2022-2023学年南京市燕子矶中学高二第一学期期末考试

2022-2023学年南京市燕子矶中学高二第一学期期末考试

一.选择题（共8小题）

1.已知等比数列｛4｝中，出=2，%=4，则％=（）

A.8B.16C.32D.36

2.过抛物线y=2/的焦点/作倾斜角为120。的直线交抛物线于A、B两点,贝I弦|AB|的

长为（）

21

A.2B.-C.-D.1

32

3.已知圆£:犬2+/一4=0与圆C2+y2-4x+4y-12=0相交于A,3两点，则两圆的

公共弦|A8|=（）

A.2A/2B.3A/2C.应D.2

4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的

非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2根时，水面宽8〃?.若水面下降1加，则水面

宽度为（）

A.2y/6mB.4屈mC.4y/2mD.12m

5.若曲线C上存在点使M到平面内两点A（-5,0）,8（5,0）距离之差的绝对值为8,则

称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是（）

fV2

A.x+y=5B.x2+y2=9C.—+^-=1D.x2=16y

6.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，4，4，B],为为椭圆顶点，F?为右

焦点，延长用巴与人区交于点尸，若/月尸危为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）

7.已知数列｛4｝的前"项和为S”,G=1,当—.2时,an+2Sn_｝=n,则S?必等于()

A.1008B.1009C.1010D.1011

8.若对任意正实数x,不等式e2'(a-x),,l恒成立，则实数。的范围是()

Aln21口ln2八7clcIni1

A.CL------1---r).6Z,,----1--FIC.6Z,,2H--D.a..；----1—

222222

多选题(共4小题)

9.设%),B(X2,%)是抛物线丁=4x上两点，O是坐标原点，若。l_LO3,下列

结论正确的为()

A.必为为定值

B.直线AB过抛物线y2=4x的焦点

C.S-OB最小值为16

D.O到直线钻的距离最大值为4

10.以下四个命题为真命题的是()

A.过点(T0,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为y=无+£

B.直线元cos。+gy+2=0的倾斜角的范围是[0,万)

C.曲线C[:/+V+2x=0与曲线C?:无2+y-4x-8y+："=。恰有一条公切线，则：〃=4

D.设P是直线x-y-2=0上的动点，过P点作圆0:炉+：/=1的切线R4,PB,切点

为A,B,则经过A,P,。三点的圆必过两个定点

11.等比数列｛氏｝中，公比为q,其前〃项积为北，并且满足%>1.a99900T>。，刍3<。，

01Go-1

下列选项中，正确的结论有()

A.0<^<1

B.—1＜。

c.Koo的值是，中最大的

D.使7；,>1成立的最大自然数〃等于198

12.已知函数〃幻=工，下列关于/(元)的四个命题，其中真命题有()

e

A.函数/(x)在［0,1］上是增函数

B.函数/(尤)的最小值为0

C.如果xe［0,4时，/(%),_=4，则f的最小值为2

e

D.函数/(x)有2个零点

三.填空题(共4小题)

13.已知直线6:2x+wiy+l=0与&：47m;+(〃?+l)y+2=0垂直，贝!］他的值为.

14.设曲线y=x'M(〃eN*)在点(1,1)处的切线与无轴的交点的横坐标为与，令a，,=lgx”,则

%++a>+...+%99的值为•

15.甲乙两地相距240初7,汽车从甲地以速度v(物匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的

运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为优元.为使全

6400

程运输成本最小，汽车应以km/h速度行驶?

22

16.若倾斜角为7的直线过椭圆会+春=l,(a>6>0)的左焦点尸且交椭圆于A,B两点,

若|AF|=3|M|,则椭圆的离心率为.

四.解答题(共6小题)

17.已知点P(2,0)及圆C:Y+y2-6x+4y+4=0.

(1)若直线/过点P且与圆心C的距离为1,求直线/的方程.

(2)设直线依-、+1=0与圆C交于A,3两点，是否存在实数。，使得过点尸(2,0)的直

线4垂直平分弦至？若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.

18.已知函数/(X)=x—(o+l)〃比一旦(a>0).

X

(1)当4=3时，求/(尤)的单调区间；

(2)讨论了(元)的极值.

19.已知｛%｝是递增的等差数列，q=3,且须，%，%成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

（2）设数列1的前〃项和为（,，求证：-„Tn<-.

