双曲线的简单几何性质教案1 人教课标版

《双曲线的简单几何性质》教案

撰写：刘文文审核：胡海欧

三点剖析:

一、教学大纲及考试大纲要求：

.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质.

.掌握标准方程中a,。,c•的几何意义.

.能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题.

­.重点与难点

教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.

教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得

出过程

三.（）本节知识理解

椭圆双也3线

2丁22

X上+工=Y-1

方程——+—=11下『I

6Z2b-a2b2

(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)

;1/干

图形--------of-~X

T

顶点坐标（±）（,±）(±)(,+)

（,±）（±）

对称轴

焦点坐标（±）（，士）(±)（，士）

对称中心(,)

离心率6=£且0<6<1e=£且《<1

aa

a2a2,a2

准线方程x=±—x—土——y=±-

c

渐近线方,b,a

y=±—xy=±—x

程ah

（）要点诠释

.范围、对称性

由标准方程二-「=1,从横的方向来看，直线之间没有图象，从纵的方向来看，随着

a~b~

的增大，的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线•双

曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.

.顶点

顶点：4（。,0）,4（-a,0）

特殊点:用（0向,与（0,一6

实轴：44长为2a,叫做实半轴长.

虚轴：与长为，叫做虚半轴长.

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.

.渐近线

22

过双曲线5-斗=1的两顶点4,4，作轴的平行线％=乜，经过片,名作轴的平行线

y^±b,四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是y=±-x（-±^=0）,

aab

这两条直线就是双曲线的渐近线.

.等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的性质：（）渐近线方程为：y=±x；（）渐近线互相垂直；（）离心率e=J5.

等轴双曲线可以设为：x2-y2=2（20）,当丸＞0时交点在轴，当丸＜0时焦点在轴

上.

.共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y=±2*=土及%（%＞（））,那么此双曲线方程就一定

aka

X2222

是:春7伏〉0）或写咋噎"

(ka)2

.双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置,

然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一

部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.

.离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e=上^=£,叫做双曲线的离心率.范围：e＞l

2aa

双曲线形状与的关系：k,即渐近线的斜率的

绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它

的开口就越阔.

.共辗双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共加双曲

线.区别：三量中不同（互换）相同.

共用一对渐近线.双曲线和它的共辄双曲线的焦点在同一圆上.

确定双曲线的共扼双曲线的方法：将变为.

共用同一对渐近线y=±Zx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为

---4=2（200）,当2>0时交点在轴，当；1<0时焦点在轴上.

［及2

・双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线/的距离之比为常数e=£（c>a>0）的点

a

的轨迹是双曲线.其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线.常数是双曲线的

离心率.

.准线方程:

对于二•-三=1来说，相对于左焦点大（-。,0）对应着左准线人：x=-三，相对于右焦点

abc

2

F2(C,0)对应着右准线12-.X=—；

c

位置关系：忖2。><>°・焦点到准线的距离/?=发（也叫焦参数）.

CC

对于「一餐=1来说，相对于上焦点£（0，—c）对应着上准线4：卜=一幺；相对于下焦点

crbc

a2

入（o,c）对应着下准线乙：丁

.双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点与双曲线焦点大，入的连线段，叫做双曲线的焦半径・

焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线

22

―f-—1（6/>0,/?>0）,

ab-

月,尸2是其左右焦点・

则由第二定义：网”=eMF

•••,^'\,=e:.\MFt\=\a+ex0\

4h+y

同理1A/闾=|a-ex0|.

即有焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：

.用=|a+ex0|

,[MH"%|

同理有焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：

/ME|=|「+e)，oI(其中FF,分别是双曲线的下上焦点)

\\MF2\^\a-ey0\-

点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值,

需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加(带绝对值号).

.焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦.

焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：

设两交点A(xt,yt)B(x2,y2)

当双曲线焦点在轴上时，

焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

过左焦点与左支交于两点时：=-2a-e(xi+x2).

过右焦点与右支交于两点时：q=-2a+e(X1+x2).

当双曲线焦点在轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：|AS|=-2a-e(y|+%)•

过右焦点与右支交于两点时：|4@=-2。+6(,+%)。

.通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.

直接应用焦点弦公式，得到d=空.

a

.直线与双曲线的位置关系

精题精讲

【例】求双曲线％2-匕=1的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并

4

作出草图.

分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答.

X2y~

解：把方程化为标准方程J-二=1

由此可知，实半轴长=,虚半轴长=.

顶点坐标是（一，），（，）

c7a2+及=J〃+22=君焦点的坐标是（一石,）,（V5,）.

