北京市石景山区实验中学2018-2019学年九年级（上）期末数学复习试卷（解析版）

北京市石景山区实验中学2018-2019学年九年级(上)

期末数学复习试卷

--选择题(满分16分，每小题2分)

1.已知言=£(a#0,6K0),下列变形正确的是()

Ab2口23rabp.a2

a3ab323b

2.把抛物线y=-2/向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是()

A.y=-2(x+1)2+1B.y=-2(x-1)2+1

C.r=-2(x-1)2-1D.y=-2(/1)2-l

3.在RtZ\/6C中，NC=90°,若/C=3,BC=2,则tan/的值是()

2疾

AcD.

-i4~5~

4.如图，。。的弦/8=16,“是AB的中点，且。"=6,则。。的半径等于()

B.4C.20D.10

5.在平面直角坐标系中，给出三点月，B,C,记其中任意两点的横坐标的差的最大值为储

任意两点的纵坐标差的最大值为h,定义“矩面积"5=助，例如：给出力(1,■2),8

(-3,1),C(2,-2),则a=5,A=4,S=ah=20.若。(1,2),E(-2,1).F(0,

r)三点的"矩面积”为18,则r=()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

6.如图，在口4BCD中，E是8c的中点，且/AEC=/DCE,下列结论不正确的是()

B.四边形4CCD是等腰梯形

C・SAFAI^ZS4FBED.AAEB=AADC

7.已知二次函数/=a/+Z»+c（a#0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.2a+b<0C.Z>2-4ac<0D.a+b+c<0

8.如图，和△。所是等腰直角三角形，NC=NF=90°,AB=2,DE=4.点、B与

点。重合，点4B（Z?）,E在同一条直线上，将△力^。沿。方向平移，至点力与

点E重合时停止.设点8,。之间的距离为x,与△。石1尸重叠部分的面积为尸，

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形的面积比是1：2.

10.已知反比例函数尸（m-2）x的图象，在每一象限内y随x的增大而减小，则

m的值为.

11.如图，点。为△/8C的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、。万互相平分，CFLAE

于尸，连接。尸.若OE=2a,DF=\,则△40C的周长为.

12.如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角

形的面积等于

13.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的

图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边

形，若股所在的直线经过点“，PB=5cm,小正六边形的面积为生叵田，则该圆的

2

14.如图，点4在双曲线y=—_h，点。在双曲线y=里上，且力。x轴，B、C在x轴上,

XX

15.如图，某水库大坝的横假面是梯形/6C。，坝顶宽。。是10米，坝底宽是90米,

背水坡力。和迎水坡8c的坡度都为1:2.5,那么这个水库大坝的坝高是米.

16.请任意写出一个图象开口向下且顶点坐标为（-2,1）的二次函数解析式：.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）如图，已知在△48。中，AB=AC,/氏4。=120°,月。的垂直平分线勿交力。

于点E,交BC于点F.试探索所与《尸的数量关系，写出你的结论并证明.

18.（5分）计算：4sin30°-任0$45°-仃an30°+2sin60"

19.（5分）如图，在△48C中，5。是//3C的平分线，过点C作即，交BD的延

长线于点E,ZABC=60°,/ECD=15°.

（1）直接写出/406的度数是；

（2）求证：BD=AB-

（3）若/13=2,求反7的长.

20.（5分）如图，ABLBD,CDVBD,48=6,8=16,50=20,一动点尸从8向。运

动，问：当6。等于多少时，与△PCD是相似三角形？

21.（5分）已知抛物线%=/+/77,¥+〃，直线为=2/1,抛物线力的对称轴与直线打的交点

为点、A,且点月的纵坐标为5.

（1）求m的值；

（2）若点力与抛物线力的顶点8的距离为4,求抛物线%的解析式；

（3）若抛物线%与直线乃只有一个公共点，求n的值.

22.（5分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点3处测得楼

顶/的仰角为22°,他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台。处，并

测得此时楼顶力的仰角为450.

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼•管理处都要在/,3之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗,

请你求出43之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin22°g春，cos22°

O

tan22^―）

165

23.（6分）如图，双曲线打我过点?!（-1,3）.

