高等数学练习试卷14(题后含答案及解析)

高等数学练习试卷(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题4.综合题5.证明题选择题1．则常数k等于()．A．1B．2C．4D．任意实数正确答案：B解析：由题意可知，x=2时，x2－3x+k=0k=2·2．下列命题中正确的是()．A．若x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0B．若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C．若f’(x0)=0，则x0是f(x)的极值点D．若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0正确答案：D3．若x=2是函数的可导极值点，则常数a值为()．A．－1B．C．D．1正确答案：C解析：由题意得f’(2)=0，可知4．若y=arctanex，则dy=()．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．是级数收敛的()条件．A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要正确答案：B6．设函数f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，则方程f’(x)=0的实根个数为()．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根·填空题7．则a=____________，b=______________．正确答案：－4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=－4，b=3．8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则正确答案：yf1’+2xf2解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)9．已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，则a=_________，b=____________．正确答案：解析：由题意可知：f’(1)=0，f’(2)=010．a，b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于___________．正确答案：解析：a+λb垂直于向量11．已知f(cosx)=sin2x,则正确答案：解析：12．已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1－x，且φ(x)≥0，则φ(x)的定义域为______________．正确答案：x≤0解析：f[φ(x)]=eφ2(x)=1－x=eln(1－x)，所以于是1－x≥1，即x≤0.解答题13．求正确答案：14．求正确答案：设arctanx=t，x=tant，则：15．已知z=(x+y)exy，求dz．正确答案：因为所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy．16．求正确答案：17．求y’－(cosz)y=esinx满足y(0)=1的解．正确答案：这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=－cosx，Q(x)=esins.于是方程的通解为：由y(0)=1，得C=1，故所求解为：y=esinx(x+1).18．设z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二阶偏导数存在，求正确答案：19．求函数y=x－ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间．正确答案：①函数的定义域为(－1，+∞)；令y’=0，德驻点x=0.又x∈(－1，+∞)于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(－1，+∞)；③又－1＜x＜0时，y’＜0，函数递减；0＜x＜+∞时，y’＞0，函数递增，故函数单调递减区间为：(－1,0)；递增区间为：(0，+∞)；且函数在x=0处取得一极小值f(0)=0.20．求幂级数的收敛域．正确答案：令x－5=t，则收敛半径为：当t=1时，级数发散；当t=－1时，级数发散.所以级数的收敛域为[－1,1)，那么级数的收敛域为[4,6).综合题21．求函数f(x)=x3－3x+1的单调区间和极值．正确答案：函数的定义域为(－∞，+∞)，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0，得驻点x1=-1，x2=1，列表得：函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，+∞)，单调递减区间为[－1,1].f(－1)=3为极大值，f(1)=－1为极小值.已知一平面图形由抛物线yy=x2，y=x2+8围成．22．求此平面图形的面积；正确答案：用定积分求面积和体积，如图，所求平面图形的面积为23．求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．正确答案：此平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为已知某厂生产x件产品的成本C=25000+2x+x2(单位：元)．试问：24．要使平均成本最小，应生产多少件产品?正确答案：设平均成本为y，则令y’=0，得x=1000，此即为所求.25．若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?正确答案：设利润为L，则L=500x－(25000+200x+x2)，L’=500－200－x.令L’=0，得x=6000，此即为所求．证明题26．求出满足下列条件的最低次多项式：当x=1时有极大值6，当x=3时有极小值2．正确答案：对于多项式有两个极值，则该多项式的最低次数为三次．不妨设所求多项式为y=ax3+bx2+cx+d，则y’=3ax2+2bx+c，因为当x=1时有极大值6，当x=3时有极小值2，所以y(1)=6，y(3)=2，y’(1)=0，y’(3)=0．则解得27．设曲线求过曲线(2，2)点处