[a„an+iJ156

20.已知过圆£:炉+>2=1上一点的切线，交坐标轴于A、3两点，且A、3恰

22

好分别为椭圆C,:「+==1（。>6>0）的上顶点和右顶点.

ab

（1）求椭圆C?的方程；

（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、HV分别交椭圆于M、N两点，若直线

建V过定点。（-1,0）,求证：PMA.PN.

21.已知数列｛%｝为等差数列，S2=0,Ss-S3=21.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（II）设勿=」一，求数列电｝的前〃项和7；.

aa

„„+i

22.已知函数/（x）=/nx-ox+（x-2）e".

（1）当，=1时，求曲线y=/（x）在点（1,f（1））处的切线方程；

（2）当a..l时，/（X）,,6对任意的xeg,1）恒成立，求满足条件的实数6的最小整数值.

2022-2023学年南京市燕子矶中学高二第一学期期末考试

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.已知等比数列｛%｝中，出=2，%=4，则％=（）

A.8B.16C.32D.36

【解答】解：.•等比数列仅“｝中，%=2，%=4,

解得42,

[49=4

/==4x22=16.

故选：B.

2.过抛物线>=2炉的焦点方作倾斜角为120。的直线交抛物线于A、5两点，则弦|AB|的

长为（）

21

A.2B.-C.-D.1

32

【解答】解：根据抛物线y=2/方程得：焦点坐标F（O,3,

8

直线AB的斜率为k=tan120°=-指，

由直线方程的点斜式方程，设4?:丫-工=-后

8

将直线方程代入到抛物线方程当中，得：2/+氐一L=0.

8

设A（%，％），3>2，%）

由一元二次方程根与系数的关系得：占+々=一等.

1

卒2-4

3（X]+%）=a+3

故选：A.

3.已知圆G：V+y2-4=0与圆C2：无2+y2-4x+4y-：12=0相交于A,3两点，则两圆的

公共弦|AB|=()

A.2A/2B.3忘C.y/2D.2

【解答】解：圆£:尤2+y2-4=o与圆C2：x2+y2-4x+4y-[2=o相交于A,3两点,

x2+y2=4

整理得

Y+/-4x+4y-12=0

所以直线的方程为尤-y+2=0，

|0-0+2|

所以圆心(0,0)至U直线*一y+2=0的距离d=

所以所截得弦长为21=26-2=2应，

故选：A.

4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的

非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2加时，水面宽8〃z.若水面下降1根，则水面

宽度为()

A.2娓mB.4娓mC.4丘mD.12m

【解答】解：根据题意，设该抛物线的方程为Y=_2处，

又由当水面离拱顶2加时，水面宽8加，即点(4,-2)和(T,-2)在抛物线上,

则有16=-2p(-2),解可得p=4,

故抛物线的方程为无2=一右，

若水面下降1〃?，即y=-3,则有尤2=24,解可得X=±2A/^,

此时水面宽度为2屈-(-2A/6)=4A/6,

故选：B.

5.若曲线C上存在点使M到平面内两点4-5,0),8(5,0)距离之差的绝对值为8,则

称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()

fV2

A.x+y=5B.x2+y2=9C.—+^-=1D.x2=16y

【解答】解：由题意知：Af平面内两点A(-5,0),8(5,0)距离之差的绝对值为8,

由双曲线定义知：M的轨迹以A,3为焦点的双曲线且o=4,c=5,即轨迹方程为：

VLi

169

22

“好曲线”一定与上-乙=1有交点，结合各选项方程的曲线知：

169

所以不是“好曲线”的是3.

故选：B.

6.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，4，4，用，鸟为椭圆顶点，F?为右

焦点，延长用鸟与人当交于点尸，若N4产生为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()

【解答】解：如图所示，尸层为人鸟与月片的夹角;

设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,

4坊=(—〃,》)9F2B[=(~c,—b)9

向量的夹角为钝角时，4坊・用4<0，

cic—v0,

又Z?2=_/2,

/—ac—>0;

两边除以"得1_-/>0,

即/+e—1v0；

冷刀汨_\一小^/5—1

斛得------<e<---------,

22

又Ovevl,

„J5-1

:.0<e<--------，

2

故选：c.