X

（1）求A的值；

（2）若过点/的直线尸-2x+6与x轴交于点8,求的面积.

24.（6分）我县在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助

农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用/

（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所

示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示

的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元.（毛

利润=销售额-生产费用）

(1)请直接写出了与X之间的函数关系式；

(2)求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润

是多少？

25.(6分)如图，40的圆。的切线，切点为A,是圆O的弦.这点6作6C///LO,交

圆。于点G连接/C,过点C作CDIIAB,交4?于点D.连接4。并延长交8c于点

M,交过点。的直线于点P,且

(1)判断直线也与圆。的位置关系，并说明理由.

(2)若48=9,BC=6,求圆。的半径和0c的长.

26.(6分)定义：在平面直角坐标系中，图形G上点夕(x,。的纵坐标y与其横坐标x

的差尸-x称为夕点的“坐标差”，而图形G上所有点的"坐标差"中的最大值称为图形

G的“特征值".

(1)①点/(1,3)的“坐标差”为；

②抛物线尸-x2+3x+4的“特征值”为；

(2)某二次函数y=-/+6肝c(crO)的“特征值”为-1,点8(m,0)与点C分别是

此二次函数的图象与x轴和了轴的交点，且点8与点。的“坐标差”相等.

①直接写出m=；(用含c的式子表示)

②求此二次函数的表达式.

27.(7分)在中，以为斜边作使点。落在内，N/LD8=90°

(1)若把△/L6D绕点/逆时针旋转，得到连接即并延长交8c于点

P.

①求证：ZBDP=ZPEC;

②求证：Z.BAC=2Z.BDP-

(2)如图2,若/。=80,过点。作直线。2L/C于£1交8c于尸，JLAE=EC.若BF=

3,AC=5任则皿=(直接写出结果)

28.(7分)如图：40是正△40C的高，。是/。上一点，。。经过点。，分别交月8、AC

于£■、尸

(1)求/石。尸的度数；

(2)若力。=6我，求△?!所的周长；

(3)设石户、40相较于N,若/E=3,EF=1,求DV的长.

参考答案

一.选择题

1.已知•（冲0,此0）,下列变形正确的是（）

乙O

*b2R23rab

a3ab32°彩

【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可.

解：4由回*得：2a=3b,故选项/不正确;

a3

B、由回士•得：3a=26,故选项3正确；

a2

2a=3b,故选项。不正确；

口、由!■寻:

必=6,故选项。不正确；

故选：B.

【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解.

2.把抛物线尸-2V向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）

A.y=-2（x+1）2+1B.y=-2（x-1）2+1

C.7=-2（x-1）2-1D.y=-2（x+1）2-l

【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶

点式可得抛物线解析式.

解：・函数尸-2x2的顶点为（0,0）,

...向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1,1）,

.•・将函数尸-21的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为

7=-2（x-1）2+1,

故选：B.

【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下

平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点.

3.在中，ZC=90°,若/C=3,5（7=2,则tan/1的值是（）

A.—B.—C.返D.

2325

【分析】根据正切的定义计算即可.

故选：B.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与邻边Z>的比叫做N/1的正切.

4.如图，。。的弦43=16,〃是43的中点，且。1/=6,则。。的半径等于()

【分析】连接。4,即可证得△。跖4是直角三角形，根据垂径定理即可求得/〃，根据勾股

定理即可求得<9/的长，即。。的半径.

解：连，接OA,

•上是的中点,

OM]_AB,且4M=8,

在RtZ\CMV中，C>^=VAM2+OM2=10-

【点评】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得4"的长，证明△

04〃是直角三角形是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，给出三点A,B,C,记其中任意两点的横坐标的差的最大值为a,

任意两点的纵坐标差的最大值为h,定义“矩面积"S=ah,例如：给出A(1,2),8(-

3,1),C(2,-2),则a=5,h=4,S=ah=20.若/>(1,2),7?(-2,1).F(0,t)

三点的"矩面积”为18,则r=()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对r进行讨论，即可求得r的值.

