2020-2021学年黄山市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年黄山市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为4的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等

于（）

A.4B.4V2C.2V2-2D.2&+2

2.直线2为曲线/+2%+1的切线，则/的斜率的取值范围是（）

A.（—co,1]B.[—1,0]C.[0,1]D.[l,+oo）

3.过点P（0,l）,且与点4（3,3）和8（5,-1）的距离相等的直线方程是（）

A.y=1B.2x+y-1=0

C.y=1或2x+y-1=0D.2x+y—1=0或2x+y+1=0

4.设n6N*,则“数列5｝为等比数列”是“数列回｝满足册-an+3=an+1-0n+2”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

5.已知]表示空间一条直线，a、3表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①11a；②〃/伙

③戊工区以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的

个数是（）

A.0B.1C.2D.3

6.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲

从袋中摸出一个球，其号码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-

2b+10>0成立的事件发生的概率等于（）

C60

A工BR-E59

,81

7.如图，在正方体ABCD—4B1GD1中，M为线段4。的中点，N为线段

CD1上的动点，则直线QO与直线MN所成角正弦值的最小值为（）

A.立

2

B.在

6

C.渔

3

D.匹

4

8.如图，已知六个直角边均为1和8的直角三角形围成的两个正六边形，则该

图形绕着L旋转一周得到的几何体的体积为（）

197r

c-V

D.—

4

9.抛物线y=—的焦点坐标是（）

A.(-1,0)B.(0,-i)C.(0,-J)D.(0,-|)

10.如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分

别为1和2,则该几何体的体积为（）

A.6正视图侧视图

B.7

C.8

俯视图

D.9

11.已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线，一，=1（a>0,b>0）有相同的焦点F,点4是两曲线

的一个交点，且AFlx轴，若I为双曲线一、三象限的一条渐近线，则/的倾斜角所在的区间可

能是（）

A.（崂B.（沃）C.（盟）D.©3）

12.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，

俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）

A点

A.—

俯视图

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数/(x)的定义域为［-1,5］,部分对应值如图:

X-1045

1221

的导函数y=/(无)的图象如图所示，下列关于f(x)的命题:

①函数f(x)是周期函数；

②函数f(x)在［0,2］是减函数；

③如果当x6［—1,吁时，/(x)的最大值是2,那么t的最小值为0；

④函数y=f(x)-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.

其中正确命题的序号是.

14.双曲线/一9=1的两条渐近线方程为.

15.如图，而为圆螃的切线，窗为切点，出过圆心蜴，

=--圆帽的面积为蛹，则寡曲=—.

3

16.14.在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，并且AABC、AACD、AADB的

面积分别为走、立，则该三棱锥外接球的表面积为

222

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

22

17.命题p：方程—+户=l(keR)方程表示双曲线，

命题q：函数y=/。。2(忆/+kx+1)的定义域为R,

若命题pvq为真命题，pAq为假命题，求实数k的取值范围.

18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2/，在y轴上截得线段长为2遍.

(I)求圆心P的轨迹方程；

(口)若圆心P到直线2x-y=0的距离为寻求圆P的方程.

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，P41平面/BCD,AB=BC=2,

4ABe=120°,AD=CD=夕，直线PC与平面ABC。所成角的正切

法.

(1)设E为直线PC上任意一点，求证：AE1BD；

(2)求二面角B-PC-4的正弦值.

20.已知做久口丫］),8(刀2，、2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的两点.

(1)若丫1丫2=-p2,证明：直线4B经过C的焦点F.

(2)经过点4B分别作C的两条切线匕，12,若匕%的交点M在C的准线Lt,证明:

⑷直线经过C的焦点F；

21.正方体ABCD-A$iGDi的棱长为1,点F、〃分别为的中点.

(I)证明:4/〃平面4FC；

(口)证明：为“_1平面4?。.

22.如图，Fi，力分别是椭圆C：鸟号=1(己电叫的左、右焦点，4是椭圆C的顶点，B是

直线4尸2与椭圆C的另一个交点，zFiAF2=60°.

(I)求椭圆C的离心率；

(2)己知曲的面积为40VL求处6的值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：俯视图是面积为4的正方形，可见正方体的一个面是水平放置的.

所以正视图是一个高为2的矩形，底边长在区间［2,2立］上取值.

故正视图面积范围为［4,4夜］.所以C选项不满足.

故选：C.