7.已知数列｛风｝的前〃项和为S“，4=1,当九.2时，an+2Sn_t=n,则S.等于（）

A.1008B.1009C.1010

【解答】解：由题意可得,当九.2时，2S=

an+K,1n,an+l+2Sn=n+\,

两式作差可得an+l-an+2an=l,

即%+i+%=1，

即当”..2时，数列任意连续两项之和为1,

据此可知S2021=1+3岁=1011,

故选：D.

8.若对任意正实数X,不等式02，（4-尤）,,1恒成立，则实数。的范围是（）

Aln21nln2,八1一

A.CL---1—H.CL,----FA1C.tz,In2TL）.d..

2222

【解答】解：因为不等式/（a—x）,,l恒成立，^＞0,

所以④3+X恒成立，

设/W=J+*，则6，/。）“向，

e

2

因为roo=--，

e

令ro）=o,则％=号，

In?

所以当xeyh时，小）＜。，“丁+8）时，小）＞。，

所以/（X）在（-00,当）上单调递减，在（写,+8）上单调递增，

;匚|、【、工/加2、1

所以/（x）加=/匕-）=5+ln32，

故选：A.

­.多选题（共4小题）

9.设4（&，乂）,B（X2,%）是抛物线y=4x上两点，o是坐标原点，若。i_Lae,下列

结论正确的为（）

A.必%为定值

B.直线AB过抛物线/=4尤的焦点

C.5凶。8最小值为16

D.O到直线的距离最大值为4

【解答】解：设直线43方程为x=/y+〃，，％),B(X2,y2),

将直线AB方程代入抛物线方程yI2*4=4.x,焦点坐标(1,0)

得y1—4〃zy—4H=0,

贝。%+%=4机，=~^n，

OAJ_OB>k-k=~=------；---------5-----y=-1，〃=4.

OAOB%%-4m2n+Wn+/i2

于是直线AB方程为工=冲+4,该直线过定点(4,0).故A正确;

焦点坐标不满足直线方程，所以3不正确；

%%=-4n=-16，

I靖+才•收2+%2

44

12

=­XIX4、,2%,v：

2

1I%%IX.X«y；+16)(%2+16)

=­x

2

1

=­x

2

122

..；-x2716|yj|-2^/161y21=16.当且仅当|y|=|%1=4时，取等号,

2

SAAOB最小值为16-所以C正确;

4

O到直线的距离d=-^=,,4,当帆=0时，d取得最大值4,即D正确;

也+m2

故选：ACD.

10.以下四个命题为真命题的是()

A.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为>=-%+£

B.直线xcos0+^y+2=0的倾斜角的范围是[0,-]l\[—,左)

61^6

C.曲线C[:尤2+V+2尤=0与曲线C?:尤2+y?-©-Sy+m=0恰有一条公切线，则：〃=4

D.设P是直线x-y-2=0上的动点，过P点作圆O:V+y2=l的切线上4,PB,切点

为A,B,则经过A,P,。三点的圆必过两个定点

【解答】解：对于A,设直线方程为>-10=以x+10),可得横截距为-3-10,纵截距为

k

10)1+10,

10=4(10^+10),解得：左=—1或左=-；,二直线方程为y=—x或y=-；x+?,

故A错误；

对于3,由题设知直线的斜率左=一日cosee.•.直线的倾斜角的范围是[0,

-1[―,万)，故3正确；

66

对于C,曲线C]：(x+l)2,+y2=i,曲线C2：(x-2)2+(y-4)2=20-=>0,

它们恰有一条公切线，，它们内切，

，圆心距1=16。21=5/^奇V=5=l亚二五一1|，解得：m=-16,故C错误；

对于D,设点尸(根,机-2),根据切线的性质，可得AO_LR4,经过A,P,O三点的圆即

为以PO为直径的圆，则圆的方程为x{x-m)+y(y-m+2)=0,整理得：

22+y

(x+y+2y)-m(x+y)=0,令[天+2y_0,解得：x=y=o,或(天】,即经过A,

[x+y=0'[y=-1

P,O三点的圆必经过定点(0,0),(1,-1),故D正确，

故选：BD.

11.等比数列伍“}中，公比为q,其前〃项积为T“，并且满足%>1.%9.%。-1>0,93<0,

。100T

下列选项中，正确的结论有()

A.0<^<1

B.%—1<0

C.(00的值是T,中最大的

D.使7；>1成立的最大自然数〃等于198

【解答】解：对于A,佝9400一1>0，〉1(4/98)2.>1.