解：由题意可得，。=1-(-2)=3,

当E>2时,h=t-1,

则3(Ll)=18,

解得，t=1,

故点尸的坐标为(0,7);

当1WK2时，h=2-1=1^6,

故此种情况不符合题意；

当yl时，h=2-t,

则3(2-r)=18,

解得夕-4；

综上，r=-4或7;

故选：C.

【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义

解答问题.

6.如图，在。/6CO中，E是6。的中点，且下列结论不正确的是()

A.BF=^DFB.四边形是等腰梯形

c.sAFAI尸2s&FBED.AAEB=/_ADC

【分析】根据已知条件即可推出△瓦凡推出4项为正确，已知条件可以推出四边

形4ECD为等腰梯形，推出8项正确，结合平行四边形的性质，可以推出。项正确，所

以C项是错误的.

解：•.・平行四边形/BCD中，

/\BEF^/\DAF,

・•,E是8C的中点，

：.BF:FD=BE'.AD,

：.BF=—DF,

故月项正确；

■：AAEC=ADCE,

四边形为等腰梯形，

故8项正确；

：.^AEB=/_ADC.

:/\BEM/\DAF,BF=^DF,

•■^AAFD=&S&EFB，

故。项不正确；

•：AAEB+AAEC=

N4DO/C=180

而四边形儿CCD为等腰梯形，

：./_AEC=/_C,

：.AAEB=AADC,

因此。项正确.

故选：c.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰梯形的判定、平行四边形的性质，解

题的关键在于找到相似三角形.

7.已知二次函数产=公2+及+，（2片0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.abc<0B.2a+b<QC.£>2-4ac<0D.a+i>+c<0

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与了轴的交点判断c与0的关系,

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：抛物线开口向上，得：a>0；

抛物线交了轴于负半轴，得：c<0；

对称轴x=—g->0,

2a

所以6<0;

所以abc>Q;

由图象可知：0<一又<1,

2a

所以-Z><2a,即2a+6>0;

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=从-4@<7>0；

由图可知：当x=l时，/<0,

所以a+b+c<0;

故选：D.

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与人的关系,

以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

8.如图，和△£(石尸是等腰直角三角形，ZC=ZF=90°,40=2,DE=4.点8与

点。重合，点4B(£>),E在同一条直线上,将△48。沿。方向平移，至点/与

点后重合时停止.设点B,。之间的距离为x,△ABC与XDEF重叠部分的面积为尸,

x变化的情

况，由题意知，在移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形；据此根据重合

部分的斜边长的不同分情况讨论求解.

解：由题意知：，在移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形.

当0<x<2时，此时重合部分的斜边长为x,则尸

当24x<4时，此时重合部分的斜边长为2,则尸2X1X>1;

当4Vx&6时，此时重合部分的斜边长为2-（x-4）=6-x,则y=（6-x）

19

~x*--3x+9j

由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边

为抛物线的一部分.

故选：B.

【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很

强的综合性.

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.当两个相似三角形的相似比为1：1力时,这两个相似三角形的面积比是1：2.

【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案.

解：••・相似三角形的面积比等于相似比的平方，

二两个相似三角形的面积比是1:2时，两个相似三角形的相似比为：1:

故答案为：1：^2-

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是

解题关键.

10.已知反比例函数尸（m-2）Xm2-lQ的图象，在每一象限内了随x的增大而减小，则

m的值为3.

【分析】依据反比例函数7=（切-2）xm-T0的图象，在每一象限内y随x的增大而减小，

即可得到m的值.

'm-2关0

解：根据题意得《9,

Im-10=-1

解得n?=3或-3,

二•反比例函数在每一象限内尸随x的增大而减小，

m-2>0,即zn>2,

m=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象为双曲线，当左>0,图象分布

在一、三象限，在每一象限内，了随X的增大而减小；当上＜0,图象分布在二、四象限,

在每一象限内，尸随x的增大而增大.

11.如图，点。为的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CFVAE

于八连接若OE=2a,DF=\,则△T8C的周长为6+2点.

【分析】由3。、互相平分可证明四边形鹿69为平行四边形，由OC=O3可得8比'O

为菱形，可得/3。。=60",NE4£=/E4C=30°,于尸，可证△月GC为等

边三角形，尸为中点，则由中位线性质可得6G=2。尸.在中利用勾股定理可求

GH,进而得到/6、AC,得到△40C的周长.

