湖南省岳阳市大口段中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市大口段中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥中，平面，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】球的体积和表面积．G8A

解析：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【思路点拨】根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积.2.已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=(

)A． B． C．1 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．3.设（a，，i是虚数单位），且，则有（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将,再和的实部和虚部对比，得出结果.【详解】因为，所以，，解得或，所以，故选D.【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。4.已知角的终边经过点，则（

）A.

B.－2

C.

D.参考答案：D5.设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D略6.在等差数列，则a5的值是参考答案：B7.已知单位向量和的夹角为,记,,则向量与的夹角为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3C

解析：由于单位向量和的夹角为，则=1×1×cos60°=，则，，，即有，则由于，则向量与的夹角为．故选C．【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量和的数量积，再求向量与的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角．8.设函数在区间，是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A.

B.

C.,

D.

参考答案：C略9.当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】先从一次函数y=ax+b进行入手，通过观察图形确定a，b的范围，再根据指数函数的单调性是否能够满足条件，进行逐一排除即可得到答案．【解答】解：由一次函数的图象和性质可得：A中，b＞1，a＞0，则ba＞1，y=bax=（ba）x为单调增函数，故A不正确；B中，0＜b＜1，a＞0，则0＜ba＜1，y=bax=（ba）x为单调减函数，故B正确；C中，b＞1，a＜0，则0＜ba＜1，y=bax=（ba）x为单调减函数，C不对；D中，0＜b＜1，a＜0，则ba＞1，y=bax=（ba）x为单调增函数，D不对故选B．10.在△ABC中，角A、B、C的对边长分别a、b、c，满足，，则△ABC的面积为A. B. C. D.参考答案：C【分析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有△，此时可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入可求．【详解】把看成关于的二次方程，则，故若使得方程有解，则只有△，此时，，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解可得，，．故选：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是的最小值，则的取值范围为_______.参考答案：[0,2]略12.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=

．参考答案：1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．解答： 解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基础题．13.过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为

.参考答案：不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。14.已知集合A=，则A∩B=．参考答案：（2，3]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2﹣1≤2x≤23，即﹣1≤x≤3，∴A=（﹣1，3），由B中不等式变形得：log2（x2﹣x）＞1=log22，即x2﹣x＞2，分解得：（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，即B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3]，故答案为：（2，3]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15.已知平面向量，，且，则______参考答案：2【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m＝1，从而可求出，从而得出．【详解】解：∵；∴；解得m＝1；∴；∴．故答案为：2．【点睛】考查向量垂直的充要条件，向量减法及数量积的坐标运算．16.已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点其中落在x正半轴上，且这六个点分别落在以原点为始点，X非负半轴为始边的∠的终边上，所有的∠可表示为__________________（用一个含的式子表示）。参考答案：略17.从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数为a，从集合{2，3，4}中随机抽取一个数为b，则b＞a的概率是．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的数对（a，b）共有6×3=18个，而满足b＞a的数对用列举法求得有6个，由此求得所求事件的概率．解答：解：所有的数对（a，b）共有6×3=18个，而满足b＞a的数对（a，b）有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3），共计6个，故b＞a的概率是=，故答案为．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，，，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.参考答案：（）；………………8分

略19.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C2与曲线C1关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜π），过极点O的直线l分别与曲线C1，C2，C3相交于点A，B，C．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）求|AC|?|BC|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）利用同角三角函数的关系消元得到C1的普通方程，在将普通方程转化为极坐标方程；（II）求出三条曲线的普通方程，设直线方程为y=kx（k＞0），求出A，B，C的坐标，利用三点的位置关系得出|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2．将|AC|?|BC|转化为关于k的函数．【解答】解：（I）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0（0＜y≤1）．∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0＜θ＜π）．（II）曲线C2的普通方程为（x+1）2+y2=1（﹣1≤y＜0），曲线C3的普通方程为x2+y2=4（0＜y≤2）．设直线l的方程为y=kx（k＞0）．则A（，），B（﹣，﹣），C（，）．∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，∴|AC|?|BC|=（|OC|﹣|OA|）?（|OA|+|OC|）=|OC|2﹣|OA|2=﹣=4﹣．设f（k）=4﹣，则f（k）在（0，+∞）上单调递增，∵f（0）=0，，∴0＜f（k）＜4．即|AC|?|BC|的取值范围时（0，4）．20.(本题满分14分)已知函数.(Ⅰ)若为函数的零点，求的值；(Ⅱ)求的极值；(Ⅲ)证明：对任意正整数n，.参考答案：(Ⅰ)解：因为，所以，解得.

(Ⅱ)，令，得，或，又的定义域为.①当，即时，若，则，递增；若，则，递减；所以，无极小值.②当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减；

所以，.

③当，即时，，在内递减，无极值.④当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减；所以，.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，在上递减，∴，即，

∵，∴，

∴，

∴.21.已知函数f（x）=ex+﹣1（a∈R且a为常数）．（1）当a=﹣1时，讨论函数f（x）在（﹣1，+∞）的单调性；（2）设y=t（x）可求导数，且它的导函数t′（x）仍可求导数，则t′（x）再次求导所得函数称为原函数y=t（x）的二阶函数，记为t′′（x），利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间[a，b]上是凸函数的充要条件是这个函数在（a，b）的二阶导函数非负．若g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a﹣）x2在（﹣∞，﹣1）不是凸函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的二阶导数，问题转化为a≥﹣（x+3）ex，令h（x）=﹣（x+3）ex，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣，令f′（x）=0，解得：x=0，设r（x）=ex﹣，则r′（x）=ex+，当x＞﹣1时，r′（x）＞0，r（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，故x=0是r（x）在（﹣1，+∞）内的唯一零点，即x=0是f′（x）在（﹣1，+∞）内的唯一零点，所以当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣1，0）上是单调减函数；当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（II）g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a﹣）x2=（x+1）ex+（a﹣）x2+ax，g′（x）=（x+2）ex+2（a﹣）x+a，g″（x）=（x+3）ex+2（a﹣），如果g（x）在（﹣∞，﹣1）是凸函数，那么?x∈（﹣∞，﹣1）都有g″（x）≥