高中数学黄金100题系列第63题空间平行关系的证明理

#/21第63题空间平行关系的证明I．题源探究·黄金母题例1】如图，在空间四边形ABCD中，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证：1）BDP平面EFG；2）ACP平面EFG；．GCFB解析】分析：（1）取PA的中点F，连结EF，【解析】（1）∵E、F分别为BC、CD的中点，∴EF为BCD的中位线，∴EFPBD，∵EF平面EFG，BD平面EFG，∴BDP平面EFG．（2）∵G、F分别为AD、CD的中点∴GF为ACD的中位线，∴GFPAC．∵GF平面EFG，AC平面EFG，∴ACP平面EFG．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，1oABBCAD,BADABC90o,E是PD的中2点。（1）证明：直线CE//平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角MABD的余弦值。BF，由题意证得CE∥BF，利用线面平行的判断定理即可证得结论；解析：（1）取PA的中点F，连结EF，BF。因为E是PD的中点，所以1EF∥AD,EFAD,由2BADABC90o得BC∥AD，又1BC1AD,所以EF∥BC。四边形BCEF为2平行四边形，CE∥BF。又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB。（2）略【名师点睛】平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型；证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.【例3】【2015福建理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=，2G，F分别是线段BE，DC的中点.ADEADE．(Ⅰ)求证：GF//平面ADE(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．A在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得MF//AD．又AD面ADE，MF面ADE，所以MF//面ADE．又因为GMIMFM，GM面GMF，MF面GMF，所以面GMF//平面ADE，因为GF面GMF，所以GM//平面ADE．2答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)2．3解析】解法一：(Ⅰ)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，1所以GHPAB，且GH=AB，、21又F是CD中点，所以DF=1CD，由四边形ABCD是矩形2得，ABPCD，AB=CD，所以GHPDF，且GH=DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF//DH，又，DH趟平面ADE，GF平面ADE所以GFP平面ADE．A(Ⅱ)略【技巧点拨】证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；【例4】【2017浙江19】如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．AA解法二：(Ⅰ)如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM//AE，又AE面ADE，GM面ADE，所以GM//平面

即四边形BCEF为平行四边形，所以CE//BF，因此CE//平面PAB．Ⅰ）证明：CE//平面Ⅰ）证明：CE//平面PAB；Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅱ）略【名师点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．解析】分析：（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可求证；解析：解析】分析：（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可求证；解析：精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．因为E，F分【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为别为PD，PA中点，所以EF//AD且EF112AD，又因为BC//AD，BC1AD，所以EF//BC且EFBC，2“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．

III．理论基础·解题原理考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行a,b,且a//ba//在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a,b,aIbP,a//,b////判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a//,a,Iba//b平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行//,Ia,Iba//bIV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第 1小题中．【技能方法】（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行．【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．V．举一反三·触类旁通

考向1空间直线与平面平行的证明直线m与平面内无数条直线平行”是“直线m//平面直线m与平面内无数条直线平行”是“直线m//平面充分不必要条件既不充分也不必要条件A.充要条件B.C.必要不充分条件D.【答案】C例2】【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三联考】如图，在矩形ABCDBC2,AB1，PA1平面ABCD，BE//PA,BE PA，F为PA的中点.1F为PA的中点.1）求证：DF//平面PEC；2）记四棱锥CPABE的体积为V1，三棱锥PACD的体积为V2，求V1.V23答案】（1）见解析；（2）3．2解析】（1）连接EF，∵BE//AF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴EF//AB，在矩形ABCD中，AB//CD，∴EF//CD，∴四边形CDFE为平行四边形，DF//EC.∴DF//平面PEC.2）连接PB，由题意知，VPACDVPABC2）连接PB，由题意知，VPACDVPABCVCPAB，EBPAAB1ABPA2【例3】【2018湖北省襄阳市调研】如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，1在直观图中，M是BD的中点，AECD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如2图所示．(Ⅰ)求证：EM∥平面ABC；(Ⅱ)求出该几何体的体积．答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)4．(Ⅱ)(Ⅱ)解：由己知，AE2，DC4，ABAC，且ABAC2，QEA平面ABC，EAAB，又ABAC，AB平面ACDE，AB是四棱锥BACDE的高，AEDCAB242梯形ACDE的面积S6，221VBACDE SH4，即所求几何体的体积为4．3【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化．若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成．SABC中，SABC中，ABC是边长为6的正三角形，1．【2017-2018河南省洛阳名校联考】在三棱锥