由俯视图是面积为4的正方形，可见正方体是水平放置的，然后我们变换不同的视角得到正视图，应

该是一个高为2,底边长在［2,2位］上取值的矩形，则正视图面积范围为［4,4&］，以此可以求解.

本题考查了学生对三视图的理解和应用，根据题意判断出正方体水平放置很重要，考查了学生的空

间想象能力.

2.答案：D

解析：试题分析：求出函数y的导数，再利用二次函数的值域求出导数值的范围，从而得到I的斜率

的取值范围.

y=1X3_X2+2X+1的导数为；/=/-2x+2=(%-1)2+121,故直线I的斜率k>1,

故选D.

3.答案：C

解析：解：当直线平行于直线4B时，或过48的中点时满足题意，

当直线平行于直线48时，所求直线的斜率为卜=裳=-2,

3-5

故直线方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0；

当直线过4B的中点(4,1)时，斜率为％=0,

故直线方程为y=1；

故所求直线方程是为：y=1或2x+y-1=0.

故选C.

由题意可知当直线平行于直线4B时，或过AB的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程.

本题考查直线方程的求解，分类讨论是解决问题的关键，属基础题.

4.答案:A

解析：解:"数列5｝为等比数列“，则罗=产=q，n数列｛4｝满足蚊•an+3=an+1-an+2.

unun+2

反之不能推出，例如由I=0,

故选：A.

“数列｛时｝为等比数列"，则等1=产=q，n数列｛On｝满足On-a=a-二+2.反之不能推出,

unun+2n+3n+1

可以举出反例.

本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5.答案：B

解析：解：由①11a；②”/伙③al£,

可得三个命题：①②n③，①③=②，②③n①.

由11a,l//p,过/的平面y与/?交于m,由线面平行的性质定理可得”/m,

即有m_La,由?nu/?,可得a_L0,①②二③正确；

由，la,aLB，可得或①③n②错误；

由〃/氏al£,可得1ua或〃/a或，与a相交，②③=①错误.

故选：B.

可得三个命题：①②=③，①③=②，②③=①,再由线面平行和垂直的判断和性质，以及面

面垂直的判断和性质，即可判断正确命题的个数.

本题考查命题的真假判断，主要是线面和面面平行、垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理

能力，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9X9=81种结果，

满足条件的事件是使不等式a-2b+10>0成立的，即2b-a<10

当b=l,2,3,4,5时，a有9种结果，共有45种结果，

当b=6时，a有7种结果

当b=7时，a有5种结果

当b=8时,a有3种结果

当b=9时，a有1种结果

•••共有45+7+5+34-1=61种结果

••.所求的概率是普

ol

故选D.

本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9x9种结果，满

足条件的事件是使不等式a—2b+10>0成立的，即2b-a<10,列举出当当b=l,2,3,4,5,

6,7,8,9时的所有的结果，得到概率.

本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的

情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏.

7.答案：C

解析：解：以。为原点建立平面直角坐标系，设正方体棱长为2,

则C(0,2,0),。式0,0,2),则=(0,-2,2)，

因为N为线段CD】上的动点，

所以不妨设CN=4CD1，则得N(0,-2；l+2,24),

所以MN=(-1,-22+2,22-1)>

则COS<MN>Cl">-I2整,1+(21-2)2+(2.-1)2I

—I____?_____I____J____I

2V2-V8A2-12A+6技加入-制+:'

因为4e[0,1],所以8(4—》2+|e[|,6],

所以cos<丽，GD><y,所以sin<丽，CjD>>

所以直线C】D与直线MN所成角正弦值的最小值为当.

故选：C.

建立空间直角坐标系，利用向量坐标表示出所，杀夹角的余弦值，再求出直线GD与直线MN所成

角正弦值的最小值.

本题考查异面直线夹角的求解，涉及空间向量的坐标表示及应用，考查转化思想，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：外面的六边形旋转得到的几何体的体积为:

1373,广,V3,广、217r

14=2X-X-[7r（—）2+7T（V3）2+7T[（—）2x7T（V3）2]=—,

5Z/T*

内部的六边形旋转得到的几何体的体积为：

%=2X[X|TT（Y）2+7T（Y）2X1=7T，

几何体的体积为：V=匕一彩=于一兀=干.

故选：B.

先求出外面的六边形旋转得到的几何体的体积，再求出内部的六边形旋转得到的几何体的体积，由

此能求出几何体的体积.

