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文档简介
被积函数L=1+i²,,故x=c₁其通解为:x=ct+c₂2-6已知状态的初值和终值为x(1)=4,x(ts)=4x(t):欧拉方程:根据横截条件可得:值轨线x(t)。99移动。试证:当泛函取极值时,横截条件为证:根据题意可知,此题属于起点固定,末端受约束情况,由P,将(2)代入(1)式,得:2-13设系统状态方程x₂(t)=u(t),x₂(O)=1性能指标如下:构造H:正则方程:可求得得有(2)若t,自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件因为时间总为正值,所以此题无解。3-2设二阶系统的状态方边界条件能指标的极小值:解:由题可知构造H:试求下列性x₁(0)=1,x₂(0)=1试求下列性x₁(2)=0,x,(2)=0由协态方程和极值条件:得代入状态方程得:即,代入初始故i(t)=-x(t)+u(t),x(0)=1哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小,因5解得于是,最优轨线最优解曲线如下:3-5控制系统试求最优控制μ(t),u,(t)以小值。解:哈密尔顿函数为H=x+μ²+u²+Aμ+3₂(x₁+u₂由协态方程:由极值条件:解得由状态3-6已知二阶系统方程式中构造哈密顿函数为:,由哈密顿函数矛盾),由协态方程有:由所给状态方程及初始条件解得:3-7已知二阶系统方程,式中控制约束为使性能指标解:由题可知按照最小值原理,最优控制应取由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律H(I)=H(f)=0可得可以求出u(0)=0由协态方程时(试取),代入初始条,故最优控制为,(O≤t≤3)相应的最优性能指标为999迹x(t)。,解得:u(t)=12t-6,3-28已知系统的状态方程,控制约束为(t)|≤1。由协态方程得:λ(t)=c₁λ(t)=-ct+c₂,知最优控制u(t)最多切换一次,①若u(t)=1时,代入状态方程考虑到初始状态(xo,X):9取开关曲线为过(2,1)的那条曲线,即开关曲线x2试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*(t)和开关曲线。(注:本题书上的x,(t)=-x₂(t)+u(t)是错的,因为按书上的x,(t)得解:本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可知最优控制:知最优控制u(t)最多切换一次,具有四种可能:【+1】,【-1】,【+1,-1】,【-1,②同理,若u(t)=-1时,解得:消t得:开关曲线图如下:本题初始点A(1,1),最优控制曲线如上图,最优控制律为{-1,3-33已知受控系,目标集为s={(x,x,)|x²+x²=1,试求由目标集外的任意初态(ξi,5)转移到目标集的时间最优控制律u(t)c解:哈密尔顿函数为H=1+λxs+λu,协态方程边由极小值条件知,最优控制律:u(I)=-sgn[a,()]由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线:ii、当初态(5与)在Q₄区域或y,Uy:上时,知最优控制为3-42已知系统方程x₂(t)=x₁(t),x₂(0)=2,x₂(8)=0控制约束|u(t)|≤1。试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*(t),使性能指标取极小值,并求最优控制J*。由极小值条件知:9因为初态由状态方程解得:③当t,<t<8时,1,初态为:4-4设二阶离散系统x;(k+1)=2x;(k)+u(k),x₁(0)=1试求使性能指标:x₇(k+1)=x₁(k)+x₂(k),x₂(O)=0②令1,0时:J[x(=1)],xmi₂nt?,代入初始9…9于是本题的最优控制,最优轨线及最优代价分别为:试用连续动态规划求最优控制ua)和最优轨线x(t)。解:解:(1)由题意可得:,将u(t)代入状态方程,得闭环系统方程:代入初始解得:u(t)=-2e'(cost-sint)。,试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。解:令哈密顿函数为:代入u(t),得:因为系统是时不变的,并且性能指标的被积函数不是时间的显函数,故则有225-8给下列二阶系统:性能指标极小:解:该题为有限时间状态调节器问题。由题意得:95-10已知系统的状态方程:,性能指标极小:解:该题为无限时间状态调节器问题。由题意得:.R=1,9控,{A,D}可观,故u(t)存在且唯一。函数。其中α>0,F满足式P(A+al)+(A⁷+aD)P-PBR¹B′P+Q=0。iu)=x(O[d~FBR¹B²+F(A-BR`B^F)K()=6-2设有二次积分模型:x,()=u(1),性能指标:,]所以,{}可控,{}可观,{}可观,故可以构造渐近稳定的最优输最优性能指标:6-3已知系统的动态方程:y(t)=[10]x₁(t)试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制u()。].9解得闭环系统特征值为:所以闭环系统是渐近稳定的。6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度,潜艇从艇尾水平角0α)到实际深度●●●●●●●●●●●●●●●●●(指标t,构造哈密顿函数:根据极小值原理可知,相应于正常弧段的最优控制为如下邦-邦邦-邦弧段满足下列正则方程:函数H线性依赖于u,所以可能存在奇异弧。在奇异弧上必有:解方程组知:得异最优解:,即系统有奇异解。8-6已知系统方程试用奇异调节器方法求奇异最优控制u(t).此时u*(()=-K,()A(I)x(I),式中K(Q)=[B'QBJ'B'[A^P+Q]=[-1-2],即u*(I)=-K₁(Dx₁(I)=[12]x;(),9-3设随机系统状态方程为:x(t)=F(t)x(t)+G(t)u(t)+w(t)试证明:x(t)的均值和方差阵分别为:证明:x(t)的均值满足以下矩阵微分方程:其解为:证得一式。=E[(x₀-E[x(t₀)])(x₀-E[x(t₀)])′]应满足P(t)=F(t)P(t)+P(t)F⁷(t)+G(t)Q₀(t)G¹(t)Px(t,t+t)=P(t)φ⁷(t+t,t)又可得证毕。9-5设随机系统方程为式中w(t)与v(t)为互不相关的零均值高斯白噪声,其方差为q²和r²。试求最优控制u(Q),使下列性能指标极·:式中p>0。解:依据定理9-7(线性连续随机系统分离定理),可知而P(t)满足下列矩阵微分方程及其边界条件:解…出P(t₁)=PA(t₀)=m₀(6)式中增益矩阵●●●●●P(t₀)=P₀ 其中,a=r√²+q²……(9) 将(9)式代入(7)式得到:其中 将(5)式和(11)代入(1)式,即可算出最优控制u(t)=-K(t)A(t)=……φ(k+1,k)P(k|k-1)H(
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