2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次质检数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列结论不正确的是(

)A.若y=3，则y′=0 B.若y=1x，则y′=−2.已知函数f(x)=1xA.0 B.−2 C.−1 3.设f′(x)=x2−A. B.

C. D.4.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(

)

A.0<f′(3)<f(5.已知函数f(x)=x(x−A.−6 B.−2 C.2 D.−6.已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图，则满足f′A.(0,4) B.(−∞7.已知a=sinπ5A.a>b>c B.c>a8.若存在唯一的正整数x0，便得不等式2xex−aA.(0,43e2) B.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列导数运算错误的有(

)A.(sinπ3)′=cosπ310.已知a∈R，函数f(x)=axA.a>0

B.a=1时，函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x+111.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，当A.f(12)>2f(112.已知函数f(x)=xex,g(x)=lnxx，若直线y=b与曲线A.x1x4=x2x3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知f(x)=1x，g(x)14.函数y=f(x)在其定义域[−32,3]内可导，其图象如图所示，记

15.若函数f(x)=(x−m)16.已知函数f(x)=lnx+ax+sinx四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

利用导数求下列函数的单调区间．

(1)f(x)=x18.(本小题12分)

已知函数f(x)=x−ln2x．

(1)求f19.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(20.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx+ax+2．

(1)若函数f21.(本小题12分)

南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形，如图所示)设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上(图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合)，通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知AB=200m，∠PAB=θ，栈道总长度为函数f(θ)22.(本小题12分)

已知函数f(x)=aex−1x的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)．答案和解析1.【答案】B

【解析】解：对于A，常数的导数为0，正确；

在B中，y=1x=1x12=x−12，根据导数的公式得y′=(x−12)′=−122.【答案】C

【解析】解：f(x)=1x，

则f′(x)=−13.【答案】C

【解析】解：因为f′(x)=x2−2x，所以令f′(x)>0，得x<0或x>2；令f′(x)<4.【答案】A

【解析】解：观察图象可知，该函数在(2,3)上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．

所以各点处的导数在(2,3)上处处为正，且逐渐减小，所以故f′(2)>f′(3)，

而f(3)−f(2)=5.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=x(x−m)2，

所以f′(x)=(x−m)2+2x(x−m)，

因为f(x)在x=−2处有极小值，

所以f′(−2)=(−2−m)2−4(−2−m)=0，

即m2+8m+12=0，解得m=−6或m=6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查函数的单调性与导函数的关系，属于简单题．

利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，判断推出结果即可．

【解答】

解：如图，记两个函数分别为g(x)和h(x)，

若g(x)为导函数，则h(x)应在−∞,2单调递减，明显与图象不符；

所以f(7.【答案】D

【解析】解：a=sinπ5>sinπ6=12=c，

设f(x)=lnx+1−x，x>1，则f′(x)=1−xx8.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查导数在研究函数中的应用．因为存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax【解答】

解：存在唯一的正整数x0，使得不等式2xex−ax−a>0成立；

即a<2xex(x+1)有唯一的正整数解；

设

f(x)=2xex(x+1)

(x>0)

则f ′9.【答案】AC【解析】解：A，∵(sinπ3)′=0，∴A错误，

B，∵(xex+e2)′=ex+xex=(x+10.【答案】AB【解析】解：对于A，由题意，当a=0时，f(x)=−2x+3，无极值点，

当a≠0时，f′(x)=3ax2−2，

a<0时，f′(x)<0，函数y=f(x)单调递减，无极值点，

当a>0时，令f′(x)=0，得x2=23a，解得x1=−23a,x2=23a，

当f′(x)>0，解得x<x1或x>x2，∴f′(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，

当f′(x)<0，解得x1<x<x2，∴f(x)在(x1,x2)上单调递减，

所以x1是f(x)11.【答案】BD【解析】解：令F(x)=f(x)x，

所以F′(x)=f′(x)⋅x−f(x)x2，

因为当x>0时，有f(x)−xf′(x)>0恒成立，

所以当12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，属于较难题．

求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值，同理可得g(x)的单调性和极值，作出f(x)与g(x)的大致图象，设函数f(【解答】

解：f′(x)=ex−ex⋅x(ex)2=(1−x)ex(ex)2=1−xex，

令f′(x)=0得x=1，

所以在(−∞,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，

在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以当x=1时，f(x)取得极大值即最大值f(1)=1e，

g′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，

令g′(x)=0得x=e，

所以在(0,e)13.【答案】−9【解析】解：由f(x)=1x，求导得f′(x)=−1x2，则f′(3)=−14.【答案】[−【解析】解：由图象可知f(x)在区间[−13,1]和[2,3)上单调递减，

∴15.【答案】(−【解析】解：已知f(x)=(x−m)2+lnx，函数定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=2(x−m)+1x，

因为f′(x)>0在(1,16.【答案】[2【解析】解：∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，

不妨设x1<x2，x2−x1>0，

∵f(x2)−f(x1)x2−x1>1，

∴f(x2)−f(x1)>x2−x1，即f(x2)−x2>f(x1)−x1，

f(x)=ln17.【答案】解：(1)由f′(x)=3x2+3>0在定义域上恒成立，

故f(x)【解析】(1)(18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x−ln2x，

所以f′(x)=【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；

(2)求出19.【答案】解：(1)当a=0时，函数f(x)=−1x−lnx，求导得：f′(x)=1−xx2，

令f′(x)>0，得0<x<1；令f′(x)<0，得x>1；

则函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，

【解析】(1)当a=0时，对f(x)求导，分析函数单调性，确定f(x)图象，可证明曲线y=f(x20.【答案】解：(1)因为f(x)=lnx+ax+2(x>0)，则f′(x)=1x+a=ax+1x，

因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=1+a=0，解得a=−1，

当a=−1时，可得f′(x)=1−xx，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1,+∞)时，f′【解析】(1)根据题意，利用函数极值点的意义列式，得到f′(1)=0，由此求得a值，再进行验证即可得到答案；

(2)对21.【答案】解：(1)由题意知∠PAB=θ(0<θ<π4)，OC⊥AB，OA=OB=100，

则PA=PB=100cosθ，PO=100tanθ，所以PC=100−100tanθ，

所以f(θ【解析】(1)由已知可得PA=PB=100cosθ，PC=22.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−1x，所以f(1)=ae−1，

f′(x)=axex−aex+1x2，f′(1)=1，

又函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e)，

所以ae−1−e1−2=1，解得a=1