应该想到利用泰勒展开的方法求极限．

在解法一中，当x→0时，需用到无穷小的运算法则：

①k·o(xn)=0(xn)；

②xn·o(xm)=o(n+m)；

③o(xn)±o(xn)=o(xn)．

有些同学在展开式整理中常出现问题．在解法二中，若在第二个等号后继续用洛必达法则，则运算过于烦琐，有些同学往往出现符号错误或求导不彻底的错误．2.

就常数a的不同取值情况，讨论方程xe-x=a(a＞0)的实根．

分值:10答案:

解：令f(x)=xe-x-a，则f'(x)=(1-x)e-x，f"(x)=(x-2)e-x．

令f'(x)=0，得驻点x=1．

由于当x∈(-∞，1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)单调增加，

当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内单调减少，

所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e-1-a．

则①当e-1-a＜0时，即时，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a无实根．

②当e-1-a=0，即时，只有f(1)=0，而当x≠1时，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一个实根x=1．

③当e-1-a＞0，即时，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)内单调增加，则f(x)=0在(-∞，1)内只有一个实根．

又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)内单调递减，则f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．

所以方程xe-x=a正好有两个实根．[考点]方程的根与导数的应用．

[解析]先确定函数的极值(或最值)，然后利用函数的几何性态讨论确定方程根的个数情况．3.

设

求(x，y)dxdy,其中D={(x，y)|x2+y2≤2y}．

分值:10答案:

解：设D1={(x，y)|1≤x2+y2≤2y且x≥0}，如下图所示，则

当x≥0时，由

令x=rcosθ，y=rsinθ引入极坐标系(r，θ)，则点M的极坐标为，

从而，在极坐标系下

故

[考点]二重积分．

[解析]首先画出D的示意图，根据D的形态并结合f(x，y)的表达式选择坐标系，进而化为二次积分，即可求得结果．4.

讨论函数在点(0，0)处

(Ⅰ)是否连续．

(Ⅱ)偏导数是否存在．

(Ⅲ)是否可微．

(Ⅳ)偏导数是否连续．

分值:10答案:

解：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，|f(x，y)|≤x2+y2，故f(x，y)=0=f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续．

(Ⅱ)在(0，0)处，

即f(x，y)在(0，0)处关于x的偏导数存在，且(0，0)=0．

同理，(0，0)也存在，且(0，0)=0．

(Ⅲ)由(2)知，(0，0)=(0，0)=0，

函数在(0，0)处的全增量：

其中故

因为，所以

故函数f(x，y)在(0，0)处可微，且

(Ⅳ)当(x，y)≠(0，0)时

由于

而

(只要取y=x即可说明，上述两极限均为不存在)

故均不存在

所以在(0，0)处都不连续．[考点]多元函数的连续、偏导数、可微的定义．

[解析]按照题目要求，逐个根据定义判定即可．5.

设有级数

(Ⅰ)求此级数的收敛域．

(Ⅱ)证明此级数的和函数y(x)满足微分方程y"-y=-1．

(Ⅲ)求微分方程y"=-1的通解，并由此确定该级数的和函数y(x)．

分值:10答案:

解：(Ⅰ)对于任意x，有

所以收敛域为(-∞，+∞)．

(Ⅱ)应用幂级数和函数的性质证明：

则

于是有

即y(x)满足微分方程y"-y=-1．

(Ⅲ)y"-y=0的特征方程r2-1=0的特征根为r=±1，于是对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-x，又特解为y*=1，故y"-y=-1的通解为y=C1ex+C2e-x+1．

又幂级数的和函数y(x)满足y"(x)-y(x)=-1，且y(0)=2，y'(0)=0，则y(x)即为微分方程y"-y=-1满足初值条件y|x=0=2，y'|x=0=0的特解，即

所以和函数[考点]幂级数的收敛域及和函数、二阶线性微分方程．

[解析]先求收敛域，进而利用幂级数的性质推导出微分方程，最后通过微分方程求解求得和函数．6.

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．

Bx=0的基础解系为β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T．

若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．

分值:11答案:

解：设非零公共解为γ，则γ既可由α1和α2线性表示，也可由β1和β2线性表示．

设γ=x1α1+x2α2=-x3β1-x4β2，则x1β1+x2β2+x3β3+x4β2=0．

γ≠0x1，x2，x3，x4不全为零r(α1，α2，β1，β2)＜4a=0．

当a=0时，

解得

则x1=2t，x2=-t，x3=-t，x4=t．

所以非零公共解为2tα1-tα2=t(1，4，1，1)T，其中t为非零常数．[考点]方程组的公共解．

[解析]设出公共解，进而转化为线性方程组的解．

本题主要错误在于没出公共解，却未能转化为齐次线性方程组的求解．7.

已知矩阵相似，求a，b及可逆矩阵P，使P-1AP=B．

分值:11答案:

解：因为A，B相似，所以|A|=|B|，且tr(A)=tr(B)，

故A的两个特征值为：-1，-1．

因此r(-E-A)=1，所以不能对角化．

设，满足P-1AP=B，即有AP=PB，从而

整理得

解得

所以可令则有P-1AP=B．[考点]求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

[解析]经验证，A不能相似对角化，故使用待定系数法求P．

本题最常见错误即认为P-1AP就是将A相似对角化．事实上，由|λE-A|=0，解得λ=-1，是A的二重特征值，但，故A只有一个线性无关的特征向量，即A不能相似对角化．8.

设随机变量X和Y的联合分布在以点