渐近线方程为±±上=0,即丁=±2北

12•

22

【例】求与双曲线看一^=1共渐近线且过A（3j5,-3）的双曲线的方程.

分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求

得的值即可.

22

解：设与二一与,=1共渐近线且过43石3）的

4232

22

双曲线的方程为「一t=

4232

（3回（_3/11

则---r------7—=，，从而有X=—.

423216

所求双曲线的方程为占-4二=1.

1199

【例】求双曲线9y2-16/=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解：把方程化为标准方程

4232

由此可知，实半轴长=,虚半轴长=.

c=7«2+b2=，下+3）=5

焦点的坐标是（，-）,（,）.

离心率e————

a4

34

渐近线方程为X=±[＞，即丁=±1》.

【例】双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小

半径为，上口半径为，下口半径为，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确

到1m）.

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最

小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最

小截口直径所在直线为轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

解：如图所示，建立直角坐标系，使小圆的直径'在轴上，圆心与原点重合.这时，上、下

口的直径'、'平行于轴，且'X（）,'x（）.

设双曲线的方程为0―2亏=1（a>0,b>0）.

a-b-

令点的坐标为（，）,则点的坐标为（，-）.因为点、在双曲线上，所以

222

250-55)2=1①且丁13y/1②

127八2

解方程组，得

5b

y=—（负值舍去）

12

252

代入方程①，得二一-J—=1.

122h2

化简得

H—=③

解方程③（使用计算器计算），得

%（）.

22

所以所求双曲线方程为e--工=i.

144625

点评：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题：（）选择

适当的坐标系；（）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.

【例】点（）与定点（）的距离与到/：X=幺的距离之比为常数£（c>a〉0），求的轨迹方程.

ca

解：设是点到直线/的距离.根据题意得

7（x-c）2+y2c

化简，得「一鼻=1（。>0力>0）

ab

这是双曲线的标准方程.

［例］】已知双曲线的离心率为，求它的两条渐近线的夹角.

【解】设实轴与渐近线的夹角为。，则。，即。4

2

,九.2

・・<7—a—JI

33

...两渐近线的夹角为〃一女2〃王冗.

33

【点评】（）离心率与。的关系即。工.

e

2

O要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为上兀

3

【例】设点到点（，）、（，）的距离之差为2m,到轴、轴的距离之比为，求的取值范

由期意储列

【解】设点的坐标为（，），即土G）.

|x|

二、、三点不共线

*/>,«.

22

.•.点在以、为焦点、实轴长为的双贡线上".二-一J

m\—m

2/1八

把土代入并整理得哈彩

22

・・・£>,・,・一m-(~l-~m~)

l-5/n25

u(,好),

即的取值范围是（"V5，）

5

X2

【点评】审清题意,列出土（W）及丁一的解题的关键.

m1-m2

【例】如图一，已知梯形中，II=II,点分有向线段AC所成的比为3双曲线过、、

三点，且以、为焦点，当上2W4〈3三时，求双曲线离心率的取值范围.

34

X2

【解】建立如图所示的直角坐标系,设双曲线方程为三=.图一

a

•.•双曲线经过点、，且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称.

依题意，记(一，)，(£,力)，E(,),

2

其中,，是梯形的高.

2

由定比分点坐标公式得=(A~2)CAh

2(1+2)T+I

・・,点、在双曲线上，将点、的坐标和上代入双曲线方程

a

得：

①

~4

e2A-2尸-七可②

4A+1

2

由①得：^=---1代入②并整理得：4=e-l

bz4e2+2

2322

又会444士，得：e-I3

343e?+24

解得V7ww回

...双曲线离心率的取值范围为［6,厢］

r»'17、.e1—1'—risfrTfaAL_1+22—2+2,A,+33

.［点评］4=F——也可整理为=------=-------------=-------2

e2+21-21-21-A

观察知行WW回.

【例】等轴双曲线的两个顶点分别为、，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于、两点.

求证：

()/+/=°：

()_L,±,

x2

【证明】()不妨设等轴双曲线的方程为'

a

设直线的方程为(>)

如图一易求得

7a2+〃)图一

a+b

y/b2-a2lb-i-a

b-ah-a

]

tanNA2X

=（土一N）

2

又N,/均为锐角

・・・N=0-Z,即N+N=°

根据对称性，：.ZIM+Z2M=°

（）仿（）可求得（，—“2_。2）

--〃2“2―〃2

**kMA.=-7~-------------------7----------------=一

-b+ab-a

同理可证，.

【点评】利用对称性把要证等式转化为证明N+/=°为本题证明的突破口，体现转化

意识.

