2024年中考数学二模试卷（无锡卷）（全解全析）

2024年中考第二次模拟考试(无锡卷)数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：140分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列计算结果最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，，，，故结果最小的为，故选：D．2．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、，此选项错误，故不符合题意；B、，此选项错误，故不符合题意；C、与不是同类项，不能合并，此选项错误，故不符合题意；D、，此选项正确，故符合题意，故选：D．3．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、，故A正确，不符合题意；B、，故B正确，不符合题意；C、，故C正确，不符合题意；D、，故D不正确，符合题意，故选：D．4．2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史·吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（

）A．80，79 B．80，78 C．78，79 D．80，80【答案】A【解析】解：将这组数据从小到大排列为：74，76，78，78，80，80，80，85．80出现3次，出现的次数最多，故众数是80，最中间两个数据是78，80，故中位数是．故选：A5．若，则的值是（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】解：，∵，∴，∴原式．故选：D．6．数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】解：设正方形的边长为，如图，连接，，则，，在上，设，过作于，连接，∴四边形为矩形，∴，，，而，∴，解得：（舍去），，∴大的半圆的弧长为，小圆的周长为，故A不符合题意；如图，由正方形与圆的性质可得：，∴大的半圆的弧长为，小圆的周长为，故B符合题意；如图，连接，，则，设，同理可得：，，，∴，解得：，∴∴大的扇形的弧长为，小圆的周长为，故C不符合题意；如图，连接，，

设，当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长，∴，∴，而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；故选B7．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：由图1可设（k，b为常数，且，由图2可设（m为常数，），将代入得：，与的函数关系为一次函数关系，，，，，，与的函数图象过一、二、四象限．故选：D．8．如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】延长，交的延长线于点，如图所示：在矩形中，，，，为边中点，，在和中，，∴，，，垂直平分，，，∵，，，∵，∴，∵，∴，故选：A．9．如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】解：过点作于点，如下图，则，∵，，∴，由折叠的性质可得，，，∵四边形为菱形，∴，，，∵，即，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故选：D．10．如图，在直角三角形中，，分别是上两点，以为直径作圆与相切于点，且．若则的长度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：连接，

∵，∴，∴为的直径，∵与相切于点，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．维生素C能够促进白细胞的产生，且帮助其发挥免疫作用，成年人每天维生素C的摄入量最少为80mg．已知，则将数据80mg用科学记数法可表示为g．【答案】【解析】解：∵，∴；故答案为：．12．因式分解：．【答案】【解析】解：，故答案为：．13．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为．【答案】【解析】解：一元二次方程有一个根为2，设另一个根为，，解得，故答案为：．14．如图，在中，，，，点P是内一动点，且，点Q是的中点，则的最小值为．【答案】【解析】解：如图，取的中点D，连接，则，∵在中，，，，∴，∴，∵点Q是的中点，，∴，∴．故答案为：15．已知等腰三角形的两边长为10和12，则等腰三角形的面积为．【答案】48或【解析】解：当等腰三角形的腰长为10时：如图，过A作于D，∵，∴，由勾股定理得：，∴的面积是．当等腰三角形的腰长为12时，则：，∴，∴的面积是；故答案为：48或．16．如图，在边长为的小正方形网格中，已知，在网格格点上，在剩余的格点中任选一点，恰好能使的面积为的概率是．【答案】【解析】如答图，因为在剩余格点中任选一点，共有种等可能的结果，其中恰好能使的面积为的结果有种，所以恰好能使的面积为的概率为．故答案为：．17．如图所示，已知抛物线，与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，过点A作交抛物线于点D，连接，则的度数．【答案】/度【解析】解：如图所示，过点B作于E，在中当时，解得或，∴，∴，在中当时，，∴，∴，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∵，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立解得或，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：．18．定义：在平面直角坐标系中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知，，，直线l：，若原点O是关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是．【答案】【解析】解：如下图所示，点O关于直线的对称点，并且轨迹为直线；直线与直线交点为点，与直线交点为点接下来只要求两个点的交点坐标即可，B点通过观察，直角在直线上，直接求G点即可；∵，；设直线解析式为；把两个点带入解析式中的得；；解得：，；∴；在联立两条直线求交点G坐标；；解得：，；∴；在计算线段中点坐标，线段中点坐标，分别带入中；其中线段中点为，线段中点为可以求出两个b的值，，；∴；故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算；（2）解方程组：．【解析】解：（1）；（2）把①代入②得：，解得，把代入①得：．故方程组的解．20．（8分）(1)解方程；(2)解不等式组．【解析】（1）解：，方程两边同乘最简公分母，得，解得，检验：把代入最简公分母，原方程的解为；（2）解：，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为：．21．（8分）已知点M，N在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．(1)如图1，在矩形边上找点E，F，使得为平行四边形；(2)如图2，在矩形边上找P，G，H三点，使得四边形为菱形．【解析】（1）解：如图，四边形即为所求；（2）解：如图，四边形即为所求．22．（8分）在中，是对角线的中点，过作，分别交边，于点，，交延长线于点，连接，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若是的中点，，求的长．【解析】（1）证明：在中，，，．是对角线的中点，，，．又，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．