解：延长CF交/18于点G,过。作于H,连8。

：BC.OE互相平分

.四边形BECO为平行四边形

---OB=OC

二四边形3ECO为菱形

BE=EC

：OE=2^

0D二料

：中，tan/BOD=而

NBOD=60。

：.ABAE=AEAC=3^

：CFLAE

尸为GC中点，△4GC为等边三角形

：.BG=2DF=2

在RtA^CA/中

（2+GM2+（V3GH）2=62

解得G〃=士叵.（舍去）或。〃=二1返_,

22

：.AG=AC=-I+A/33,

的周长为6+2733.

故答案为：64-2^/33，

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关计算、菱形判定和性质、中位线性质以及勾股

定理，解答关键是时数形结合.

12.如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角

形的面积等于144.

【分析】先作MN,8c'于N,可判断07为△/CD的中位线，求出VN的长，再由勾股定

理求得3N的长，由等腰三角形的性质，求得6C,再求出其面积即可.

解：祚MNLBC卡N,

-：AM=MC,MNiiAD,

：.DN=NC.

MN=yAD=9>在Rtab/WV中，BM=15,MN=9.

：.BN=12,而BD=DC=2DN,

：.?>DN=12,DN=4,

二以7=16,5△皿=1■。比4x18X16=144.

【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理的应用，及三角形面积的计算.

13.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的

图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边

形，若0Q所在的直线经过点〃，/4=5s?,小正六边形的面积为里返c/,则该圆的

2

半径为8

光春大小开启示意变

图1

【分析】设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过。作OHX.AB,由正

六边形的性质及邻补角性质得到三角形为等边三角形，由小正六边形的面积求出边

长，确定出0似的长，进而求出三角形RMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直

角三角形O0G中，利用勾股定理求出OP的长，设O8=xcm,根据勾股定理列出关于x

的方程，求出方程的解即可得到结果.

解：设两个正六边形的中心为O,连接OROB,过。作。OHLAB,

由题意得：ZMNP=ZNMP=ZMPN=60°,

・•・小正六边形的面积为里叵52,

2

二小正六边形的边长为即月％=7畲£7",

.C_14773„2

-S&MPNcm,

\OG_LPM,且。为正六边形的中心，

：.PG=—PM=h/3-cm,OG=^-PM=—,

2262

在RtZXOPG中，根据勾股定理得：OP=2+

设QB=xcm,

：OHLAB,且。为正六边形的中心,

：.BH=—x,返x,

22

:.PH=(5-—x)cm,

2

在Rtz\/Y/。中，根据勾股定理得：。廿=2+(5-—X)2=49,

2

解得：x=8（负值舍去）,

则该圆的半径为8cm.

故答案为：8

光圈大小开启示意图

fr»919919

图1图2

【点评】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键.

14.如图，点力在双曲线y=--_t.，点。在双曲线产•上,且x轴，B、C在x轴上,

XX

则矩形ABCD的面积为3.

【分析】延长D4交7轴于点E,由矩形的性质及反比例函数系数*的几何意义可得出S矩

形£08/1=1、$矩形£08=4,将其代入S矩形'00=5矩形£00/1-S矩形£08/1中即可求出结论―

解：延长D4交了轴于点£1,如图所示.

■.一四边形/6CD为矩形，且49//x轴，

「./I石'_Ly轴，。石工尸轴，/IBlx轴，£>CJ_x轴.

14

又二点力在双曲线尸土上，点。在双曲线y=一上,

xx

一S矩形£08/1=1，$矩形万08=4,

矩形，8a>=S矩形EOBA_S矩形EOR4=4-1=3

【点评】本题考查了反比例函数系数★的几何意义，利用反比例函数系数4的几何意义找出

S矩形£00,1=1、S矩形反尤9=4是解题的关键.

15.如图，某水库大坝的横假面是梯形人88,坝顶宽Z?C是10米，坝底宽40是90米,

背水坡月。和迎水坡8。的坡度都为1:2.5,那么这个水库大坝的坝高是16米.