22

【例】已知双曲线＞）的焦点坐标是（一）和（）（）是双曲线上的任一点，求

a'b'

证III1,1II-I,其中是双曲线的离心率.

22

【证明】双曲线三一与的两焦点（一）、（），

a~h~

22

相应的准线方程分别是一幺和幺.

CC

•・,双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.

闸II叫

-------7T=e,-------r=e.

a~cr

X（）+——工0-----------

C|C

化简得：IIII,III-I.

【点评】II、II都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.IgI,III—I

称作焦半径公式.

X2V2

【例】在双曲线2-上求一点，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.

169

【解】设点的坐标为（），、分别为双曲线的左、右焦点.

:双曲线的准线方程为土史.

VIIII,

...在双曲线的右支上,

•2|PF2|_|PF2|.48

**16-16'5・

%+—x-

55

把史代入方程工-上得：

5169

±|VH9.

所以，点的坐标为（日，±|Vn9）

【点评】此题也可用焦半径解答.

【例】己知、是过点（血，）的两条互相垂直的直线，且、与双曲线各有两个交点，且分别

为、和、.

o求的斜率的取值范围；

o若恰是双曲线的一个顶点，求的值.

分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线

被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）.前一个问题的思想是：直线

,直线方程

与双曲线相交于两点O方程组4有两解；丫一元二次方程有两个不等的实根

‘双曲线方程

O判别式△＞；后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程

后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即

一工2）-+（,-、2）-

22

y11+k•yj（x]+x2）—4X1X2

（其中为直线的斜率）.

解：（）据题意，、的斜率都存在，

因为过点（、反，），且与双曲线有两个交点，故方程组

y=&i（x+&）（&]*0）,

y2-X1=1

有两个不同的解.

在方程组①中，消去，整理得

（）V2.②

若，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故W,即W.

方程②的判别式为

△（V2）（）（）

0.

设的斜率为，因为过点（、分，），且与双曲线有两个交点，故方程组

y=k2(x+y/2\k2^0),

y2-x2-1

有两个不同的解.

在方程组③中消去，整理得

()V2.④

同理有#,△().

因为，，所以有•，于是、与双曲线各有两个交点的充要条件是

3占2-1>。，

3网2-1>0,

喧叫=-1,解得《〈出上点

I

L，

也1*1.

G("\/3，)U(,------)U(-------J)U(,y/3).

33

()双曲线的顶点为(，)、(，)，取(，)时，有

(V2).

解得V一2.

2

...工=一行，代入方程④得

V2.⑤

设与双曲线的两个交点的坐标为()、(),

则山.

2

J1+/•-J(X1+x2)-4x^2

7(-4A/2)2-12=2V15.

当取(，)时，由双曲线关于轴对称，知

过双曲线的一个顶点时，岳.

注意：直线方程与双曲线方程消去后，得()、历，绝对不能忽视对是否为零的讨论,

仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论△和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程

中用反证法证一下W是非常必要的.

基础达标：

.（年高考文科卷第小题）双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点\、，,则双曲线的离心

率为（）

-^6

'~T'~T'~T

答案：

.中心在坐标原点，离心率为9的圆锥曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（）

3

±5±1±1±3

453-4

【解析】

a3a29a3

•.•双曲线的焦点在轴上，

双曲线的渐近线方程为土区.

b

・・・所求双曲线的渐近线方程为土三3.

4

【答案】

2

以土一为渐近线的双曲线方程不可能是（）

3

X（XW且入W）

【答案】

2

,焦点为（，）且与双曲线三一有相同渐近线的方程是（

)

2

厂22222工2厂22

------y--=]-y------x-=[--y------=[-------y-=]

1224,1224-2412,2412

22

【解析】设所求双曲线的方程为二-汇.

222

二•双曲线的一个焦点为（，）在轴上,

:.HV,——A——A9A——.

22

，所求双曲线方程是汇-二=1.

1224

【答案】

2222

・双曲线4与与-jy入（入H）有相同的（

a2b2a2

.实轴.焦点.渐近线.以上都不对

【答案】

.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的五倍，且一个顶点的坐标为（，），则双曲线

的标准方程为（)

22222222

%y-y厂i>厂1y

T~48~~8r

a=2

【解析】由方程组上〃+2。=收・2。

a2+b2=c2

得.

・・,双曲线的焦点在轴上，

22

.•.双曲线的标准方程为二-L.

44

【答案】

.双曲线与楠圆二+”有相同的焦点，它的一条渐近线为一，则双曲线方程为（）

1664

---160----

22

【解析】由椭圆二+2-得其焦点坐标为（，一石）、（，V3）.