（2）四边形是菱形，．又是的中点，．，，，，．23．（8分）据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次1.63亿，春节档是阖家团圆的喜庆日子，龙年春节档电影票房火热的当属A《热辣滚烫》、B《飞驰人生2》、C《第二十条》．小优和小秀恰好同一天去看这三部电影中的一部，用画树状图（或列表）的方法，求小优和小秀看同一部电影的概率．【解析】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小优和小秀看同一部电影的可能性有三种，故看同一场电影的概率为．24．（8分）八年级二班举办了主题为“致敬航天人，共筑星河梦”的演讲比赛．由学生1，学生2，老师、班长一起组成四人评委团，对演讲者现场打分，满分10分．图1是甲、乙二人的演讲得分的不完整折线图，已知二人得分的平均数都是8分．(1)班长给乙的打分是分，补全折线图；(2)在参加演讲的同学中，如果某同学得分的四个数据的方差越小，则认为评委对该同学演讲的评价越一致．请通过计算推断评委对甲、乙两位同学中哪位同学的评价更一致；(3)要在甲、乙两位同学中选出一人参加年级的演讲比赛．按照扇形统计图（图2）中各评委的评分占比，分别计算两人各自的最后得分，得分高的能被选中，请判断谁被选中．【解析】（1）解：（分），∴班长给乙的打分是，故答案为：8；补全图形如图所示：（2）解：∵，∴∵，∴即评委对乙同学的评价更一致；（3）解：各评委的评分占比为，甲：（分），乙：（分）．∵∴甲被选中．25．（8分）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点，连结与相交于点．水面截线，，．(1)如图（1）求水深；(2)将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长；(3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长．【解析】（1）解：连结，如图所示：

，在中，由勾股定理可得，；（2）解：过点作的平行线，与的延长线相较于点，如图所示：

，，在和中，，，由（1）知，，，，在中，由勾股定理可得；（3）解：如图所示：

由（1）可知，，在中，，，由题意可得，圆心运动的路径长为的长度．26．（10分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．(1)求的长．(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）【解析】（1）解：如图，过点B作于点E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大约旋转了．

27．（10分）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作关于点中心对称的图形，其中点的对应点是点．请你帮助小明完成画图和后面的解答．尝试运用：如图（2），是的中线，，，，试判断线段与的关系，并加以证明．迁移拓展：如图（3），是的中线，，，直接用含的代数式写出与之间的面积关系．【解析】解：（1）问题背景：作图如图．由中心对称的性质知，．在中，，，即，．（2）尝试运用：．理由如下：如图，延长到点，使得，延长交与点，连接，由前面知，，，，，，，，，，，，．，，，，；（3）迁移拓展：如图，延长到点，使得，延长交与点，连接，由（1）可知：，，，又由（2）可知，，，,又，,，即．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，若点是第四象限内抛物线上一点，轴交于点,交轴于点，求的最大值；(3)如图，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．【解析】（1）解：把，代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：过点B作交于点E，如图所示：∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵轴，∴轴，∴，∴为直角三角形，把代入得出，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，设，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，且最大值为；（3）解：∵，，∴，∵，∴，∴抛物线沿方向平移个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：个单位，∵抛物线，∴抛物线沿方向平移个单位后新抛物线的解析式为：，把