【分析】直接利用坡度的定义表示出AM,BN的长,进而利用已知表示出的长，进而

得出答案.

解：如图所示：过点。作于点作CNLAB于点N,

设DM=CN=x,

•.,背水坡/。和迎水坡6c的坡度都为1:2.5,

：.AM=BN=2.5x,

故AB=AM+BN+MN=5x+10=90,

解得：x=16,

即这个水库大坝的坝高是16米.

故答案为：16.

DC

【点评】此题考查了坡度坡角问题.此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角

三角形的知识求解是关键.

16.请任意写出一个图象开口向下且顶点坐标为（-2,1）的二次函数解析式：尸-（向2）

2+1（答案不唯一）.

【分析】写出一个抛物线开口向下，顶点为已知点坐标即可.

解：抛物线尸-（/2）2+1的开口向下、顶点坐标为（-2,1）,

故答案为：7=-（/2）2+1（答案不唯一）.

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）如图，已知在△48C中，AB=AC,ABAC=120°,71c的垂直平分线用1交力C

于点E,交于点尸.试探索昉与C尸的数量关系，写出你的结论并证明.

【分析】连接力尸，求出CF=AF,ABAF=^,再根据/A4C=120°可求出

N3的度数，由直角三角形的性质即可求出8尸=2/尸=2CF,于是得到结论.

解：BF=2CF.

证明：连接力尸，

：AB=AC,/8/0=120°

「・/刀=/C=30°,

•.•必垂直平分4G

：.AF=CFy

/.ZG4/?=ZC=30°,

/.ZAFB=ZCAF+ZC=60°,

「./如尸=180°-AB-AAFB=90°,

：.BF=2AF,

：.BF=2CF.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解

题的关键.

18.(5分)计算：4sin30一，^cos45-J^an30+2sin60'

【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可.

解：4sin30-J区QS45-J京an30‘4-2sin60

=4乂工-亚X返-«X返+2X运

22V32

=2-1-1+73

=V3.

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角

函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

19.(5分)如图，在中，即是的平分线，过点C作即，交即的延

长线于点E,AABC=6O°,Z£CD=15°.

(1)直接写出N/1A8的度数是75°；

(2)求证：BD=AB\

(3)若/8=2,求的长.

【分析】(1)在RtaOEC中，求出NCC归即可；

(2)欲证明皮?=/18,只要证明/月=/4。3即可；

(3)过点。作。KLBC交8。于尸点.分别求出8G《产即可解决问题;

解：(1),••81，区

/.ZZJ=90°,

,/Z7?CZ)=15O,

：.AADB=ACDE=^°-15°=75°

故答案为75°.

(2)证明：•••班)平分/Zl/C,

/480=60°,

:4ABD=4DBC=30",

/.ZZ=75°,

AA=AADB,

：.AB=DB.

(3)过点。作。PIAS；交8c于尸点.

「DFLBC,

：.ADFB=ADFC=^,

■:NDBF=30°,

：.DF=LBD,

2

：BD=AB=2,

：.DF=\,

FB=M，

：CE1.BE,

/.Z^=90°,

.ZDBC=30",

「./£/》=60°,

,：AECD=\50,

.'.ZDCB=45°,

:.(DCF=(FDC=4S,

:.FD=FC=1,

；BC=M+L

【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

20.（5分）如图，ABLBD,CDLBD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点。从8向。运

动，问：当6。等于多少时，与△PCD是相似三角形？

【分析】根据相似三角形的判定即可求出『的长度.

解：设BP=x,

PD=20-x,

.6_x

；.x=5,

即BP=5,

此时△?!P8sZ\℃,

.6_x

--20-x=16?

；.x=8或x=12,

即8P=8或12,

：./\APBsXPCD,

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与分类讨论

的思想，本题属于基础题型.

21.（5分）已知抛物线%=/+mx+”，直线为=2x+l,抛物线外的对称轴与直线外的交点

为点A,且点A的纵坐标为5.

（1）求功的值；

（2）若点/I与抛物线力的顶点3的距离为4,求抛物线力的解析式；

（3）若抛物线为与直线外只有一个公共点，求〃的值.

