募函数、指数函数、对数函数2

第六章募函数、指数函数、对数函数

第6.3.2节对数函数性质与应用

教材分析

教材是以具体问题为背景，是从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，进

而建立了对数函数的概念，为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数的性质提供了方便.这

种围绕核心问题，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反

思''的顺序，不断通过对问题串的探究学习，引导学生从不同的角度，用自相似的研究方式，对核心

问题进行多重研究.在体现基本初等函数工具性作用时，突出了理性分析和严格的推理过程.达到

培养创新思维和理性思维的目的.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及a数学抽象：对数型复合函数单调性的判定方法.

单调性的判定方法.b逻辑推理：对数型复合函数奇偶性的判定.

2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.c数学运算：求对数型复合函数的参数的取值范围、对

3.会解简单的对数不等式.数型不等式的解法.

教学重难点

1.教学重点：对数型复合函数奇偶性的判定.

2.教学难点：对数型复合函数单调区间的求法.

课前准备

1.已知a=logo.60.5,6=ln0.5,c=0.605,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

答案B

解析：丫二心8。"在(0,+co)上为减函数，

/.logo.60.6<logo,60.5,即a>l.

同理，ln0.5<lnl=0,即*0.

V0<0.6°-5<0.6°,即0<c<l,

a>c>b.

2.已知集合4=0丁=地(2—x)+lg尤},B={y\y=2x,尤>0},R是实数集，贝U(CR8)nA等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.(-00,0]D.以上都不对

答案B

［2-x>0,

解析由八得0<x<2,

卜>0,

故4={邓）<%<2},由尤>0,得2工>1,

故”{%>1},CRB={J|J<1}；

则（CRB）ru={x|o〈启1}.

3.设/（x）=lgx,若7（1—4）—八°）>0,则实数。的取值范围为.

答案（。，0

解析因为人1—/a）,/（x）=lgx单调递增，

1—a>a,

所以<1—'“乂），解得0<。«,

、。>0,

即实数。的取值范围为

4.函数於）=log乔声?>0,且存1）,共2）=3,则八一2）的值为

答案一3

3—x

解析：立一>0，，一3<x<3,

3十无

••/x）的定义域关于原点对称.

3-Hx3—x

"•'/—X）=log宇G=.log可同=-fix），

函数/（X）为奇函数，

.•优—2）=一六2）=—3.

教学过程

类型一对数型复合函数的单调性

命题角度1求单调区间

例1求函数y=log］（l—忖）的单调区间.

2

解令1一|尤|>0,即|尤|<1.

解得J=logl（l-|x|）的定义域为（一1,1）.

110§11+x—l<x<0,

y=log］（l-冈）=|’

21%l-x0<x<1.

在区间（一1,0］上，y=l+无为增函数,

故y=log](l+x)为减函数.

2

同理在区间(0,1)±y=logI(1-X)为增函数，

2

y=logi(l一国)的增区间为(0,1),减区间为(一1,0].

2

点评：求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都

不能超出定义域.

(2次c),g(x)单调性相同，则Hg(x))为增函数；次尤)，g(x)单调性相异，则/(g(x))为减函数，简称“同增

异减”.

跟踪训练1求y=ln二7的单调区间.

X—1

解y=ln■的定义域为(1，+℃)>在区间(L+8)上，为减函数，

**.j=ln也为减函数•

；.y=ln占的减区间为(1,+oo),没有增区间.

命题角度2已知复合函数单调性求参数范围

例2已知函数y=log](x2—ax+a)在区间(一oo,也)上是增函数，求实数a的取值范围.

2

解令g(无尸%2—(zr+a,g(x)在(一8,卷上是减函数，

y=log]g(x)是减函数，而已知复合函数y=logi(x2—mba)在区间(一8,陋)上是增函数，

22

只要g(%)在(一④，表)上单调递减，且g(x)>0在xd(—8,g)上恒成立，

即，-2=r(22—y[2a+a>0,))

〔gr(2

：.2y[2<a<2(y[2+l),

故所求a的取值范围是[2吸，2(^2+1)].

点评：若a>l,则y=log/x)的单调性与y=/(x)的单调性相同，若则y=log次x)的单调性

与>=/(尤)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.

跟踪训练2若函数式x)=log“(6—依)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(1,3]D.[3,+oo)

答案B

解析函数由y=loga","=6—ar复合而成，因为a>0,所以〃=6—ax是减函数，那么函数y=loga〃

就是增函数，所以。>1,因为[0,2]为定义域的子集，所以当尤=2时，a=6一3取得最小值，所以6

~2a>Q,解得a<3,所以l<a<3.故选B.

类型二对数型复合函数的奇偶性

例3判断函数八元）=In彳二;的奇偶性.

解由U>0可得一2<X<2,

所以函数的定义域为（一2,2）,关于原点对称.

、、上2+x(2—x2-x

万法一y(—x)=ln^ZG=ln|

2+x,

=一/（x）,

即五-x）=-Ax），

2—JC

所以函数式x）=ln不是奇函数.

D—YQ-X

方法二八无)+/(—%)=In汗^+ln或Q

(2—x2+xA

=ln(2+x2-xJ=ln1=0,

即人一无）=-A%），

所以函数式x）=ln4是奇函数.

引申探究

Z7--X

若已知知）=ln4为奇函数，则正数a,6应满足什么条件?

〃一工

解由>0得一b<x<a.

b~\~x

•・7（x）为奇函数，：.~（~b）=a,即〃=6.

a—JQ

当a=b时,危）=ln丁jQ.

,a-\-x,a~x

fi-x）+危）=In-----+In।

八八a-xa-rx

（a-\~xg—x\

叫〃一1a-\-x）

=ln1=0,

・••有/（—%）=—#x），

・,・此时月%）为奇函数.

故危）为奇函数时，a=b.

点评：（1）指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数（或偶

函数）.

⑵含对数式的奇偶性判断，一般用1%）切：—x）=0来判断，运算相对简单.

跟踪训练3判断函数/u)=ig(qiT)一尤)的奇偶性.

解方法一由，F”一X>0可得XGR,

所以函数的定义域为R且关于原点对称，

又八一X)=lg(。1+f+x)

=lg错误！

=lgVifc

=—IgC,l+x2—X)=-fix),

即人-x)=-7(x).

所以函数/(尤)=lgNl+x2—x)是奇函数.

方法二由Nl+f一彳>0可得xeR,

fix)+1穴一X)=IgN1+——x)+lg(-\J14-X2+x)

=lg[(61+f—x)(61+6+x)]

=lg(l+x2—

所以八—x)=一/(x)，

所以函数式尤)=Igc/l+x2—X)是奇函数.

类型三简单的对数型不等式的解法

例4已知函数ytr)=loga(l一炉)(a>0,且(#1),解关于X的不等式loga(l一炉)>式1).

解"."y(x)=logfl(l—^)..\/U)=loga(l—。)，

；.1一。>0,.•.0<a<l,

1

；•不等式可化为loga(1—tr)>loga(1—a).

：.\BP..,.0<x<l.

x

〔11炉VI—〃，[a>af

.••不等式的解集为(0,1).

点评：对数不等式解法要点

(1)化为同底log忒X