2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式第2课时三角函数式的化简与求值考点2求值问题

求值问题——多维探究角度1给角求值1．cos20°·cos40°·cos100°＝(B)A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)[解析]cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－eq\f(sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,2)sin40°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,4)sin80°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq\f(1,8).故选B．2．sin40°(tan10°－eq\r(3))等于(D)A．2 B．－2C．1 D．－1[解析]sin40°·(tan10°－eq\r(3))＝sin40°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\r(3)))＝sin40°·eq\f(sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)＝sin40°·eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cos10°)),cos10°)＝sin40°·eq\f(2cos60°·sin10°－sin60°·cos10°,cos10°)＝sin40°·eq\f(2sin10°－60°,cos10°)＝sin40°·eq\f(－2sin50°,cos10°)＝eq\f(－2sin40°·cos40°,cos10°)＝eq\f(－sin80°,cos10°)＝－1.名师点拨：给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：1．观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；2．观察名，尽可能使函数统一名称；3．观察结构，利用公式，整体化简．角度2给值求值1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,9)C．－eq\f(1,9) D．－eq\f(7,9)[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3)＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9).2．(2023·河北冀州一中月考)若tan(α＋2β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(α＋5β)＝(B)A．eq\f(11,5) B．eq\f(11,2)C．eq\f(2,11) D．eq\f(5,11)[解析]因为tan(α＋2β)＝3，所以tan2(α＋2β)＝eq\f(2tanα＋2β,1－tan2α＋2β)＝eq\f(6,1－9)＝－eq\f(3,4)，所以tan(α＋5β)＝tan[2(α＋2β)－(α－β)]＝eq\f(tan2α＋2β－tanα－β,1＋tan2α＋2β·tanα－β)＝eq\f(－\f(3,4)－2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×2)＝eq\f(11,2).故选B．名师点拨：给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等．角度3给值求角1．(2024·常州模拟)已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝(C)A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)[解析]因为cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)<0，α，β均为锐角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，β－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，可得cos(β－α)＝eq\r(1－sin2β－α)＝eq\f(3\r(10),10)，sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(\r(2),2)，则β＝eq\f(π,4).故选C．2．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β的值为(D)A．eq\f(π,4) B．－eq\f(π,4)C．eq\f(3π,4) D．－eq\f(3π,4)[解析]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，∴0<α<eq\f(π,2).又tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).名师点拨：1．已知三角函数值求角的解题步骤：(1)求出角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围确定角．2．给值求角的原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．【变式训练】1．(角度1)(多选题)下列各式正确的是(AC)A．(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2B．eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)＝2C．eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝2D．tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°－1)＝2[解析]A：利用正切的和角公式化简即可判断；B：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即可判断；C：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；D：利用诱导公式以及正弦的倍角公式和辅助角公式化简即可判断求解．(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°，∵tan45°＝eq\f(tan1°＋tan44°,1－tan1°tan44°)，即tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1，∴(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2，故选项A正确；因为eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin30°－10°,\f(1,2)sin20°)＝4，故B错误；因为eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝eq\f(3－cos20°,1＋sin210°)＝eq\f(2＋2sin210°,1＋sin210°)＝2，故C正确；原式＝eq\r(3)cos10°－eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＝eq\r(3)cos10°－eq\f(cos20°,2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,2sin10°)＝eq\f(2sin20°－30°,2sin10°)＝－1，故D错误．故选AC．2．(角度2)(2024·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且2cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为(C)A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．eq\f(7,8) D．－eq\f(7,8)[解析]由题意可得2(cos2α－sin2α)＝coseq\f(π,4)cosα＋sineq\f(π,4)sinα，即2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)．由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得cosα＋sinα≠0，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(2),4)，等式两边平方，可得1－sin2α＝eq\f(1,8)，所以sin2α＝eq\f(7,8)，故选C．3．(角度3)已知α，β为锐角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，则cos2α＝eq\f(1,7),2α－β＝eq\f(π,3).[解析]因为cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又α，β为锐角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cos