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文档简介

2023-2024学年湖南省岳阳市三校高考仿真卷数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数x,y满足,则的最小值等于()A. B. C. D.2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则3.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.4.抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A.8 B.6 C.4 D.25.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.6.若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图像可能是()A. B. C. D.7.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称8.已知集合,,则集合的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.39.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.10.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数:___________.14.已知数列的前项和为且满足,则数列的通项_______.15.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______.16.若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知分别是椭圆的左焦点和右焦点,椭圆的离心率为是椭圆上两点,点满足.(1)求的方程;(2)若点在圆上,点为坐标原点,求的取值范围.18.(12分)已知关于的不等式有解.(1)求实数的最大值;(2)若,,均为正实数,且满足.证明:.19.(12分)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.20.(12分)设,,,.(1)若的最小值为4,求的值;(2)若,证明:或.21.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.(1)当时,求的面积;(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设,,去绝对值,根据余弦函数的性质即可求出.【详解】因为实数,满足,设,,,恒成立,,故则的最小值等于.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质,考查了运算能力和转化能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、C【解析】

在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.3、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.【详解】如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,∴.正三棱锥外接球球心必在上,设球半径为,则由得,解得,∴.故选:D.【点睛】本题考查球体积,考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.4、A【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4,双曲线C:x28-y24【点睛】本题考查三角形的面积的求法,注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.5、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.6、B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.7、C【解析】

依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.8、D【解析】

转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得,,集合的真子集的个数为个.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.9、B【解析】

可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.10、A【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.11、A【解析】

结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.12、D【解析】

分别求出球和圆柱的体积,然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为,则,所以圆柱的体积.又球的体积,所以球的体积与圆柱的体积的比,故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解,侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、231,321,301,1【解析】

分个位数字是1、3两种情况讨论,即得解【详解】0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有:(1)当个位数字是1时,数字可以是231,321,301;(2)当个位数字是3时数字可以是1.故答案为:231,321,301,1【点睛】本题考查了分类计数法的应用,考查了学生分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.14、【解析】

先求得时;再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,,解得;由,可知当时,,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.15、【解析】

由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果.【详解】设,,,则,由,得,代入椭圆方程,得,化简得恒成立,由此得,即,故.故答案为:【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题.16、【解析】

利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)根据焦点坐标和离心率,结合椭圆中的关系,即可求得的值,进而得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程为,由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程,由韦达定理表示出,由判别式可得;由平面向量的线性运算及数量积定义,化简可得,代入弦长公式化简;由中点坐标公式可得点的坐标,代入圆的方程,化简可得,代入数量积公式并化简,由换元法令,代入可得,再令及,结合函数单调性即可确定的取值范围,即确定的取值范围,因而可得的取值范围.【详解】(1)分别是椭圆的左焦点和右焦点,则,椭圆的离心率为则解得,所以,所以的方程为.(2)设直线的方程为,点满足,则为中点,点在圆上,设,联立直线与椭圆方程,化简可得,所以则,化简可得,而由弦长公式代入可得为中点,则点在圆上,代入化简可得,所以令,则,,令,则令,则,所以,因为在内单调递增,所以,即所以【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法,直线与椭圆的位置关系综合应用,由韦达定理研究参数间的关系,平面向量的线性运算与数量积运算,弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用,计算量大,属于难题.18、(1);(2)见解析【解析】

(1)由题意,只需找到的最大值即可;(2),构造并利用基本不等式可得,即.【详解】(1),∴的最大值为4.关于的不等式有解等价于,(ⅰ)当时,上述不等式转化为,解得,(ⅱ)当时,上述不等式转化为,解得,综上所述,实数的取值范围为,则实数的最大值为3,即.(2)证明:根据(1)求解知,所以,又∵,,,,,当且仅当时,等号成立,即,∴,所以,.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题,是一道中档题.19、(1)直线l的普通方程为x+y-4=0.曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】

(1)将直线l参数方程中的消去,即可得直线l的普通方程,对曲线C的极坐标方程两边同时乘以,利用可得曲线C的直角坐标方程;(2)求出点到直线的距离,再求出的弦长,从而得出△MON的面积.【详解】解:(1)由题意有,得,x+y=4,直线l的普通方程为x+y-4=0.因为ρ=4sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,两边同时乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因为,所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原点O到直线l的距离直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面积S=|MN|×d=4.【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,解题的关键是正确使用这一转化公式,还考查了直线与圆的位置关系等知识.20、(1)2;(2)见解析【解析】

(1)将化简为,再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出的值;(2)根据,即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范围.【详解】解:(1)由题可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用基本不等式和放缩法求最值,考查化简计算能力.21、(1);(2)或【解析】

(1)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点的横坐标,由此求得三角形的面积.(2)法一:根据的坐标求得的坐标,将的坐标都代入椭圆方程,化简后求得的坐标,进而求得的值.法二:设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系,结合求得点的坐标,进而求

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