1664

，双曲线的焦点在轴上，

•.•双曲线的一条渐近线为一，

而5

：.（y/3）2a,

,,，

...双曲线的方程为一.

【答案】

.实轴长为右且过点（，一）的双曲线的标准方程是（）

x2y22yx22xy22yx2

20-7620-l6T6-207?-20

【解析】:Z石,石，

双曲线的焦点在轴上时，则应有双曲线上的点的横坐标应满足II》店.

而点的横坐标为，不满足II》店.

.•.双曲线的焦点应在轴上.

27

设双曲线的方程为"-0.

20b2

；点（，一）在双曲线上，

.254.

20b2

...双曲线的方程为广—2.

2016

【答案】

.双曲线的离心率为正，则双曲线的两条渐近线的夹角是（）

【解析】由特征三角形知，,

V22

二/。，

•••两渐近线的夹角为。.

【答案】

22

・双曲线的准线方程为（）

a2h2

土±"±±从

>ja2+b2yJa2+b2y/a2+b2yla2+b2

【解析】•••双曲线的焦点在轴上，

2

・・・双曲线的准线方程为土导

yja2+Z?

【答案】

2

.双曲线^/--V'的焦点到准线的距离是（）

97

7257T2523T9

444444

【解析】

双曲线的焦点坐标是（土，），准线方程是土乙9.

.•.双曲线的焦点到准线的距离为一=0='7和+N925.

4444

【答案】

.准线方程为土，离心率为五的双曲线的方程是（）

-----2---------

【解析】•.•双曲线的准线方程为土，离心率为五，，双曲线的焦点在轴上，方程是标

准方程，且空,£=啦.

.••双曲线的方程为一二+汇.

22

即一.

【答案】

22

.如果双曲线二-二上一点到它的右焦点的距离为，那么到它的右准线距离是（）

6436

75

【解析】双曲线的离心率设所求距离为，则§=』,...四.

«84445

【答案】

22

.双曲线^--匕•=1的实轴长等于，虚轴长等于，焦点坐标是，离心率是，渐近线方程是.

54

3752^/5

答案：眄F(,),(,)

.双曲线一的一条准线是，则的值为.

【解析】可知双曲线的焦点在轴上

22

双曲线方程可化为卷-今，

mm

:准线是・・・

即_21口

mVm

解得一M4.

3

【答案】一上4

3

.已知双曲线的离心率等于，且过点(,),此双曲线标准方程是.

222

答案：/_"=1或5_二=]

32323

T

.双曲线的焦距是两准线间距离的倍，则此双曲线的离心率等于.

ry2

【解析】・・・2cX旦.・・4%

c

V

【答案】

3

.已知双曲线的渐近线方程为土则双曲线的离心率为.

4

【解析】♦.•双曲线的渐近线方程为士±3，，b上;三3或b巳=4?.当b巳=3?时，5-；当b上=二4

4a4a3a44a3

时，-

3

【答案】2或9

43

y~

.若点在双曲线1上，则到双曲线的渐近线的距离的取值范围是.

9

【解析】双曲线的一条渐近线的方程是，由渐近线的性质知，当点是双曲线的一个顶点

时，到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是（土，），.•.到渐近线的距离的最大值为

|3-0|3V10

VioHo_1

,3加,

【答案】［,-—］

.已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线的离心率为.

［解析】2a,^a2+b2V2.A-V2.

a

【答案】V2

22

.求与双曲线之一匕有共同的渐近线，并且经过点（一，百）的双曲线方程.

916

22

【解】J•所求双曲线与双曲线工-汇有相同的渐近线，

916

22

可设所求双曲线的方程为二-二女儿W）.

916

丁点（一，百）在双曲线上，

..（-3）2（2石）21

•・A---------=—.

9164

...所求双曲线的方程为《-亡.

94

4

.双曲线《—片与直线一只有一个公共点，求的值.

94

【解】直线一过（，一）点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐

近线平行或直线与双曲线相切.

当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是土』.

3

：.±-.

3

’22

三-上=1

当直线与双曲线相切时，94一=（一）+—=

y=kx-\

△=即()+•(—)•=

解之：=±—

3

综上可知：=±2或=土』I.

33

22

.过双曲线二-汇=的右焦点作一条渐近线的平行线，它与此双曲线交于一点，求与双曲线

916

的两个顶点、'所构成的三角形的面积.

【解】双曲线的右焦点为（，）,渐近线方程为1±±=.

尸*5）

由22得二—三・

x2V15

=1

916

,SAW，=^2a-|y|=y.

.双曲线与圆有公共点（，），圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.

【解】：点与圆心的连线的斜率为,，.•.过的切线的斜率为.