【分析】（1）根据题意得到点力的坐标为（2,5）,根据抛物线的对称轴公式即可得到结论;

（2）根据已知条件得到点6的坐标为（2,1）或（2,9）,根据顶点坐标公式列方程即可得

到结论；

（3）根据抛物线力与直线乃只有一个公共点得到的一元二次方程根的判别式为0,解关于

n的方程即可得到结论.

解：（1）.••点4的纵坐标为5,点八在直线为=2/1上，

「.5=2x+l,得x=2,

..•点*的坐标为（2,5）,

;物线%的对称轴与直线为的交点为点力,抛,物线%=x2+m.Y+”，

----=2,#rn=-4；

2X1

（2）•.,点4与抛物线力的顶点，3的距离为4・，点力的坐标为（2,5）,

.•.点6的坐标为（2,1）或（2,9）,

.4n«4）2=［或9,

4

解得：n=5或13,

2

「•抛物线％的解析式的解析式为：71=X-4X+5或巧=/-4升13；

f2

⑶解1yYx+n得，x2-6x+n-l=0,

_y=2x+l

.•.抛物线力与直线为只有一个公共点，

/.A=36-4n+4=0,

解得n=10.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的性质,

根据题意求得顶点坐标是解题的关键.

22.（5分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点8处测得楼

顶/的仰角为22°,他正对着城楼前进21米到达。处，再登上3米高的楼台。处，并

测得此时楼顶力的仰角为45°.

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在力，8之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗,

请你求出A,8之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin220cos22°

o

tan22"«=—）

165

【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼

的高度；

（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得/,8之间所挂彩旗的长度.

解：（1）作/148C交8C于点尸，交。£于点区如右图所示，

由题意可得，CD=EF=3米,/8=22",/_ADE=^,8c=21米，DE=CF,

■：AAED=AAFB=＜）0°,

N£ME=45°,

ZDAE=ZADE,

AE=DE,

设AF=a米，则AE=（a-3）米，

:.tan22=--------—,

21+(a-3)

W—=——―『

521+(a-3)

解得,w=12,

答：城门大楼的高度是12米；

AF

(2)­,,Z5=22°,/尸=12米，sinZ^=—

AB

1-2---

：.AB3=32,

即4,8之间所挂彩旗的长度是32米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用

锐角三角函数和数形结合的思想解答.

23.(6分)如图，双曲线尸四过点月(-1,3).

x

(1)求人的值；

(2)若过点力的直线产-2x+6与x轴交于点8,求的面积.

【分析】(1)把力的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可;

(2)把d的坐标代入求出乩求出直线与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求出即

可.

解：(1)将点4(-1,3)代入产生得,

x

解得：k=-3.

(2)解：将力(-1,3)代入尸-2什6得，3=-2X(-1)+b,

.*./=-2x4-1,

令尸0,0=-2A-+1解得X=}

--^^AOB=^X*X3=^--

【点评】本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，反比例函数与

一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生能否熟练地运用性质进行计算和推

理，题目比较典型.

24.（6分）我县在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助

农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用了

（万元）与年产量X（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所

示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示

的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元.（毛

利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出了与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润

是多少？

图①图②

【分析】(1)利用待定系数法可求出了与X以及Z与X之间的函数关系式；

(2)根据(1)的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式,

再利用配方法求函数最值即可.

解：(1)图①可得函数经过点(100,1000),

设抛物线的解析式为尸a/(2K0),

将点(100,1000)代入得：1000=10000a,

解得：2=-^-,

故尸与x之间的关系式为尸焉《；

(2)图②可得:函数经过点(0,30)、(100,20),

设z=kx+b,则<,

lb=30

，占］

解得：10,

上二30

故Z与X之间的关系式为2=-器+30;

1,1,

W=zx-y=----A^+30X-------

1010

=-—(x-75)2+1125,

5

--<0,

5

.•.当x=75时,即有最大值1125,

.•・年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元.

【点评】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法

求函数解析式.

25.(6分)如图，AD的圆。的切线，切点为A,是圆<9的弦.过点B作BCNAD,交

圆。于点C,连接4C,过点。作CD/7/8,交AD于点D.连接力。并延长交友7于点

M,交过点。的直线于点R且N8CP=NACD.

