几种特殊类型函数的积分

关于几种特殊类型函数的积分定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.一、有理函数的积分即称此有理函数是真分式；称此有理函数是假分式；机动目录上页下页返回结束第2页,共65页，2024年2月25日，星期天利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。说明：机动目录上页下页返回结束第3页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第4页,共65页，2024年2月25日，星期天（1）分母中若有因式，则分解后含有下列项:则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式,其中具体步骤如下：机动目录上页下页返回结束第5页,共65页，2024年2月25日，星期天四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分机动目录上页下页返回结束第6页,共65页，2024年2月25日，星期天整理得例1

求积分

解机动目录上页下页返回结束第7页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第8页,共65页，2024年2月25日，星期天代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2：求积分

解:机动目录上页下页返回结束第9页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第10页,共65页，2024年2月25日，星期天解1:机动目录上页下页返回结束解得：第11页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第12页,共65页，2024年2月25日，星期天解2:机动目录上页下页返回结束第13页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束解:

说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第14页,共65页，2024年2月25日，星期天解:

原式例5：求积分

机动目录上页下页返回结束第15页,共65页，2024年2月25日，星期天解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例6：求积分

机动目录上页下页返回结束第16页,共65页，2024年2月25日，星期天三角函数的有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）机动目录上页下页返回结束第17页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束万能置换公式第18页,共65页，2024年2月25日，星期天例7：求积分解：由万能置换公式机动目录上页下页返回结束令第19页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第20页,共65页，2024年2月25日，星期天例8：求积分解1：机动目录上页下页返回结束用万能公式较繁第21页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第22页,共65页，2024年2月25日，星期天例8：求积分解2：机动目录上页下页返回结束同解1第23页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大，故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。第24页,共65页，2024年2月25日，星期天三角函数有理式的主要积分类型及代换机动目录上页下页返回结束第25页,共65页，2024年2月25日，星期天解1:机动目录上页下页返回结束例9：求积分第26页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束第27页,共65页，2024年2月25日，星期天解2：机动目录上页下页返回结束（同解法1）例9：求积分第28页,共65页，2024年2月25日，星期天解3：机动目录上页下页返回结束例9：求积分第29页,共65页，2024年2月25日，星期天例10：求解：令机动目录上页下页返回结束三、简单无理函数的积分第30页,共65页，2024年2月25日，星期天解：令则原式例11：求积分机动目录上页下页返回结束第31页,共65页，2024年2月25日，星期天例12：求积分解：令机动目录上页下页返回结束第32页,共65页，2024年2月25日，星期天例13：求积分解：令机动目录上页下页返回结束第33页,共65页，2024年2月25日，星期天简单无理函数积分小结机动目录上页下页返回结束1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函数、指数函数、对数函数时，可先令整个根式为t，去掉根式后再作。第34页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束解1:例14：求积分第35页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束解2：例14：求积分第36页,共65页，2024年2月25日，星期天故机动目录上页下页返回结束第37页,共65页，2024年2月25日，星期天四、内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,机动目录上页下页返回结束第38页,共65页，2024年2月25日，星期天作业习题4-4(P280)2(双)；3(双)；4(双)；机动目录上页下页返回结束第39页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束解:

备用题第40页,共65页，2024年2月25日，星期天2、求积分

解:机动目录上页下页返回结束第41页,共65页，2024年2月25日，星期天3、求积分解1机动目录上页下页返回结束第42页,共65页，2024年2月25日，星期天解2修改万能置换公式,令机动目录上页下页返回结束3、求积分第43页,共65页，2024年2月25日，星期天解3可以不用万能置换公式.说明：比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.机动目录上页下页返回结束3、求积分第44页,共65页，2024年2月25日，星期天解:说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换4、求积分机动目录上页下页返回结束第45页,共65页，2024年2月25日，星期天解法1令原式机动目录上页下页返回结束5、求积分解法2原式第46页,共65页，2024年2月25日，星期天6、求积分解1机动目录上页下页返回结束第47页,共65页，2024年2月25日，星期天6、求积分解2机动目录上页下页返回结束第48页,共65页，2024年2月25日，星期天解3机动目录上页下页返回结束6、求积分第49页,共65页，2024年2月25日，星期天解1机动目录上页下页返回结束7、求积分第50页,共65页，2024年2月25日，星期天解2机动目录上页下页返回结束7、求积分第51页,共65页，2024年2月25日，星期天解3机动目录上页下页返回结束7、求积分第52页,共65页，2024年2月25日，星期天解1机动目录上页下页返回结束8、求积分第53页,共65页，2024年2月25日，星期天解2机动目录上页下页返回结束8、求积分第54页,共65页，2024年2月25日，星期天解3机动目录上页下页返回结束8、求积分第55页,共65页，2024年2月25日，星期天解机动目录上页下页返回结束9、求积分第56页,共65页，2024年2月25日，星期天解1机动目录上页下页返回结束10、求积分第57页,共65页，2024年2月25日，星期天解2机动目录上页下页返回结束10、求积分第58页,共65页，2024年2月25日，星期天解3机动目录上页下页返回结束10、求积分第59页,共65页，2024年2月25日，星期天解4：机动目录上页下页返回结束10、求积分第60页,共65页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束则第61页,共