陕西省西安市模范高级中学高三数学理联考试题含解析

陕西省西安市模范高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，关于x,y的方程组有

（

）A、唯一解

B、无解或无穷多解

C、唯一解或无穷多解

D、唯一解或无解参考答案：C2.函数的反函数是A． B．C．

D．参考答案：A略3.下列说法正确的是A.若，则B.函数的零点落在区间内C.函数的最小值为2D.若，则直线与直线互相平行

参考答案：B本题考查命题的真假。若a=1，b=-1，不等式不成立，排除A；，而且函数在区间内单增，所以在区间内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则，不满足题意，C错；若，则直线重合，D错；所以选B。

4.设变量x，y满足约束条件.目标函数，则的取值范围为

(A)[1,2]

(B)

(C)[2,11]

(D)[0,11]参考答案：B略5.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A．1 B．2C．3 D．4参考答案：B略6.平面向量满足，，，，则的最小值为（）A.

B.

C.

1

D.2参考答案：【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B.【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.7.△的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则△的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B略8.如图1，风车起源于周，是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸扎成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.是两个定点，点为平面内的动点，且（且），点的轨迹围成的平面区域的面积为，设（且）则以下判断正确的是（

）A．在上是增函数，在上是减函数B．在上是减函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是增函数D．在上是减函数，在上是增函数参考答案：A略10.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()．A．(－2，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.17．设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=__________。参考答案：12.在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．参考答案：2因为，所以，所以，因为，所以，所以△的面积。13.已知直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0，当圆被直线截得的弦长为时,m=

.参考答案：14.甲、乙、丙、丁四人相互传球,第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人,第二次由拿球者再传给其他三人中任一人,这样共传了4次,则第四次仍传到甲的方法共有____________种.参考答案：答案：2115.设为的反函数，则的最大值为_______.参考答案：是上的单调增函数，且为的反函数，与单调性相同，当时，的最大值为且当时，的定义域为且当时，的最大值为故答案为

16.设为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为

.参考答案：由题意，知

①，又由椭圆的定义知，＝

②，联立①②，解得，，所以＝，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.17.抛物线的焦点坐标为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是棱的中点．(1)求证：平面;(2)求二面角的余弦值，参考答案：19.（本小题满分12分）（1）已知0<α<β<，sinα=,cos(α?β)=，求cosβ的值；（2）在ΔABC中，sinA?cosA=，求cos2A的值。参考答案：(1)；(2).试题分析：(1)由平方关系及角的范围，先求出，再由，求出的范围，利用平方关系可求出，由，用两角差的余弦公式代入求之即可；(2)将已知式两边平方整理可得，又为三角形内角，可得为锐角，将代入计算可求，利用二倍角公式直接计算即可.试题解析：（1），又（2），所以又则，则有所以考点：1.三角恒等变换；2.三角形性质.20.已知椭圆C：mx2+3my2=1（m＞0）的长轴长为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意知椭圆C：，所以，，故，解得，所以椭圆C的方程为．因为，所以离心率．（2）设线段AP的中点为D．因为BA=BP，所以BD⊥AP．由题意知直线BD的斜率存在，设点P的坐标为（x0，y0）（y0≠0），则点D的坐标为，直线AP的斜率，所以直线BD的斜率，故直线BD的方程为．令x=0，得，故．由，得，化简得．因此，S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB====．当且仅当时，即时等号成立．故四边形OPAB面积的最小值为．21.（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：(a＞b＞0)上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）?（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）?+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化