(1)判断直线PC与圆。的位置关系，并说明理由.

(2)若/13=9,BC=6,求圆。的半径和尸C的长.

【分析】(1)根据等量代换可得//Q=NB/1C=N8NC=N8CP,由CN是。6＞的直径，

得NCBN=90：证得NPCO=90°,可得结论；

(2)先根据勾股定理得：AM=y/g2_32=6^,设。。的半径为r,列方程OA/+M(^=

Od-,则返，证明△OMCS^OCP,可得PC的长.

解：(1)直线PC与圆。相切，理由是：

如图1,连接co交延长，交。。于点N,连接6N,

■：ABHCD,

：.ABAC=AACD,

•：ZBAC=ZBNC,

：.ABNC=AACD,

■：ABCP=AACD,

：.ZBNC=ZBCP,

rev是。。的直径，

ZCBN=1)0°,

：.ABNC+ABCN=^°,

:.乙BCP+乙BCN=90°,

ZPC(9=90°,即PC_LOC,

・・•点C在。。上，

二直线。。与圆。相切；(5分)

(2)•••4。是。。的切线,

：.ADLOA,即/040=90°,

■：BCIIAD,

ZCWC=180°-/040=90°,gpOMLBC,

：.MC=MB,

：.AB=ACy

在中，ZA/WC=90°,MC=^BC=3,

由勾股定理得：AM=g2_^2=6^2,

设0。的半径为r,

在Rt^OA/C中，AOMC=90°,OM=AM-AO=6-j2-r,MC=3,OC=r,

由勾股定理得：OA/+M^=O（?,

即（W^F）2+32=r2，解得：r=—

o

1--zOMC=zOCP,zMOC=zCOP,

：./\OMC^/\OCP,

.0M_CM

■'0C^PC，

,/_2哂

.一3

27&PC'

8

:.PC=^~.（11分）

图1

【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆

的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判

定与性质.

26.(6分)定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标尸与其横坐标x

的差y-x称为0点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形

G的“特征值".

(1)①点A(1,3)的“坐标差”为2;

②抛物线尸-#+3x+4的"特征值”为5;

(2)某二次函数y=-7+6升c(cKO)的“特征值”为-1,点8(m,0)与点C分别是

此二次函数的图象与x轴和尸轴的交点，且点8与点C的“坐标差”相等.

①直接写出-c;(用含c的式子表示)

②求此二次函数的表达式.

【分析】(1)①根据“坐标差”的定义计算可得；②先根据定义知抛物线尸-、2+3肝4的

“坐标差”为-¥+3肝4-x=-(x-1)2+5,依据“特征值”的定义即可得答案；

(2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点。的坐标，由“坐标差”的定义结合点

8与点。的“坐标差”相等，即可求出"7的值；

②由点6的坐标利用待定系数法可找出Ac之间的关系，找出了-x关于X的函数关系式，

再利用二次函数的性质结合二次函数尸-x2+6肝c(CX0)的“特征值”为-1,即可得

出关于人的一元二次方程，解之即可得出6的值，进而可得出c的值，此间得解.

解：(1)①点月(1,3)的“坐标差”为3-1=2,

②抛物线尸-x2+3x+4的"坐标差”为

—x+3A~+4-x

=-?+2A-+4

=-(x-1)2+5,

当x=-l时，“坐标差”取得最大值5,

所以抛物线尸-/+3x+4的“特征值”为5;

故答案为：2,5;

(2)①当x=0时，/=-x+bx+c=c,

•・•点C的坐标为(0,c).

•点8与点。的“坐标差”相等，

.*.0-m=c-0,」

m--c.

故答，案为：_C.

②二七(0,C),

又•.•点8与点C的“坐标差”相等,

••B(-c,0),

把(一c,0)代入y=-x?+bx+c,得到：0=-c2-bc+c,

C=1-by

二,二次函数尸=一(+加+c(c#0)的“特征值”为一1

所以7—x=—d+(6—1)%+1-6的最大值为—1,

--4(l-b)-(b-l)2=_1

-------------------1,

-4

解得6=3,

c=-2,

二次函数的解析式为y