本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

9.答案:B

解析：解：因为抛物线y=即/=-2y中，

2P=2,解得p=1,

所以焦点为

故选:B.

抛物线/=-2py(p>0)(p>0)的焦点坐标为(。,一»

本题考查抛物线的焦点坐标的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用，属基

础题.

10.答案:B

解析：解：由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，

大正方体的棱长为2,故体积为：8；

小正方体的棱长为1,故体积为：1；

故组合体的体积V=8-1=7,

故选：B

由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，分别求出它们的体

积，相减可得答案.

本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档.

11.答案：D

解析：解：•••抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

・••p=2c

•••4是它们的一个公共点，且AF垂直x轴,

设4点的纵坐标大于0,

\AF\=p,

•••点4在双曲线上，

.­-4-4=1,

4a2

•・,p—2c,b2=c2-a2,

.C24c2_1

1

•••a2_C2_a2='

化简得：c4—6c2a2+a4=0,

・••e4—6e2+1=0,

ve2>1,

:.e2=34-2V2,

b「

・・・1+(-)29=3+2加

b「

A(-)29=2+2V2>3

的倾斜角所在的区间可能是C(),

故选：D.

根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AFlx轴可判断出|4F|的值和4的坐标，代

入双曲线方程与p=2c,炉=。2-£12联立求得(^^的关系式，然后求得离心率e,即可得出结论.

本题主要考查关于双曲线的离心率的问题,属于中档题,本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、

c的关系，从而求出离心率.

12.答案：A

解析：试题分析：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1,高为有，所以该几

何体的体积为汾品务

考点：本小题主要考查空间几何体的三视图和圆锥的体积.

点评：解决与三视图有关的问题，首先要根据三视图正确还原几何体.

13.答案：②③④

解析：解：①由函数图象可知函数不具备周期性，故①错误.

②由导数图象可知，当一1<x<0或2<x<4时，f'(x)>0,

数单调递增,

当0<x<2或4cx<5,f'(x)<0,函数单调递减,

所以当x=0和x=4时，函数取得极大值/'(())=2,/(4)=2,

当x=2时，函数取得极小值/(2)=0,

所以f。)的极小值为0,故②正确.

③若当xe[-1,可时，/(x)的最大值是2,51IJ0<t<5,

故t的最小值为0，故③正确.

④v/(-I)=1,/(0)=2,/(4)=2./(5)=1,

・•・根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，(线段只代表单调性)，根据题意函数的极小值不

确定，分/(2)<1或1Wf(2)<2两种情况，由图象知，函数y=f(x)和y=a的交点个数有0,1,2,

3,4等不同情形，所以④正确

故答案为：②③④

由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点，结合函数/(x)在定义域内的部分对

应值表，可以作出函数f(x)图象的大致形状，由图象形状可以判断四个命题的真假.

本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键.

14.答案：y—+V3x

解析：

本题考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题.

直接利用公式即可得解.

解：•••双曲线的方程为——?=1,

a2=1,b2=3,得a=1,b=V3,

•••双曲线的渐近线方程为y=±^x,

•••该双曲线的渐近线方程为：y=±gx,

故答案为y=+V3x.

15.答案：3

解析：试题分析：连接。几由于T是切点，故角0TA=90°,又由心.蝴・=艺，可求得角7YM=120°,

3

Z.TOA=60°,A4P=30°,

在直角三角形P7。中得P。=2。7=2R,故得P4=3R

又圆的面积是7T,得R=1,

•.PA=3,故答案为3.

考点：平面几何选讲，圆。

点评：中档题，直线与圆的位置关系，求解本题的关键是求出半径与P4的关系。

16.答案：67r.

如图：把三棱锥补成长方体AB—n.AC-AD=c

解析:

设外接球半径为五，面积为5,则

jab="75a--Jl

《be=、仔n《方=1

jac.=浜”=亚

长方体体对角线L=八F】+1=为2克=n，S=4组2=笈(i/?)2=6元

17.答案：解：若命题p为真命题，由—3)(々+3)V0,得—3V/cV3,

若命题q为真命题，令亡=攵/+々％+1,由t>0对恒成立，

(1)当k=0时，1>0・•・k=0符合题意；

⑵当壮。时,忆;,解哦/<4，

A0<fc<4.

又•.・命题pVq为真命题，命题pAq为假命题，

，命题p，q一真一假，

若P真q假，则仁:恭此时，~3<k<0'

若p假q真，则代式-3或心3,此时,34k<4.

