广西壮族自治区南宁市苏圩中学高三数学理下学期摸底试题含解析

广西壮族自治区南宁市苏圩中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=tanα，（0＜α＜，α≠），an+1=（n∈N*）关于下列命题：①若α=，则a3=0；②对任意满足条件的角α，均有an+3=an（n∈N*）③存在α0∈（0，）∪（，），使得S3n=0④当＜α＜时，S3n＜0其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】①由a1==，可得a2==﹣，a3=0，即可判断出正误；②对任意的a1（a1≠），an+2==，an+3==an，即可判断出正误；③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，）∪（，），使得S3=0即可．a2=，a3=．可得S3=a1+a2+a3=，取，可得S3=0，即可判断出正误．④当＜α＜时，．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，S3=＜0，即可判断出正误．【解答】解：①∵a1==，∴a2==﹣，∴a3==0，因此正确；②对任意的a1（a1≠），an+2===，an+3==an，∴an+3=an，正确；③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，）∪（，），使得S3=0即可．a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=tanα++=，取，可得S3=0，因此正确．④当＜α＜时，．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=＜0，因此正确．综上可得：①②③④都正确．故选：D．2.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3.已知数列满足:,.若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D4.1若函数（）定义域为R，则的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略5.实数满足条件,则的最小值为（

）A．

B．

C． D．参考答案：D略6.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7.设点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），则的取值范围是（）A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（，2） D．[，2]参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】根据A、B、C的坐标画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）、O（0，0），可得k=表示直线P、O连线的斜率，运动点P得到PO斜率的最大、最小值，即可得到的取值范围．【解答】解：根据A、B、C的坐标作出图形，得到如图所示的△ABC及其内部的区域设P（x，y）为区域内的动点，可得O（0，0），则k=表示直线P、O连线的斜率，运动点P，可得当P与B点重合时，kBC==2达到最大值；当P与C点重合时，kCO=达到最小值∴k的取值范围是[，2]．故选：D．8.命题甲：|x|≤2，命题乙：|x＋1|≤1，则甲是乙的（

）A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

参考答案：

答案：B9.已知等比数列，则 A． B．

C． D．

参考答案：C10.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）

（A）

（B） （C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为

。参考答案：{|<－1或>1}

略12.在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则=

．参考答案：﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的三角形法则，正六边形的性质结合向量数量积的定义，代入向量的数量积定义式计算即可得到所求值．【解答】解：六边形ABCDEF是边长为1的正六边形则=?（+）=?=?=||?||?cos∠BAF=1×1×cos120°=﹣．故答案为：﹣．13.在这十个数字中任选四个不同的数，则这四个数能构成等差数列的概率是

.参考答案：14.已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为

．参考答案：1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.函数，则f（f（1））=．参考答案：【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】由，知f（1）=2，故f（f（1））=f（2）=log42，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（1）=21=2，f（f（1））=f（2）=log42=．故答案为：．16.已知关于x的不等式的解集为全体实数R，则实数a的取值范围是

．参考答案：略17.已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=．参考答案：﹣1或【考点】定积分．【分析】先求出f（x）在[﹣1，1]上的定积分，再建立等量关系，求出参数a即可．【解答】解：∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（I）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的x的集合．参考答案：解：(Ⅰ)f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

=2[sin2(x－)－cos2(x－)]+1

=2sin[2(x－)－]+1

=2sin(2x－)+1

∴T==π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x－)=1,有

2x－=2kπ+即x=kπ+

(k∈Z)

∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,

(k∈Z)}.19.（本小题满分12分）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。参考答案：解析:（Ⅰ）∵在x=1处取得极值，∴解得（Ⅱ）∵

∴①当时，在区间∴的单调增区间为②当时，由∴（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是20.（本小题满分13分）在如图所示的多面体中，平面，，平面平面，，，．

（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：【知识点】线面平行的判定与性质；三棱锥的体积.

G4

G1【答案解析】（Ⅰ）证明：略；（Ⅱ）.

解析：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面，

……………3分又平面，平面平面，所以．

……………6分（Ⅱ）在平面内作于点，因为平面，平面，所以，又、平面，，所以平面，所以是三棱锥的高．

……………10分在直角三角形中，，，所以，因为平面，平面，所以，又由（Ⅰ）知，，且，所以，所以，所以三棱锥的体积．……12分【思路点拨】（Ⅰ）根据线面平行的判定与性质得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）结论及平面，得是腰长为1的等腰直角三角形，所以其面积为，又点B到平面DEF的距离为B到直线AD的距离，由AB=2，可得此距离，在根据三棱锥的体积公式求结论.21.已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明（其中n∈N*，e为自然对数的底数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，转化为f（x）max≤0，分类求出f（x）max，求解不等式可得实数a的取值范围；（Ⅲ）把要证的不等式变形，然后借助于（Ⅰ）中的函数的单调性证明．【解答】（Ⅰ）解：，定义域（0，+∞），…当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上递减；…当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，此时f'（x），f（x）随的变化情况如下表：x（0，a）a（a，+∞）f'（x）+0﹣f（x）增极大值减∴f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）．…综上，当a≤0时，f（x）的递减区间为（0，+∞）；此时无增区间；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）；…（Ⅱ）解：由题意得f（x）max≤0，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递减，，不合题意；…当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），∴f（x）max=f（a），∴f（a）=alna﹣a+1≤0，令g（x）=xlnx﹣x+1（x＞0），则g'（x）=lnx，因此，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（x）min=g（1）=0，…∴alna﹣a+1≤0的解只有a=1．综上得：实数a的取值集合为{1}；…（Ⅲ）证明：要证不等式，两边取对数后得，即证，…令，则只要证，由（Ⅰ）中的单调性知当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，2]上递减，因此f（x）＞f（1），即lnx﹣x+1＜0，∴lnx＜x﹣1（1＜x≤2）…令，则，∴φ（x）在（1，2]上递增，∴φ（x）＞φ（1），即，则．…综上，原命题得证．…22.（本小题共13分）为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为，其中第组的频数为.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.参考答案：（1）48；（2）分布列如下，数学期望为；试题分析：（1）在频率分布直方图中，各组频率之和等于1，由此可得一方程，从而求出前三组的频率；再根据第二组的频数可求得总数；（2）用样本的频率作为总体的概率，可得任选一人体