SASBSC15，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D,E,F,H分别是AB、BC、SC、SA的中点，如果直线SB//平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为(A.45B.453C.45D.45322【答案】A∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB=O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，BC2，∴四边形DEFH的面积S=15×3=45，故选：A.BC2，2.【广西桂梧高中2018届高三联考】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABCC14，AC25，M,N分别是A1B,B1C1的中点.1)求证：MN//平面ACC1A1；2)求点N到平面MBC的距离.答案】(1)见解析，(2)204141(2)解：QBC3,AB4,ACCC15，ABBC,S1BCBB113515SMBC1BCBM1413341NBC22122224又点M到平面的BCN的距离为h1AB22，设点N与平面MBC的距离为h，由V三棱锥M11NBC=V三棱锥NMBC可得SNBChSMBCh，3311513412041，即2 h，解得h323441即点N到平面MBC的距离为2041.413.【江西省临川二中、新余四中2018届高三联考】如图，多面体ABCDB1C1是由三棱柱ABCA1B1C1截去一部分而成，D是AA1的中点.（1）若ADAC1，AD平面ABC，BCAC，求点C到面B1C1D的距离；（2）若E为AB的中点，F在CC1上，且CC1，问为何值时，CF直线EF//平面BC1D1？【答案】（1）2；（2）证明见解析.（2）当 4时，直线EF//平面BC1D1，理由如下：设AD1，则BB12，取DB1的中点H，连接EH，可得AD//EH//CC1，EH是梯形EH是梯形DABB1的中位线，EH3当C1FEH时，四边形C1FEH为平行四边形，即EF//HC1，2HC1面B1C1D，∴直线EFP平面B1C1D，此时CC1 4CF

【点睛】：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式： 1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.考向2空间平面与平面平行的证明【例1】【2017山西省临汾一中高三3月月考】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥PABCD的高，PAAB2，点M,N,E分别是PD,AD,CD的中点．（1）求证：平面MNEP平面ACP；（2）求四面体AMBC的体积．（2）因为PA是四棱锥PABCD的高，1由MN∥PA,知MN是三棱锥MABC的高，且MNPA1，21所以VAMBC VMABCSABCMN11ABBC123323

【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题．因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明．跟踪练习】1．【广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟】在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，若存在实数 使得CQ CC1时，平面D1BQ//平面PAO，则 1答案】12【点睛】:当Q为CC1的中点时，QB∥PA，D1B∥PO，由此能求出平面D1BQ∥平面PAO．2.【江西省南昌市2018届上学期高三摸底】如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90o，BACCAD60o，PA平面ABCD，PA2,AB1.设M,N分别

为PD,AD的中点.1）求证：平面CMN∥平面PAB；2）求三棱锥PABM的体积.答案】（1）证明见解析2）三棱锥答案】（1）证明见解析2）三棱锥PABM的体积V（（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知，AB1，ABC90o，BAC60o，∴BC3，∴三棱锥PABM的体积VV∴三棱锥PABM的体积VVMPABVCPAB3.【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥VPABCPABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADPBC，BAD90，BC2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线段PC，AB上，CM BN2.MPNA1）求证：平面MNOP平面PAD；2）若平面PAD平面ABCD，PDA60，且PDDCBC2，求几何体MABC的体积.2）在PAD2）在PAD中，PA2∴PA2AD2PD2，即PAAD．又平面PAD平面ABCD，∴又平面PAD平面ABCD，∴PA平面ABCD．又由（1）知OMPAP，∴MO平面ABC，且MO2AP3233，∴ABV1MOS3在梯形ABCD中，CDBC2AD2，BAD90，∴ABV1MOS3∴ABC的面积S1ABBC3，∴几何体MABC的体积2考向3空间垂直与平行综合【例1】【2017山东高考18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,Ⅰ)证明：A1O∥平面B1CD1;(II)因为ACBD,E，M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,因为ABCD为正方形,所以AOBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD所以A1EBD,因为B所以A1EBD,因为B1D1//BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM，A1EIEME.A1EM例A1EM例2】【2017太原市高三二模】如图，在多面体ABC平面B1CD1.A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，A1CB是正三角形，ACAB1，B1C1//BC，BC2B1C1.

（1）求证：AB1//平面A1C1C；（2）求多面体ABCA1B1C1的体积.（2）在正方形ABB1A中，A1B2，又A1BC是等边三角形，所以A1CBC2,所以AC2AA1222A1C2，AB2AC2BC2，于是AA1AC，ACAB，又AA1AB，∴AA1平面ABC，∴AA1CD又CDAD，ADIAA1A，∴CD平面ADC1A1，于是多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱锥CADC1A1组成.又直三棱柱ABDA1B1C1的体积为1(1111)1，2241221四棱锥CADC1A1的体积为13226故多面体ABCA1B1C1的体积为115.4612.

【点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系； （2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决．【跟踪练习】1.【2018江西省南昌市第二中学月考】在如图所示的多面体中， DE平面ABCD,AF//DE,AD//BC,ABCD,ABC600，BC2AD4DE4．1）在AC上求作点P，使PE//平面ABF，请写出作法并说明理由；2）求三棱锥ACDE的高．答案】（1）详见解析（2）3.（2）在等腰梯形ABCD中，∵ABG600,BC2AD4，∴可求得梯形的高为3，从而ACD的面积为1233.2∵DE平面ABCD，∴DE是三棱锥EACD的高.11设三棱锥ACDE的高为h.由VACDEVEACD，可得 SCDEhSACDDE，33即121h3，解得h3，故三棱锥ACDE的高为3.22.【2017北京大兴区一模】如图，在三棱锥 P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．Ⅰ）求证：PA⊥BD；Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．答案】详见解析

解析：证明：（I）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD.（II）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由（I）知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.（III）因为PA∥平