综上所述，实数k的取值范围是(—3,0)U[3,4).

解析：先分别计算当命题p、q都为真命题时实数k的取值范围，然后从已知条件得知命题p、q—真

一假，分两种情况讨论：p真q假和p假q真，从而求出实数A的取值范围.

本题考查复合命题，通过复合命题的真假考查参数的取值范围问题，考查推理能力与计算能力，属

于中等题.

18.答案:解:（1）设圆心为「（。前）,半径为R,

•・・圆P在x轴上截得线段长为2VL在y轴上截得线段长为2g,

由题意知R2—加=2,

R2-a2=3,

b2-a2=1,

二圆心P的轨迹方程为/一/=].

（口）由题意知R2—b2=2,R2—。2=3,笔!=立，

V55

解得a=0,b=1,/?=再或。=0,b=—1,R=6或a=g,6=|,/?=誉或。=一%b=—|,

R=匡,

3

二满足条件的圆P有4个：x2+（y-I）2=3或/+（y+1）2=3或（x-i）2+（y-|）2=日或（％+

>+（y+什学

解析：（1）设圆心为。（。/）,半径为R,由题意知R2—加=2,R2一。2=3,由此能求出圆心P的轨

迹方程.

（口）由题意知R2-炉=2,R2-a2=3,四#=在，由此能求出圆P的方程.

V55

本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理

运用和理解.

19.答案：解：（1）设。为线段4c的中点，由AB=8C知B。1AC,由4。=CD知。。1AC,从而B,0,

D三点共线，即。为4c与CB的交点...（2分）

又P41平面4BC。，所以P41B。

又ACnPA=A,所以DB1平面PAC

因为E为直线PC上任意一点，所以AEu平面P4C,所以4E，BC...（5分）

（2）以前所在方向为无轴，罚所在方向为y轴，过。作力P的平行线为z轴，建立空间直角坐标系

由题意，AC=20,OB=1,OD=2

又P41平面4BC0,故直线PC与平面4BCD所成角即为NPC4AtanzPC/l|

所以24=6,所以8(-1,0,0)，C(0,-V3,0)，P(0,V3,V3)

BC=(1,-V3,O)>#=(0,26,旧).•.…(8分)

设平面BPC的法向量怙•=(x,y,z),由［%,吧="二，有

51•CP=273y+V3z=0

解得后=(V3,1,-2)...(10分)

由(1),取平面PC4的法向量底=(1,0,0).

所以cos<%，底>=焉=乎

所以二面角B-PC-4的正弦值为邛...(12分)

解析：(1)设。为线段4c的中点，由4B=BC知B014C,由AC=CD知。。_LAC,从而B,0,D三

点共线，即。为ZC与。B的交点，可得DB1平面R4C即可得4E1BD；

(2)以面所在方向为x轴，次所在方向为y轴，过。作4P的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题

意，AC=2V3.OB=1,OD=2,又P4J•平面4BCD,故直线PC与平面ABCD所成角即为NPCA,

由tanZ_PCAg求得PA,利用向量求解

本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求空间角，属于中档题.

20.答案：解：(1)不妨设48：x=my+a,代入y?=2px,则y?—2pmy—2pa=0,

当△=4m2P2+8pa>0时，有力均=-2pa,

因为%丫2=-p2>所以一2pa=-p2,则a=p

于是直线AB：%=6、+々经过(7的焦点尸《,0),

(2)(i)由题设，2的斜率存在，分别设为七，k2,

则，1的方程为y-%=自(”一共)，将以=《代入得出2-y—笑+%=0,

由△=()得(1一华)2=0,七=£,同理心=£,

所以，1的方程为丫=十+，2的方程为丫=/+拳

联立两方程可得丛铲=号i,

y2yln

由条件可知、2*%，则久=等，

因为M在C的准线八X=一9上，所以登=一今则=-p2,

由（1）可知，直线4B经过C的焦点F；

（M）又因为七七=《•?=《》=号=一1，所以。，L

y±yz乃”~P

解析:（1）设直线4B：x=my+a,一抛物线方程联立,结合根的判别式及根与系数关系即可得到a=

即可证得；

⑵①分别求出直线，1的方程为y=家+*%的方程为y=/+半联立可得％=署，则蜉=-f>

即yi、2=-pn,由（i）可得结论；

22

⑺由①知上他=先竟=6=与=一1,所以㈠