4>1,：.q>Q.

又&L<0,「.心>1，且qoo<1•

%00-1

/.0<^<1,故A正确；

对于8,1%9吗。1=。必，...0<须,〃<1,即—一1<0,故3正确；

(0<o100cl

对于C，由于40G=19,%00，而。<%00<1，故有4OO<(9，故。错误；

又寸丁，D，工98=%*02,•,^198=(%・"198)(々2・497)，，，("99・"100)=(^99*^100X99>1,

7^99=***^199—(6-^199)(02,^198^***C^99*^101^>^100V1，DJ-E^^•

不正确的是c.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=工，下列关于“X)的四个命题，其中真命题有()

e

A.函数/(x)在［0,1］上是增函数

B.函数/(无)的最小值为0

C.如果xe［0,/］时，/(x)„m=4-则f的最小值为2

e

D.函数/(x)有2个零点

【解答】解：4(瞥=武2.,当x<0或x>2时，f(x)<0,当0<x<2时，f'(x)>0,

ex

故/(x)在(-8,0),(2,+00)上递减，在(0,2)上递增，

故A正确；

当x=0时，/(x)=0,x¥0时，/(%)>0,故3正确；

当fe(0,2)时，人>)在［0,7］上递增，〃尤),,/(。<42)=当，不合题意；当"2时，f(x)„f

e

(2)=4-符合，当/>2时，/(元)在［0,2)上递增，在(2,〃上递减，所以/(元),，/(2)

e

44

=—,综上力.2时，f(x)^=—,故，的最小值为2,所以C正确.

ee

令/(x)=0可得％=0,所以/(%)只有一个零点，所以④。正确.

故选：ABC.

三.填空题(共4小题)

13.已知直线':2%+切+1=0与4：4mx+(m+l)y+2=0垂直，则加的值为。或-9_.

【解答】角军：直线《：2%+nty+l=0与乡：4mx+(m+l)y+2=0垂直，

/.2x4m+m{m+1)=0?解得加=0或zn=—9,

故答案为：0或-9.

14.设曲线y=V+i(〃£N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为％,令则

%+%+a2+•••+佝99的彳直—2•

【解答】解：曲线y=—(〃eN*),

/=(n+I)xn,fr(1)=n+l,

.,.曲线y=xn+1(〃£N*)在(1,1)处的切线方程为y-l=(n+l)(x-1),

该切线与X轴的交点的横坐标为七=品，

a.=lgx„，

/.an=Ign—lg(n+1),

••Id>2+•••I^^99

=(Zgl-/g2)+(Zg2-Zg3)+(Zg3-Zg4)+(Zg4-/g5)+(Zg5—/g6)+…+@999-ZglOOO)

=/gl—信1000=—3.

故答案为：-3.

15.甲乙两地相距240Am,汽车从甲地以速度式物i//i)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的

运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为—1—/元.为使全

6400

程运输成本最小，汽车应以km/h速度行驶?

【解答】解：设全程运输成本为y元,

由题意，得>=啊(160+」一丫3)=240(网+二一丫2),v>0,

v6400v6400

,1602、

y=240(---+——v).

v6400

令>'=0,得。=80.

当y>80时，y'>0;当0<uv80时，y'<0.

所以v=80时，笫而=720.

22

16.若倾斜角为看的直线过椭圆>会=l,m>6>0)的左焦点尸且交椭圆于A,3两点,

若|AF|=3|M|,则椭圆的离心率为—弓

【解答】解：椭圆左焦点F(-c,0),

直线4?的倾斜角为工，则斜率为且,

63

直线AB的方程为y=*(x+c).

y=#(x+c)

联立<得(/+3b2)y2-2也b^cy-b4=Q.

|/+3一1

s/3b2c+2ab2s(3b2c-2ab2

解得:a2+3b2'%=4+3-

IAF|=31BF|,/.yx=—3%.

即J3b2c+2ab2=-3x(闻c-2ab2),

即4耳2c=4/，

解得：e=£=且，

a3

故答案为：—.

3

四.解答题(共6小题)

17.已知点P(2,0)及圆C:f+y2-6x+4y+4=0.

(1)若直线/过点尸且与圆心C的距离为1,求直线/的方程.

