提分微课(05)-将军饮马问题

提分微课（五）将军饮马问题第七单元图形的变化

将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.常见的几种类型如下:类型一一定直线,同侧两定点

点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.

解决方法:作点A关于直线l的对称点A'.连接A'B,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图W5-11.如图W5-2,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为

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图W5-2

2.如图W5-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是

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图W5-3

3.如图W5-4,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为

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图W5-4图W5-55.[2018·遵义]如图W5-6,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为

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图W5-6图W5-7类型二一定点,两定直线

P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.

解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.图W5-87.如图W5-9,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是 (

)A.25° B.30° C.35° D.40°图W5-9[答案]B8.如图W5-10,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (

)A.50° B.60° C.70° D.80°图W5-10[答案]D[解析]分别作A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,所以∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″=2(∠AA'E+∠A″)=2∠HAA'=100°,所以∠EAF=180°-100°=80°,故选D.9.如图W5-11,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的△DEF.图W5-11解:将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D',D″,连接D'D″交AC,BC于点E,F.此时△DEF的周长等于D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角不变,即∠D'CD″=2∠ACB,因此为使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,显然当CD⊥AB时,CD最小,从而△DEF的周长最小.10.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.图W5-1210.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(2)求AD的长;图W5-12(2)由折叠得DE=AD,BE=10-6=4,BD=8-AD,在Rt△DBE中,DE2=BE2+BD2,∴AD2=42+(8-AD)2,解得AD=5.10.如图W5-12,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标.图W5-12类型三两定点,两直线图W5-13

P,Q是∠AOB内两定点,分别在边OA,OB上寻找点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.

解决方法:分别作P关于直线OB的对称点P',Q关于OA的对称点Q',连接P'Q',与OA,OB的交点即为所求点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.11.如图W5-14,四边形OMCN是矩形台球桌面,有黑白两球分别位于B,A两点的位置上,试问怎样撞击白球,使白球依次碰撞球台边OM,ON后,反弹击中黑球?图W5-14解:作法:(1)作点A关于OM的对称点A',点B关于ON的对称点B';(2)连接A'B',交OM于P,交ON于Q.则沿AP方向撞击白球即可.类型四两动两定型(造桥选址问题)图W5-15

已知A,B是两个定点,直线m∥n,m,n之间的距离为d,分别在直线m,n上找点M,N,使得AM+MN+BN的值最小.

解决方法(平移原理):将点A向下平移d个单位长度至A',连接A'B,交n于点N,过点N作NM⊥m于点M,连接AM,此时AM+MN+BN的值最小.12.如图W5-16,已知A,B是两个定点,在定直线l上找两个动点M与N,且MN等于定长d(动点M位于动点N左侧),使AM+MN+NB最小.图W5-16解:如图所示,点M,N即为所求.类型五线段差的绝对值最大图W5-17 (1)如图W5-17①,A,B两点在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.

解决方法:连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求. (2)如图②,A,B两点在直线l的异侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.

解决方法:作其中一点关于直线l的对称点,转化为点在直线同侧的线段差最大问题.13.如图W5-18,A,B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AM=4,点B到直线l的距离BN=1,且MN=4,P为直线l上的动点,则|PA-PB|的最大值为

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图W5-18[答案]5

[解析]作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长交直线l于P.∴B'N=BN=1,作B'D⊥AM于D,利用勾股定理求出AB'=5,∴|PA-PB|的最大值为5.14.已知:如图W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(1)直接写出点D的坐标.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W5-1914.已知:如图W5-19,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,O