4

双曲线的渐近线方程为土.

2

设双曲线方程为x二人.•・•点（，）在双曲线上，・・・1」-入，人2上55.

161616

2,2

.•.双曲线的标准方程为青-J.

255255

16

综合发展：

一对共辄双曲线的离心率分别是和，则的最小值为（）

.V2V2

解析：设这对共轨双曲线的方程为

龙2y2y2x2

-5------=1和-------=1(>>)

a2b1b2a2

.y/a2+b2J/+b-

ah

..a2+b2a2+b2,a2+h2

：.0——；—+———+2----------

a"b~ab

=2+玛+4)+2心+令

ab~ab

》x

当且仅当时，等号成立.

从而当时，取得最小值，

而且最小值为行.

答案：

3

.一条双曲线的两条渐近线的夹角为一，则该双曲线的离心率为（）

2

4

解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是0,

则。士，从而

424

一，或巴

2ah

a4h4

或e=

即：±或2

43

答案：

.双曲线的两个焦点分别是（，一）、（，），离心率为，则双曲线的方程为（）

9x29y29y29x29x29y29y29x2

而一正而一商F-而72?-7OO

【解析】V,-,

.12

"T

125

V

:双曲线的焦点在轴上,

双曲线的方程为乐

~9~V

【答案】

.平面内动点到两定点、的距离的差的绝对值是常数2a,则动点的轨迹是（）

.双曲线.双曲线或两条射线

・两条射线.椭圆

【解析】2«II时为两条射线；2«<II时为双曲线.

【答案】

.如果双曲线经过点（，有），且它的两条渐近线方程是土，那么该双曲线的方程是（）

x2x2x2x2y2

VTT

【解析】设双曲的方程为二人，•••点（，J5）在双曲线上，...二（、回）入，X.

99

【答案】

22

.设双曲线毛-勺=（<<）的半焦距为，设直线过（）和（，）两点.已知原点到直线的距离

crb~

为旺,则双曲线的离心率为（）

4

,73.V2.迪

3

【解析】由题意：—,/.（-）=—

416

整理得：一+=,解之得=或=?4

3

又<<=><—2=>c>2a=>>

故=,.

【答案】

.已知双曲线的渐近线方程为土，一条准线方程为，则双曲线的方程为（）

>2x2x2y2y2x2x2y2

VI?Tl?V25T-25

b4a292x2

【解析】由2=2及L=得，，，.•.双曲线的方程为2v----------.

a3c5916

【答案】

%2y2

.如果双曲线——二上一点阵字库到左焦点的距离为，则到右准线的距离为（）

25144

702595

-B1313

【解析】双曲线的离心率为二13.设点的横坐标为，则由焦半径公式得

5

B13.70

5513

右准线的方程为一，，到右准线的距离为-------.

【答案】

.双曲线的焦点是(土病)，渐近线方程是±3,则它的两条准线间的距离是()

2

【解析】•/726,-=-',二=2,两准线间的距离为生=刍宿.

a2a24-c13

【答案】

.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()

【解析】VX—=lx2c,

c3

:.3=6

a

【答案】

.已知点在双曲线-------上，则(

916

到双曲线中心的距离的最小值为

到双曲线的准线的最小距离为

到双曲线的焦点的最小距离为

到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值

【解析】•・•，，.•.....双曲线的一个焦半径公式为上c士5.

：2或・，.•.当时，.

【答案】

.对于双曲线>J4?+从)填充下列各题:

()它的准线与渐近线交点到中心的距离等于；

()它的焦点到渐近线的距离等于；

()它的虚轴的端点到顶点的距离等于；

()它的焦点到相应准线的距离等于；

()当离心率并五时，用表示两渐近线的夹角的正切的表达式是.

b22-Je2-1

【答案】()()()()—()；「

c2"

.准线方程为，相应的焦点为(,)的等轴双曲线方程是.

【解析】等轴双曲线的离心率后，由双曲线的第二定义,

K+y-1

得方程为7(x-l)2+(y-l)2=V2.，化简吟

【答案】-

2

22

.双曲线「-与的准线和渐近线的交点到双曲线中心的距离等于.

02h2

【答案】

22

.双曲线二-2-上有点，、是双曲线的焦点，且/工，则△的面积是.

1693

【解析】,：2a2c,

/.（I1-1I）,①

在中，由余弦定理得IIII-II•II工②

3

①一②并整理得II•II.

*'•S&F、PF,^।।•II•

~23

3

【答案】V3

.已知双曲线一上一点到左右焦点的距离之比为：，求点到右准线的距离.

阀1=小用

【解】设、分别为双曲线的左、右焦点，则有