(2)设直线6-y+l=0与圆C交于A,3两点，是否存在实数。，使得过点尸(2,0)的直

线垂直平分弦AB?若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)设直线/的斜率为左(左存在)，则方程为〉-0=后0-2),即履-y-2左=0.

又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,由13左=2<=],解得％=/.

所以直线方程为y=-』(x-2),即3x+4y-6=0.

当/的斜率不存在时，/的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.

综上所述，直线/的方程为3尤+4丫-6=0或x=2；

(2)把直线y=ox+l代入圆C的方程，消去y,整理得(a2+1)尤,+6(a-l)x+9=0.

由于直线ar-y+1=0交圆C于A,3两点，

故△=36(4-1)2-36(片+1)>0,解得。<0.则实数。的取值范围是(-oo,0).

设符合条件的实数a存在.

由于乙垂直平分弦AB，故圆心C(3,-2)必在上.所以的斜率须c=-2.

而kAR=a=----，所以a=1.

kPC2

由于ge(-co,。)，故不存在实数a,使得过点尸(2,0)的直线乙垂直平分弦AB.

18.已知函数/(1)=x—(a+l)/nx—@(a>0).

x

(1)当a=3时，求/(%)的单调区间;

(2)讨论了(%)的极值.

【解答】解：(1)当a=3时，f(x)=x-4lnx——，

x

皿|,，/、143x2—4x+3(x-3)(A:—1)

则/(X)=l——+-y=----2——=-----7-----，

XXXX

由/'(x)>0,得0<%<1或犬>3；由/'(x)vO,得lv光<3.

所以了(%)的单调递增区间为(0,1),(3,^o),单调递减区间为(1,3).

当avl时，/(%)的单调递增区间为(0,a),(l,+oo),单调递减区间为(a,l),

故此时/(%)的极大值为/(a)=a-l-(a+X)lna,极小值为/(1)=l-a；

当a=l时，/(%)..0,即/(%)在(0,+00)上单调递增，此时/(%)无极值；

当々>1时，/(%)的单调递增区间为(0,1),(Q,+OO),单调递减区间为(l,a),

故此时了(%)的极大值为/(1)=1-々，极小值为/(a)=a-l-(a+T)lna.

综上，当QVI时，/(兀)的极大值为/(a)=a-l-(a+l)lna,极小值为/(1)=l-a；

当a=l时，/(%)无极值；当々>1时，/(%)的极大值为/(1)=l-a,极小值为/(a)

=a—l—(a+1)Ina.

19.已知｛%｝是递增的等差数列，q=3,且％3，%，q成等比数列.

（1）求数列｛%,｝的通项公式;

（2）设数列1的前〃项和为T,,求证：-„Tn<~.

[a„an+iJ156

【解答】解：（1）设｛%｝的公差为〃，｛%｝是递增的等差数列，%=3,且a*，生成

等比数列,

2

所以aj=q,o13n(3+3<Z)=3(3+12d)=>相—2d=0,

因为｛%｝是递增，所以d>0,故4=2,所以。“=2”+1,

所以数列｛a/的通项公式为4“=2〃+1；

证明：(2)-^―=-------------=-(-......—),

anan+l(2n+1)(2〃+3)22n+12n+3

因为数列]的前〃项和为7；，

1A+iJ

所以n4（7g）+g_；）+

+(-----------)]——(--------)

2〃+12〃+3232〃+3

因为一^单调递减，所以7；单调递增,

2〃+3

故当〃=1时，(7X„,=T;=A1

,MT;,

n232〃+36

故LTn<-.

15“6

20.已知过圆G：/十9=1上一点的切线，交坐标轴于A、5两点，且A、区恰

22

好分别为椭圆4=1（。>6>0）的上顶点和右顶点.

ab

（I）求椭圆C2的方程;

（2）已知尸为椭圆的左顶点，过点尸作直线PM、PN分别交椭圆于A/、N两点，若直线

ACV过定点。（-1,0）,求证：PM1PN.

【解答】解：⑴设过点吟争的切线方程为尸手=稔-3,即点一了+日一夫=0,

因为圆心到直线的距离等于半径，

I3一

所以二1,解得左=一且，

VF7T3

所以切线方程为-3x-y+2/=0,

33

令x=0,得、=孚，A（0,羊），

令y=0,